Động lực

Trong bối cảnh suy luận sau lựa chọn mô hình, Leeb & Pötscher (2005) viết:

Mặc dù từ lâu người ta đã biết rằng tính đồng nhất (ít nhất là cục bộ) ghi các tham số là một vấn đề quan trọng trong phân tích tiệm cận, bài học này thường bị lãng quên trong thực tiễn hàng ngày về lý thuyết kinh tế lượng và thống kê, trong đó chúng ta thường hài lòng để chứng minh kết quả tiệm cận ( tức là, kết quả giữ cho từng giá trị tham số đúng cố định). Sự mất trí nhớ này - và thực tế kết quả - may mắn là không có hậu quả nghiêm trọng miễn là chỉ có các công cụ ước tính thông thường có thể sử dụng đầy đủ trong các mô hình thông thường có thể được xem xét. Tuy nhiên, vì các công cụ ước tính sau lựa chọn mô hình khá bất thường, nên vấn đề về tính đồng nhất xuất hiện ở đây với sự báo thù.

Lý lịch

Hội tụ đồng phục

Giả sử một ước hội tụ thống nhất (wrt ) trong phân phối cho một số biến ngẫu nhiên . Sau đó, với độ chính xác nhất định chúng ta luôn có thể tìm thấy cỡ mẫu sao cho với mỗi khoảng cách phân phối của và phân phối ( tức là sự phân bố giới hạn) sẽ có mặt tại hầu hết cho mọi .$\hat\theta_n(\alpha)$$\alpha$$Z$$\varepsilon>0$$N_{\varepsilon}$$\alpha$$\hat\theta_{n}(\alpha)$$Z$$\varepsilon$$n>N$

Điều này có thể hữu ích trong thực tế:

1. Khi thiết kế một thử nghiệm, chúng ta có thể ràng buộc sự không chính xác ở mức độ nhỏ tùy ý bằng cách tìm tương ứng .$\varepsilon$$N_{\varepsilon}$
2. Đối với một mẫu có kích thước , chúng ta có thể tìm thấy để ràng buộc sự không chính xác.$N$$\varepsilon_N$

Điểm hội tụ (nhưng không đồng nhất)

Mặt khác, giả sử một ước hội tụ trong một pointwise cách (wrt ) - nhưng không đồng đều - trong phân phối cho một số biến ngẫu nhiên . Do tính không đồng nhất, tồn tại độ chính xác sao cho với mọi cỡ mẫu chúng ta luôn có thể tìm thấy một giá trị sao cho khoảng cách phân phối của và phân phối của (tức là sự phân bố giới hạn) sẽ có ít nhất đối với một số .$\hat\psi_n(\alpha)$$\alpha$$Z$$\varepsilon_N>0$$N$$\alpha_N$$\hat\psi_{n}(\alpha_N)$$Z$$\varepsilon$$n>N$

Một vài suy nghĩ:

1. Điều này không cho chúng ta biết sẽ lớn đến mức nào .$\varepsilon_N$
2. Khi thiết kế một thử nghiệm, chúng tôi không còn có thể ràng buộc sự thiếu quyết đoán của mình tại một tùy ý bằng cách tìm một phù hợp . Nhưng có lẽ chúng ta có thể ràng buộc ở mức độ thấp, nên chúng ta không cần phải lo lắng về điều đó. Nhưng chúng ta có thể không phải lúc nào cũng có thể ràng buộc nó ở nơi chúng ta muốn.$\varepsilon$$N_{\varepsilon}$$\varepsilon_N$
3. Chúng tôi có thể hoặc không thể tìm thấy để ràng buộc sự không chính xác cho một mẫu có kích thước .$\varepsilon_N$$N$

Câu hỏi

1. Việc thiếu sự hội tụ thống nhất làm cho công cụ ước tính phần lớn trở nên vô dụng?
   (Tôi đoán, câu trả lời là "không" vì rất nhiều bài viết tập trung vào sự hội tụ theo chiều hướng ...)
2. Nếu không, thì một số ví dụ cơ bản trong đó công cụ ước lượng hội tụ không đồng nhất là hữu ích?

Người giới thiệu:

• Leeb, H., & Pötscher, BM (2005). Lựa chọn mô hình và suy luận: Sự kiện và tiểu thuyết. Lý thuyết kinh tế lượng, 21 (01), 21-59.

Thật khó để đưa ra một câu trả lời dứt khoát, bởi vì "hữu ích" và "vô dụng" không phải là toán học và trong nhiều tình huống chủ quan (trong một số trường hợp khác, người ta có thể cố gắng chính thức hóa tính hữu dụng, nhưng sau đó lại chính thức mở ra để thảo luận).

Dưới đây là một số suy nghĩ.

(a) Sự hội tụ đồng nhất rõ ràng mạnh hơn nhiều so với hội tụ theo điểm; với sự hội tụ theo chiều ngược lại, không có gì đảm bảo, nếu bạn không biết giá trị tham số thực sự, thì với bất kỳ nào, bạn sẽ ở bất cứ nơi nào gần nơi bạn muốn.$n$

(b) Sự hội tụ theo chiều hướng vẫn mạnh hơn là không có bất kỳ sự hội tụ nào cả.

(c) Nếu bạn có một nhất định không hội tụ lớn và đồng nhất, thì đồng phục ràng buộc mà bạn thực sự có thể hiển thị với bạn có thể không tốt. Điều này không có nghĩa là công cụ ước tính của bạn tệ, điều đó có nghĩa là sự hội tụ thống nhất bị ràng buộc không đảm bảo rằng bạn đủ gần với giá trị thực. Bạn vẫn có thể.$n$$n$

(d) Trong trường hợp chúng tôi không có kết quả hội tụ thống nhất, có nhiều khả năng khác nhau:

i) Sự hội tụ thống nhất trong thực tế có thể giữ nhưng chưa ai có thể chứng minh điều đó.

ii) Sự hội tụ thống nhất có thể bị vi phạm, tuy nhiên nó chỉ có thể bị vi phạm trong các khu vực của không gian tham số không thực tế, vì vậy hành vi hội tụ thực tế có thể ổn. Như trong (c), chỉ vì bạn không có một định lý đảm bảo rằng bạn gần với giá trị thực không có nghĩa là bạn ở xa.

iii) Sự hội tụ thống nhất có thể bị vi phạm và bạn có thể gặp phải hành vi bất thường trong tất cả các loại tình huống thực tế. May mắn lớn.

iv) Thậm chí có thể có các cấu trúc nhỏ trong đó đối với thực sự có sẵn trong thực tế, một thứ không hội tụ hoàn toàn tốt hơn so với thứ gì đó hội tụ theo chiều hoặc đồng nhất.$n$$n$

. Nhưng ngoài việc một người ước tính có thể tốt ngay cả khi chúng ta không thể đảm bảo rằng nó tốt, thì thực tế chúng ta không bao giờCó một sự đảm bảo thực sự áp dụng trong thực tế, bởi vì trong các giả định mô hình thực tế không giữ được và tình huống thực sự phức tạp hơn so với nói, OK, mô hình P sai nhưng có một mô hình Q thực sự quá phức tạp và có thể thuần hóa bởi một kết quả hội tụ thống nhất không đối xứng; không, tất cả các mô hình này là lý tưởng hóa và không có gì là iid hoặc tuân theo bất kỳ mẫu phụ thuộc thông thường hoặc không nhận dạng nào ở vị trí đầu tiên (thậm chí không phải là số ngẫu nhiên mà chúng tôi sử dụng trong mô phỏng thực tế là số ngẫu nhiên). Vì vậy, đảm bảo hội tụ thống nhất áp dụng cho một tình huống được lý tưởng hóa, và thực hành là một câu chuyện khác. Chúng tôi sử dụng lý thuyết như hội tụ thống nhất để đưa ra tuyên bố chất lượng về các công cụ ước tính trong các tình huống lý tưởng hóa, bởi vì đây là những tình huống chúng tôi có thể xử lý. Chúng ta thực sự chỉ có thể nói, trong những tình huống lý tưởng hóa như vậy,

Xin lỗi, không có ví dụ cụ thể, nhưng trong bất kỳ thiết lập nào trong đó bạn không thể tìm thấy một công cụ ước lượng hội tụ đồng nhất mà chỉ là một công cụ hội tụ theo chiều thuận, thì rất có thể công cụ hội tụ theo chiều sẽ giúp bạn (đôi khi một công cụ ước tính mà bạn thậm chí không thể hiển thị hội tụ theo chiều có thể giúp bạn tốt hoặc thậm chí nhiều hơn). Sau đó, nó có thể không, nhưng sau đó vì bất kỳ lý do thực tế nào (vấn đề với các giả định mô hình, nhỏ , đo lường, bất cứ điều gì), người hội tụ thống nhất cũng có thể gây hiểu nhầm trong một tình huống cụ thể. $n$