Đơn giản hóa tổng các kết hợp với cùng n, tất cả các giá trị có thể có của k

Có cách nào để đơn giản hóa phương trình này?

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{3}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

Hay nói chung hơn,

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

combinatorics

— Idr
nguồn

Một cửa hàng kem sản xuất kem không có hương vị và sau đó thêm vào một hoặc 5 chất cô đặc hương vị (vani, sô cô la, kẹo mềm, bạc hà, mứt) để tạo ra các loại kem khác nhau có bán trong cửa hàng. Vì vậy, số lượng hương vị khác nhau là

\sum_{k = 1}^{5} (\binom{5}{k})

$\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}$ . Hãy thử tính số lượng hương vị bằng tay. Đối với tín dụng thêm, xác định các cửa hàng.

— Dilip Sarwate

Câu trả lời:

Xem

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_k-combinations_for_all_k

mà nói

Σ_{k = = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = = 2^{n}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

Bạn có thể chứng minh điều này bằng định lý nhị thức trong đó . $x=y=1$

Bây giờ, vì cho bất kỳ , nên nó theo đó $\binom{n}{0} = 1$ $n$

Σ_{k = = 1}^{n} (\binom{n}{k}) = = 2^{n} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

Trong trường hợp của bạn , vì vậy câu trả lời là . $n=8$ $2^8 - 1 = 255$

— Vĩ mô
nguồn

Cảm ơn. Tôi đã cố gắng tìm ra tất cả các bộ tính năng đầu vào có thể cho hồi quy, vì vậy tôi bắt đầu với số liệu thống kê nhưng tôi cho rằng câu hỏi này không phải là số liệu thống kê.

— Idr

Không vấn đề gì. Vui lòng xem xét nâng cấp và / hoặc chấp nhận câu trả lời bạn thấy hữu ích :)

— Macro

Tất nhiên. Ngoài ra tôi tin rằng tôi nên là k.

— Idr

bạn đã đúng - đã sửa.

— Macro

Một cách dễ dàng để thấy điều này là: bạn sẽ lấy từng phần tử (1) hoặc không (0). Vì vậy, bạn có thể biểu diễn tất cả số nhị phân với n bit: 2 ^ n. Và số tiền này cho tất cả kết hợp với một mục bị xóa, cộng với tất cả các kết hợp với 2 mục bị xóa, v.v. = tổng của C (k / N).

— Snicolas

Bài tập về nhà?

Dấu:

Ghi nhớ định lý nhị thức:

(x + y)^{n} = = Σ_{k = = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

Bây giờ, nếu bạn chỉ có thể tìm x và y để không đổi ... $x^ky^{n-k}$

— Erik
nguồn