Làm thế nào để tính khoảng tin cậy cho một ý nghĩa hình học?

8

Xin lỗi nếu điều này khó hiểu chút nào, tôi rất không quen với các phương tiện hình học. Đối với ngữ cảnh, tập dữ liệu của tôi là giá trị danh mục đầu tư cuối tháng 35. Tôi đã tìm thấy tốc độ tăng trưởng hàng tháng [Tháng (N) / Tháng (N-1)] - 1, như vậy tôi hiện có 34 quan sát và muốn ước tính giá trị cuối tháng bằng cách sử dụng giá trị cuối tháng trước đã biết. Ví dụ: nếu tôi biết giá trị cuối của danh mục đầu tư là gì vào tháng trước, tôi sẽ lấy giá trị đó nhân với tốc độ tăng trưởng để có ước tính giá trị kết thúc của tháng này +/- biên sai số.

Ban đầu, tôi đã sử dụng giá trị trung bình số học của tốc độ tăng trưởng, tìm thấy độ lệch chuẩn của mẫu và tính khoảng tin cậy để có được tốc độ tăng trưởng giới hạn dưới / trên của tôi.

Bây giờ tôi nghi ngờ tính chính xác của phương pháp này và đã cố gắng sử dụng ý nghĩa hình học thay thế. Vì vậy, hiện tại tôi có bộ 34 tốc độ tăng trưởng của mình trừ khi tôi không trừ đi 1 để tất cả các giá trị đều dương, tính trung bình hình học và để tính độ lệch chuẩn sử dụng công thức wikipedia này :

σ_{g} = \exp (\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} \ln (\frac{x_{i}}{μ_{g}})^{2}}{n}})

$\sigma_g = \exp\!\!\left(\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n\ln\!\big(\frac{x_i}{\mu_g}\big)^2}{n}} \right)$ Bây giờ tôi không biết làm thế nào để tính toán 95% CI khi tôi đã xem qua các câu hỏi tương tự trên trang web này cũng như tìm kiếm chung trên internet và đang thấy các ý kiến khác nhau về phương pháp và công thức (tôi cũng thừa nhận bit bị mất trong toán học cơ bản).

Hiện tại tôi đang sử dụng các công thức cho phân phối bình thường để tính khoảng tin cậy dựa trên độ lệch chuẩn hình học trừ đi 1 (để lấy lại tỷ lệ phần trăm), như sau:

Lỗi tiêu chuẩn = [(Hình học Stdev-1) / Sqrt (N)],
Ký hiệu lỗi = [Lỗi tiêu chuẩn * 1.96] và
CI = [Trung bình hình học +/- Ký hiệu lỗi]

Đây có phải là một xấp xỉ hợp lý hay tôi nên sử dụng một phương pháp khác để tính CI?

distributions confidence-interval geometric-mean

— randyvelour
nguồn

5

Bạn có thể tính trung bình số học của tốc độ tăng trưởng nhật ký:

Để cho $V_t$ là giá trị của danh mục đầu tư của bạn tại thời điểm $t$
Để cho $R_t = \frac{V_t}{V_{t-1}}$ là tốc độ tăng trưởng của danh mục đầu tư của bạn từ $t-1$ đến $t$

Ý tưởng cơ bản là lấy nhật ký và làm công cụ tiêu chuẩn của bạn. Lấy nhật ký biến đổi phép nhân thành một tổng.

Để cho $r_t = \log R_t$ là tốc độ tăng trưởng log.

\bar{r} = = \frac{1}{T} Σ_{t = = 1}^{T} r_{t} S_{r} = = \sqrt{\frac{1}{T - 1} Σ_{t = = 1}^{T} {(r_{t} - \bar{r})}^{2}}

$\bar{r} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T r_t \quad \quad s_r = \sqrt{\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^T \left( r_t - \bar{r}\right)^2}$

Sau đó, lỗi tiêu chuẩn của bạn $\mathit{SE}_{\bar{r}}$ cho ý nghĩa mẫu của bạn $\bar{r}$ được đưa ra bởi:

{S E}_{\bar{r}} = = \frac{S_{r}}{\sqrt{T}}

$\mathit{SE}_{\bar{r}} = \frac{s_r}{\sqrt{T}}$

Khoảng tin cậy 95 phần trăm cho $\mu_r = {\operatorname{E}[r_t]}$ sẽ xấp xỉ:

(\bar{r} - 2 {S E}_{\bar{r}}, \bar{r} + 2 {S E}_{\bar{r}})

$\left( \bar{r} - 2 \mathit{SE}_{\bar{r}} , \bar{r} + 2 \mathit{SE}_{\bar{r}} \right)$ .

Số mũ để có được khoảng tin cậy cho $e^{\mu_r}$

Từ $e^x$ là một chức năng tăng nghiêm ngặt, khoảng tin cậy 95 phần trăm cho $e^{\mu_r}$ sẽ là:

(e^{\bar{r} - 2 {S E}_{\bar{r}}}, e^{\bar{r} + 2 {S E}_{\bar{r}}})

$\left( e^{\bar{r} - 2 \mathit{SE}_{\bar{r}}} , e^{\bar{r} + 2 \mathit{SE}_{\bar{r}}} \right)$

Và chúng ta đã hoàn thành. Tại sao chúng ta xong?

Quan sát $\bar{r} = \frac{1}{T} \sum_t r_t$ là nhật ký của trung bình hình học

Vì thế $e^{\bar{r}}$ là trung bình hình học của mẫu của bạn. Để hiển thị điều này, quan sát ý nghĩa hình học được đưa ra bởi:

G M = = {(R_{1} R_{2} Giáo dục R_{T})}^{\frac{1}{T}}

$\mathit{GM} = \left(R_1R_2\ldots R_T\right)^\frac{1}{T}$

Do đó, nếu chúng ta lấy nhật ký của cả hai bên:

\begin{aligned} đăng nhập G M & = = \frac{1}{T} Σ_{t = = 1}^{T} đăng nhập R_{t} \\ = = \bar{r} \end{aligned}

$\begin{align*} \log \mathit{GM} &= \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \log R_t \\ &= \bar{r} \end{align*}$

Một số ví dụ để xây dựng trực giác:

Giả sử bạn tính tốc độ tăng trưởng log trung bình là $.02$ . Thì ý nghĩa hình học là $\exp(.02) \approx 1.0202$ .
Giả sử bạn tính tốc độ tăng trưởng log trung bình là $-.05$ , sau đó ý nghĩa hình học là $\exp(-.05) = .9512$

Dành cho $x \approx 1$ , chúng ta có $\log(x) \approx x - 1$ va cho $y \approx 0$ , chúng ta có $\exp(y) \approx y + 1$ . Xa hơn nữa, những mánh khóe breka xuống:

Giả sử bạn tính tốc độ tăng trưởng log trung bình là $.69$ , sau đó ý nghĩa hình học là $\exp(.69) \approx 2$ (tức là giá trị tăng gấp đôi mỗi kỳ).

Nếu tất cả tốc độ tăng trưởng log của bạn $r_t$ gần bằng không (hoặc tương đương $\frac{V_t}{V_{t-1}}$ gần 1, sau đó bạn sẽ thấy rằng trung bình hình học và trung bình số học sẽ khá gần nhau

Một câu trả lời khác có thể hữu ích:

Khi câu trả lời này thảo luận, sự khác biệt của nhật ký về cơ bản là phần trăm thay đổi.

Nhận xét: nó hữu ích trong tài chính để có được suy nghĩ thoải mái trong nhật ký. Nó tương tự như suy nghĩ về phần trăm thay đổi nhưng về mặt toán học sạch hơn.

— Matthew Gunn
nguồn

Cảm ơn đã trả lời chi tiết, sự khác biệt giữa phương pháp này và phương pháp được đề xuất bởi @Greenparker là gì? Tôi có nên nhận kết quả khác nhau cho độ lệch chuẩn, lỗi, v.v.?

— randyvelour

1

@randyvelour Chúng tôi đang nói một cái gì đó cực kỳ giống nhau. Của tôi

\bar{r}

$\bar{r}$ giống hệt như của anh ấy

\bar{Y}

$\bar{Y}$ . Ông ủng hộ việc sử dụng phương pháp delta để có được sự phân phối tiệm cận của

e^{\bar{Y}}

$e^{\bar{Y}}$ và sử dụng điều đó để tạo khoảng tin cậy Bạn cũng có thể chỉ cần lũy thừa các điểm cuối của khoảng tin cậy của bạn cho

\bar{r}

$\bar{r}$ và có được một khoảng tin cậy không đối xứng.

— Matthew Gunn

4

Hãy giải quyết vấn đề thống kê trong tầm tay. Bạn có $X_1, \dots X_n$ từ một số phân phối với trung bình $\mu$ và phương sai $\sigma^2$ .

Xem xét $Y_i = \log X_i$ , nơi có nghĩa là $Y$ Là $\mu_y$ và phương sai là $\sigma^2_y$ . Hãy xem xét trung bình của $Y$ S: $\bar{Y}_n = \sum_{i=1}^{n} Y_i/n$ . Sau đó do CLT,

\sqrt{n} ({\bar{Y}}_{n} - μ_{y}) \overset{d}{\to} N (0, σ_{y}^{2}) .

$\sqrt{n} (\bar{Y}_n - \mu_y) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2_y)\,.$

Bây giờ hãy xem xét $e^{\bar{Y}_n}$ .

\begin{aligned} e^{{\bar{Y}}_{n}} & = = điểm kinh nghiệm {Σ_{Tôi = = 1}^{n} \frac{1}{n} đăng nhập Y_{Tôi}} \\ = = điểm kinh nghiệm {Σ_{Tôi = = 1}^{n} đăng nhập Y_{Tôi}^{1 / n}} \\ = = Π_{Tôi = = 1}^{n} điểm kinh nghiệm {đăng nhập Y_{Tôi}^{1 / n}} \\ = = Π_{Tôi = = 1}^{n} Y_{Tôi}^{1 / n} . \end{aligned}

$\begin{align*} e^{\bar{Y}_n} & = \exp\left\{\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{n} \log Y_i \right\}\\ & = \exp\left\{\sum_{i=1}^{n} \log Y_i^{1/n} \right\}\\ & = \prod_{i=1}^{n}\exp\left\{ \log Y_i^{1/n}\right\}\\ & = \prod_{i=1}^{n} Y_i^{1/n}\,. \end{align*}$

Như vậy $e^{\bar{Y}}$ là ý nghĩa hình học! Vì vậy, tiếp theo, chúng ta có thể áp dụng phương thức Delta cho phương thức CLT. Định nghĩa $g(x) = e^{x}$ , sau đó $g'(x) = e^x$ . Theo phương pháp Delta

\sqrt{n} (e^{{\bar{Y}}_{n}} - e^{μ_{y}}) \overset{d}{\to} N (0, e^{2 μ_{y}} σ_{y}^{2}) .

$\sqrt{n}(e^{\bar{Y}_n} - e^{\mu_y}) \overset{d}{\to} N(0, e^{2\mu_y}\sigma^2_y).$

Vì vậy, bây giờ bạn có một công cụ để làm cho khoảng tin cậy của bạn từ. $e^{\mu_y}$ là ý nghĩa hình học thực sự của bạn và bạn muốn tạo khoảng tin cậy cho điều này (đây không phải là khoảng tin cậy cho giá trị mong đợi $\mu$ ). Bước đầu tiên là ước tính $\sigma^2_y$ . Từ $\sigma^2_y$ là phương sai của $Y$ S,

S_{y}^{2} : = \frac{1}{n} Σ_{Tôi = = 1}^{n} (Y_{Tôi} - {\bar{Y}}_{n})^{2} = = \frac{1}{n} Σ_{Tôi = = 1}^{n} (đăng nhập X_{Tôi} - đăng nhập e^{{\bar{Y}}_{n}})^{2} = = \frac{1}{n} Σ_{Tôi = = 1}^{n} đăng nhập (\frac{X_{Tôi}}{e^{{\bar{Y}}_{n}}}) .

$s^2_y:= \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(Y_i - \bar{Y}_n)^2 = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (\log X_i - \log e^{\bar{Y}_n})^2 = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \log \left( \dfrac{X_i}{e^{\bar{Y}_n}} \right)\,.$

Để làm cho bạn $100(1 - \alpha)$ % khoảng tin cậy cho trung bình hình học thực sự:

e^{{\bar{Y}}_{n}} \pm z_{1 - α / 2} \frac{e^{{\bar{Y}}_{n}} S_{y}}{\sqrt{n}} .

$e^{\bar{Y}_n} \pm z_{1-\alpha/2}\dfrac{e^{\bar{Y}_n} s_y}{\sqrt{n}}\,.$

— Công viên xanh
nguồn

Cảm ơn bạn đã trả lời chi tiết, một câu hỏi tôi có là tại sao hàm GEOMEAN trong Excel tạo ra kết quả trung bình hình học khác với exp (Ybar)? Tôi đang làm điều gì đó sai hay là một sự khác biệt dự kiến? Ngoài ra, hàm GEOMEAN dường như cho (1 + Tốc độ tăng trưởng) trong khi phương thức của bạn chỉ trả về tốc độ tăng trưởng, tôi có cần thực hiện bất kỳ chuyển đổi nào sau khi tìm được giá trị trung bình không? Hay nói cách khác, có bất kỳ điểm nào mà tôi cần thực hiện một thao tác để quay lại tốc độ tăng trưởng tương tự với kết quả của (Mới / Cũ) không?