Phân phối beta từ đâu?

Như tôi chắc chắn mọi người ở đây đều đã biết, bản PDF của bản phân phối Beta $X \sim B(a,b)$ được cung cấp bởi

$f(x) = \frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}$

Tôi đã săn lùng khắp nơi để tìm lời giải thích về nguồn gốc của công thức này, nhưng tôi không thể tìm thấy nó. Mỗi bài viết tôi tìm thấy trên bản phân phối Beta dường như đưa ra công thức này, minh họa một vài hình dạng của nó, sau đó tiếp tục thảo luận về những khoảnh khắc của nó và từ đó.

Tôi không thích sử dụng các công thức toán học mà tôi không thể rút ra và giải thích. Đối với các bản phân phối khác (ví dụ gamma hoặc nhị thức) có một dẫn xuất rõ ràng tôi có thể tìm hiểu và sử dụng. Nhưng tôi không thể tìm thấy bất cứ điều gì như thế cho bản phân phối Beta.

Vì vậy, câu hỏi của tôi là: nguồn gốc của công thức này là gì? Làm thế nào nó có thể được bắt nguồn từ các nguyên tắc đầu tiên trong bất kỳ bối cảnh nào nó được phát triển ban đầu?

[Để làm rõ, tôi không hỏi về cách sử dụng phân phối Beta trong thống kê Bayes, hoặc ý nghĩa của nó trong trực giác trong thực tế (Tôi đã đọc ví dụ về bóng chày). Tôi chỉ muốn biết làm thế nào để lấy được PDF. Có một câu hỏi trước đó đã hỏi một cái gì đó tương tự, nhưng nó được đánh dấu (tôi nghĩ không chính xác) là một bản sao của một câu hỏi khác không giải quyết được vấn đề, vì vậy cho đến nay tôi vẫn chưa thể tìm thấy bất kỳ trợ giúp nào.]

EDIT 2017-05-06: Cảm ơn mọi người vì những câu hỏi. Tôi nghĩ rằng một lời giải thích tốt về những gì tôi muốn đến từ một trong những câu trả lời tôi nhận được khi tôi hỏi điều này trong một số giảng viên khóa học của tôi:

"Tôi đoán mọi người có thể lấy được mật độ bình thường như một giới hạn của tổng n thứ được chia cho sqrt (n) và bạn có thể lấy được mật độ poisson từ ý tưởng về các sự kiện xảy ra với tốc độ không đổi. Tương tự, để lấy được mật độ beta, bạn sẽ phải có một số loại ý tưởng về những gì tạo ra một thứ gì đó phân phối beta một cách độc lập và hợp lý trước khi mật độ. "

Vì vậy, ý tưởng "ab initio" trong các bình luận có lẽ là gần nhất với những gì tôi đang tìm kiếm. Tôi không phải là một nhà toán học, nhưng tôi cảm thấy thoải mái nhất khi sử dụng toán học mà tôi có thể rút ra được. Nếu nguồn gốc quá cao đối với tôi để xử lý, thì cũng vậy, nhưng nếu không tôi muốn hiểu chúng.

Là một nhà vật lý trước đây, tôi có thể thấy nó có nguồn gốc như thế nào. Đây là cách các nhà vật lý tiến hành:

khi chúng gặp tích phân hữu hạn của hàm dương, chẳng hạn như hàm beta : họ theo bản năng xác định một mật độ: f ( s | x , y ) = s x - 1 ( 1 - s ) y -

$$B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt$$ trong đó0<s< $$f(s|x,y)=\frac{s^{x-1}(1-s)^{y-1}}{\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt}=\frac{s^{x-1}(1-s)^{y-1}}{B(x,y)},$$ $0<s<1$

Họ làm điều này cho tất cả các loại tích hợp mọi lúc để nó xảy ra theo phản xạ mà không cần suy nghĩ. Họ gọi thủ tục này là "bình thường hóa" hoặc tên tương tự. Lưu ý cách định nghĩa một cách tầm thường, mật độ có tất cả các thuộc tính mà bạn muốn nó có, chẳng hạn như luôn dương và cộng với một.

Mật độ mà tôi đã đưa ra ở trên là phân phối Beta.$f(t)$

CẬP NHẬT

@ người hỏi có gì đặc biệt về phân phối Beta trong khi logic trên có thể được áp dụng cho vô số tích hợp phù hợp (như tôi đã lưu ý trong câu trả lời của tôi ở trên)?

Phần đặc biệt đến từ phân phối nhị thức . Tôi sẽ viết PDF của nó sử dụng ký hiệu tương tự như phiên bản beta của tôi, không cách viết thông thường cho các thông số và các biến:

$$f'(x,y|s) = \binom {y+x} x s^x(1-s)^{y}$$

Ở đây, - số lần thành công và thất bại, và s - xác suất thành công. Bạn có thể thấy cách này rất giống với tử số trong bản phân phối Beta. Trên thực tế, nếu bạn tìm kiếm bản phân phối Binomial trước, thì đó sẽ là bản phân phối Beta. Nó không ngạc nhiên cũng bởi vì lĩnh vực Beta là 0-1, và đó là những gì bạn làm trong định lý Bayes: tích hợp trên các tham số s , đó là xác suất thành công trong trường hợp này như hình dưới đây: f ( x | X ) = f ′ ( X | s ) f ( s $x,y$$s$$s$ ở đâyf(s)- xác suất (mật độ) của xác suất thành công cho các thiết lập trước khi phân phối Beta, vàf'(X|s)- mật độ tập dữ liệu này (nghĩa là thành công và thất bại được quan sát) đưa ra xác suấts.

$$\hat f(x|X)=\frac{f'(X|s)f(s)}{\int_0^1 f'(X|s)f(s)ds},$$ $f(s)$$f'(X|s)$$s$

$-$$B(a,b)$$-$đề cập đến Wallis (1616-1703), Newton (1642-1726) và Stirling (1692-1770) đối phó với các trường hợp đặc biệt của tích phân thậm chí sớm hơn. Karl Pearson (1895) đưa vào danh mục gia đình này phân bố như Pearson loại I .

$F(p,q)$

$$\varrho=\hat\sigma^2_1\big/\hat\sigma_2^2\qquad p\hat\sigma_1^2\sim\chi^2_p\quad q\hat\sigma_1^2\sim\chi^2_q$$ $$\frac{p\varrho}{q+p\varrho}\sim B(p/2,q/2)$$ $\omega\sim B(a,b)$ $$\dfrac{\omega/a}{(1-\omega)/b}\sim F(2a,2b)$$ $B(a,b)$$F(p,q)$ $$f_{p,q}(x) \propto \{px/q\}^{p/2-1}(1+px/q)^{-(p+q)/2}$$ $$y=\frac{\{px/q\}}{\{1+px/q\}}\quad y\in(0,1)$$ $$x=\frac{qy}{p(1-y)}$$ $$\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\frac{q}{p(1-y)}+\frac{qy}{p(1-y)^2}=\frac{p}{q(1-y)^2}$$ $$g(y)\propto y^{p/2-1}(1-y)^{q/2+1}(1-y)^{-2}=y^{p/2-1}(1-y)^{q/2+1}$$ [nơi mà tất cả các hằng số chuẩn hóa thu được bằng cách áp đặt mật độ để tích hợp vào một.

Trước hết, tôi không giỏi về các mô tả chính xác về mặt toán học trong đầu, nhưng tôi sẽ cố gắng hết sức bằng một ví dụ đơn giản:

$\lambda$

$$\begin{eqnarray} \lambda=g(x)=\lambda_{max}-(q|x-x_0|)^\frac{1}{q},~q > 0,~0 \leq \lambda \leq \lambda_{max} \end{eqnarray}$$ $x_0$$q=1/2$

$x_0$$g(x)$$P(x_0) = C\cdot g(x)^{p-1})$$P(\lambda)d\lambda=P(x_0)dx_0$$\lambda$

$$\begin{eqnarray}P(\lambda) = P(g^{-1}(\lambda)) \biggl|\frac{dg^{-1}(\lambda)}{d\lambda}\biggl| = C' \cdot \lambda^{p-1} \cdot (\lambda_{max} - \lambda)^{q-1}\end{eqnarray}$$

$C'$$\lambda_{max} = 1$

Nói cách khác, phân phối beta có thể được xem là phân phối xác suất ở trung tâm của phân phối bị xáo trộn.

$g(x)$$P(x_0)$

$g(x)$$p(x_0)$$\rightarrow$

$P(jitter)\propto g(x)^{p-1}$$\lambda_{max} = 10, p = .6, q=.5$$\lambda$$x_0$$\lambda_i$