Hồi quy nhị thức

Hồi quy logistic nhị thức có các tiệm cận trên và dưới lần lượt là 1 và 0. Tuy nhiên, dữ liệu chính xác (giống như một ví dụ) có thể có các tiệm cận trên và dưới khác nhau rất nhiều so với 1 và / hoặc 0. Tôi có thể thấy ba giải pháp tiềm năng cho vấn đề này:

1. Đừng lo lắng về điều đó nếu bạn đang có được sự phù hợp tốt trong lĩnh vực quan tâm. Nếu bạn không có được sự phù hợp tốt thì:
2. Chuyển đổi dữ liệu sao cho số phản hồi đúng tối thiểu và tối đa trong mẫu cho tỷ lệ 0 và 1 (thay vì nói 0 và 0,15).
   hoặc là
3. Sử dụng hồi quy phi tuyến tính để bạn có thể chỉ định các tiệm cận hoặc yêu cầu bộ chỉnh lưu làm điều đó cho bạn.

Dường như với tôi, tùy chọn 1 & 2 sẽ được ưu tiên hơn tùy chọn 3 phần lớn vì lý do đơn giản, trong trường hợp đó tùy chọn 3 có lẽ là lựa chọn tốt hơn vì nó có thể mang lại nhiều thông tin hơn?

chỉnh sửa
Đây là một ví dụ. Tổng độ chính xác có thể có cho độ chính xác là 100, nhưng độ chính xác tối đa trong trường hợp này là ~ 15.

accuracy <- c(0,0,0,0,0,1,3,5,9,13,14,15,14,15,16,15,14,14,15)
x<-1:length(accuracy)
glmx<-glm(cbind(accuracy, 100-accuracy) ~ x, family=binomial)
ndf<- data.frame(x=x)
ndf$fit<-predict(glmx, newdata=ndf, type="response")
plot(accuracy/100 ~ x)
with(ndf, lines(fit ~ x))

Tùy chọn 2 (theo nhận xét và để làm rõ ý nghĩa của tôi) sau đó sẽ là mô hình

glmx2<-glm(cbind(accuracy, 16-accuracy) ~ x, family=binomial)

Tùy chọn 3 (để hoàn thiện) sẽ giống như:

fitnls<-nls(accuracy ~ upAsym + (y0 - upAsym)/(1 + (x/midPoint)^slope), 
  start = list("upAsym" = max(accuracy), "y0" = 0, "midPoint" = 10, "slope" = 5), 
  lower = list("upAsym" = 0, "y0" = 0, "midPoint" = 1, "slope" = 0), 
  upper = list("upAsym" = 100, "y0" = 0, "midPoint" = 19, hillslope = Inf), 
  control = nls.control(warnOnly = TRUE, maxiter=1000),
  algorithm = "port")

Câu hỏi thú vị. Một khả năng xuất hiện trong đầu tôi là bao gồm một tham số bổ sung để kiểm soát giới hạn trên của chức năng 'liên kết'.$p\in[0,1]$

Đặt , là các quan sát độc lập, trong đó , , là một vectơ của các biến giải thích, là một vectơ của các hệ số hồi quy và là hàm liên kết. Sau đó, hàm khả năng được đưa ra bởi$\{{\bf x}_j,y_j,n_j\}$$j=1,...,n$$y_j\sim \text{Binomial}\{n_i,pF({\bf x}_j^T\beta)\}$$p\in[0,1]$${\bf x}_j=(1,x_{j1},...,x_{jk})^T$$\beta=(\beta_0,...,\beta_k)$$F^{-1}$

Bước tiếp theo là chọn một liên kết, giả sử phân phối logistic và tìm MLE tương ứng của .$(\beta,p)$

Xem xét ví dụ đồ chơi mô phỏng sau bằng mô hình phản ứng liều với và$(\beta_0,\beta_1,p)=(0.5,0.5,0.25)$$n=31$

dose = seq(-15,15,1)
a = 0.5
b = 0.5
n=length(dose)
sim = rep(0,n)
for(i in 1:n) sim[i] = rbinom(1,100,0.25*plogis(a+b*dose[i]))

plot(dose,sim/100)

lp = function(par){
if(par[3]>0& par[3]<1) return(-(n*mean(sim)*log(par[3]) +  sum(sim*log(plogis(par[1]+par[2]*dose)))  + sum((100-sim)*log(1-par[3]*plogis(par[1]+par[2]*dose))) ))
else return(-Inf)
}

optim(c(0.5,0.5,0.25),lp)

Một trong những kết quả tôi nhận được là . Do đó nó có vẻ chính xác. Tất nhiên, một thăm dò chi tiết hơn về mô hình này sẽ là cần thiết bởi vì bao gồm các tham số trong mô hình hồi quy nhị phân có thể khó khăn và các vấn đề về nhận dạng hoặc sự tồn tại của MLE có thể nhảy vào giai đoạn 1 2 .$(\hat\beta_0,\hat\beta_1,\hat p)=( 0.4526650, 0.4589112, 0.2395564)$

Biên tập

Với chỉnh sửa (thay đổi đáng kể vấn đề), phương pháp tôi đã đề xuất trước đây có thể được sửa đổi để phù hợp với dữ liệu bạn đã cung cấp. Hãy xem xét mô hình

Trong đó là CDF logistic, là tham số vị trí, là tham số tỷ lệ và tham số điều khiển chiều cao của đường cong tương tự như trong mô hình cũ. Mô hình này có thể được trang bị bằng cách sử dụng bình phương tối thiểu phi tuyến . Mã R sau đây cho thấy cách thực hiện điều này cho dữ liệu của bạn.$F$$\mu$$\sigma$$p$

rm(list=ls())
y = c(0,0,0,0,0,1,3,5,9,13,14,15,14,15,16,15,14,14,15)/100
x = 1:length(y)
N = length(y)

plot(y ~ x)

Data = data.frame(x,y)

nls_fit = nls(y ~ p*plogis(x,m,s), Data, start = list(m = 10, s = 1,  p = 0.2) )

lines(Data$x, predict(nls_fit), col = "red")

Tôi sẽ sử dụng tối đa của vectơ X làm tổng số thành công có thể. (Đây là ước tính sai lệch về số lượng thành công tối đa thực sự, nhưng nó sẽ hoạt động khá tốt nếu bạn có đủ dữ liệu).

accuracy <- c(0,0,0,0,0,1,3,5,9,13,14,15,14,15,16,15,14,14,15)
x<-1:length(accuracy)
glmx<-glm(cbind(accuracy, max(accuracy)-accuracy) ~ x, family=binomial)
ndf<- data.frame(x=x)
ndf$fit<-predict(glmx, newdata=ndf, type="response")
plot(accuracy/max(accuracy) ~ x)
with(ndf, lines(fit ~ x))

Điều này tạo ra một cốt truyện trông giống như:

Lưu ý rằng hồi quy nhị thức dựa trên việc có một phản ứng nhị phân cho từng trường hợp riêng lẻ. mỗi phản hồi riêng lẻ phải có thể nhận một trong hai giá trị. Nếu có một số giới hạn cho tỷ lệ thì cũng phải có một số trường hợp chỉ có thể lấy một giá trị.

Có vẻ như bạn không xử lý dữ liệu nhị phân nhưng với dữ liệu trong phạm vi hữu hạn. Nếu đây là trường hợp, thì hồi quy beta nghe có vẻ phù hợp hơn. Chúng tôi có thể viết bản phân phối beta là:

Sau đó, bạn đặt giống như bất kỳ chức năng liên kết nào ánh xạ khoảng vào thực tế. Có một gói R có thể được sử dụng để phù hợp với các mô hình này, mặc dù tôi nghĩ rằng bạn cần phải biết giới hạn. Nếu bạn làm như vậy, thì hãy xác định lại biến mới .[ L , U ] y i = d i - $g(\mu_i)=x_i^T\beta$$[L,U]$$y_i=\frac{d_i-L}{U-L}$