Tôi không hiểu phương sai của nhị thức

Tôi cảm thấy thật ngớ ngẩn khi hỏi một câu hỏi cơ bản như vậy nhưng rồi đây:

Nếu tôi có một biến ngẫu nhiên $X$ có thể lấy các giá trị $0$ và $1$ , với $P(X=1) = p$ và $P(X=0) = 1-p$ , thì nếu tôi rút ra mẫu từ nó, tôi sẽ nhận được một phân phối nhị thức. $n$

Giá trị trung bình của phân phối là

$\mu = np = E(X)$

Phương sai của phân phối là

$\sigma^2 = np(1-p)$

Đây là nơi rắc rối của tôi bắt đầu:

Phương sai được định nghĩa bởi . Bởi vì bình phương của hai kết quả có thể không thay đổi bất cứ điều gì ( và ), điều đó có nghĩa là , vì vậy điều đó có nghĩa là $\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2$ $X$ $0^2 = 0$ $1^2 = 1$ $E(X^2) = E(X)$

$\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2 = E(X) - E(X)^2 = np - n^2p^2 = np(1-np) \neq np(1-p)$

Trường hợp thêm đi đâu? Như bạn có thể nói tôi không giỏi về thống kê nên xin đừng sử dụng thuật ngữ phức tạp: s $n$

variance binomial

— chết
nguồn

Nếu

và đây là những độc lập sau đó

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$

. Nhưng một con đường dễ dàng hơn là

nên

như vậy với sự độc lập

E [X^{2}] = E [X_{1}^{2} + X_{1} X_{2} + \dots + X_{1} X_{n} + X_{2} X_{1} + X_{2}^{2} + \dots] = n (n - 1) p^{2} + n p

$E[X^2]=E[X_1^2+X_1X_2 +\cdots+X_1X_n+X_2X_1+X_2^2+\cdots]=n(n-1)p^2 +np$

E [X_{1}]^{2} = p

$E[X_1]^2=p$

V a r [X_{1}] = p - p^{2}

$Var[X_1]=p-p^2$

V a r [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}] = n (p - p^{2})

$Var[X_1+X_2+\cdots+X_n]=n(p-p^2)$

— Henry

Câu trả lời:

Một biến ngẫu nhiên lấy các giá trị và với xác suất và được gọi là biến ngẫu nhiên Bernoulli với tham số . Biến ngẫu nhiên này có $X$ $0$ $1$ $P(X=1)=p$ $P(X=0)=1-p$ $p$ Giả sử bạn có một mẫu ngẫu nhiêncó kích thướctừvà xác định một biến ngẫu nhiên mới

\begin{array}{rcl} E (X) & = & 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p \\ E (X^{2}) & = & 0^{2} \cdot (1 - p) + 1^{2} \cdot p = p \\ V a r (X) & = & E (X^{2}) - (E (X))^{2} = p - p^{2} = p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(X)&=&0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p\\ E(X^2)&=&0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p = p\\ Var(X)&=& E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p) \end{eqnarray*}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$

n

$n$

B e r n o u l l i (p)

$Bernoulli(p)$

, sau đó sự phân bố của

được gọi là nhị thức, có các tham số

và

. Giá trị trung bình và phương sai của biến ngẫu nhiên Binomial Y được cho bởi

Y = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$Y=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$

Y

$Y$

n

$n$

p

$p$

\begin{array}{rcl} E (Y) & = & E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = \underset{n}{\underset{⏟}{p + p + \dots + p}} = n p \\ V a r (Y) & = & V a r (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = V a r (X_{1}) + V a r (X_{2}) + \dots + V a r (X_{n}) \\ (as X_{i}'s are independent) \\ = & \underset{n}{\underset{⏟}{p (1 - p) + p (1 - p) + \dots + p (1 - p)}} (as X_{i}'s are identically distributed) \\ = & n p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&E(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=\underbrace{ p+p+\cdots +p}_{n}=np\\ Var(Y)&=& Var(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=Var(X_{1})+Var(X_{2})+\cdots + Var(X_{n})\\ & &\text{ (as $X_{i}$'s are independent)} \\ &=&\underbrace{p(1-p)+p(1-p)+\cdots+ p(1-p)}_{n}\quad \text{ (as $X_{i}$'s are identically distributed)} \\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}$

— LVRao
nguồn

Làm thế nào điều này trả lời câu hỏi, đó là "n thêm đi đâu?"?

— amip nói rằng Phục hồi lại

@amoeba Cảm ơn bạn rất nhiều vì bình luận của bạn. Vì OP không thể phân biệt giữa các biến ngẫu nhiên Bernoulli và Binomial, tôi nghĩ đến việc nhắc nhở anh ấy các định nghĩa cần thiết và quá trình thu được các biểu thức cần thiết.

— LVRao

Tôi chỉ nói rằng câu trả lời của bạn sẽ (theo ý kiến của tôi) sẽ cải thiện nếu bạn chỉ ra rõ ràng sai lầm trong lý luận của OP. Câu trả lời của bạn xuất phát từ các công thức chính xác, nhưng không cho thấy OP đã sai ở đâu.

— amip nói rằng Phục hồi lại

@amoeba Đúng. Đưa ra một số hướng, làm cho họ tự sửa cũng đôi khi giúp.

— LVRao

Hai sai lầm trong quá trình chứng minh của bạn:

1: trong đoạn đầu tiên có định nghĩa khác so với trong phần còn lại của bài viết. $X$ $X$

2: Dưới điều kiện là ~ , . Cố gắng làm việc từ $X$ $Bin(p, n)$ $E(X^2) \ne E(X)$ $E(X^2) = \sum {\left(x^2\Pr(X=x)\right)}$

— người dùng158565
nguồn

Nếu bạn thích làm cho đôi mắt của bạn chảy máu, tôi đã sao chép rất nhiều ghi chú của tôi từ trường học. Liên kết cụ thể này cho thấy đạo hàm của E (X) và E (X ^ 2) nutterb.github.io/ItCanBeShown/ Kẻ

— Benjamin