Thuộc tính tổng bằng không của sự khác biệt giữa dữ liệu và giá trị trung bình

8

Tôi là người mới trong nghiên cứu thống kê và trên trang web này và tôi đã tìm thấy "tài sản tổng bằng không" trong cuốn sách của tôi về giá trị trung bình. Nó dường như là thẳng về phía trước nhưng tôi vẫn không thể hiểu khái niệm về nó. Thông tin duy nhất nó cung cấp với công thức là

tổng chênh lệch giữa mỗi giá trị của biến , ghi chú và giá trị trung bình của , được ghi chú là , bằng 0. $Y$ $Y_i$ $Y$ $\bar Y$

Ai đó có thể giải thích khái niệm tốt hơn?

mean

— MK Qn
nguồn

8

Bạn đã có câu trả lời chính thức hơn. Câu trả lời này phải cung cấp cho bạn một số "trực giác" đằng sau toán học.

Trung bình số học là nhạy cảm với dữ liệu của bạn (bao gồm cả ngoại lệ) . Hãy tưởng tượng một đòn bẩy , giống như một minh họa dưới đây. Dữ liệu của bạn là những quả bóng màu cam nằm trên một chùm tia (hãy tưởng tượng rằng đó là trục x của một loại âm mưu nào đó và dữ liệu của bạn là các giá trị nằm rải rác xung quanh nó trên các vị trí khác nhau). Để thanh được đặt ở vị trí nằm ngang, bản lề cần được đặt ở vị trí cân bằng các quả bóng. Bạn có thể nhớ lại từ vật lý cơ bản (hoặc chỉ là trải nghiệm sân chơi từ thời thơ ấu của bạn), rằng vị trí của các quả bóng đóng vai trò trong việc chúng ảnh hưởng đến đòn bẩy như thế nào. Các quả bóng "bên ngoài", cách chúng ta gọi chúng trong các số liệu thống kê, có ảnh hưởng lớn hơn nhiều sau đó các quả bóng lộn xộn xung quanh "trung tâm". Giá trị trung bình là giá trị đặt bản lề ở vị trí chính xác làm cho đòn bẩy cân bằng.

Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng có nghĩa là nằm ở trung tâm, giữa các giá trị. Trung tâm được xác định theo khoảng cách (tức là sự khác biệt) giữa điểm và giá trị trung bình. Vì nó nằm ở trung tâm, nên chúng ta sẽ mong đợi rằng các khoảng cách được cân bằng, tức là chúng không có nhau, do đó tổng khoảng cách cần phải bằng 0 và có nghĩa là có tính chất này (và chỉ có giá trị trung bình).

Kiểm tra cũng có nghĩa là số học liên quan . Tại sao nó hoạt động? chủ đề trên math.stackexchange.com.

— Tim
nguồn

1

Điều này đúng cho công cụ ước tính trung bình vanilla, không phải cho trung bình dân số (trong giới hạn), hoặc công cụ ước tính trung bình phức tạp hơn. Trong thực tế, hầu hết các công cụ ước tính hao hụt đều mang lại giá trị trung bình thấp hơn (về mặt tuyệt đối) so với công cụ ước tính vanilla, do đó mức đó không thực sự cân bằng.

— Cagdas Ozgenc

3

@CagdasOzgenc Tôi nói rõ rằng điều này áp dụng cho trung bình số học.

— Tim

1

Nó không phải là một lời chỉ trích. Nhận xét bổ sung. Các câu trả lời khác không đủ toàn diện để bình luận.

— Cagdas Ozgenc

6

Đặt là giá trị quan sát từ một biến và let biểu thị giá trị trung bình số học của quan sát. Thuộc tính tổng bằng 0 có thể được viết dưới dạng toán học là: Chứng minh: Theo định nghĩa của chúng ta có và do đó: Giải thích: Lưu ý rằng $y_1,y_2, \dots, y_n$ $n$ $Y$ $\overline{y} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$

0 = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y}) .

$0 = \sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y}).$

\bar{y}

$\overline{y}$

n \bar{y} = n \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i} = \sum_{i = 1}^{n} y_{i}

$n\overline{y} = n\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n y_i$

\sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y}) = \sum_{i = 1}^{n} y_{i} - n \bar{y} = n \bar{y} - n \bar{y} = 0.

$\sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y}) = \sum_{i=1}^n y_i - n \overline{y} =n \overline{y} - n \overline{y}= 0.$

(y_{i} - \bar{y})

$(y_i - \overline{y})$ về cơ bản là "khoảng cách" giữa quan sát và trung bình số học trong đó thông tin mà thời gian quan sát nhỏ hơn hoặc lớn hơn trung bình số học vẫn được lưu giữ thông qua dấu của ( tất nhiên, khoảng cách sẽ phải là không âm và sẽ là ).

y_{i}

$y_i$

\bar{y}

$\overline{y}$

(y_{i} - \bar{y})

$(y_i - \overline{y})$

| y_{i} - \bar{y} |

$|y_i-\overline{y}|$

Thuộc tính tổng bằng 0 sau đó có thể được hiểu, rằng trung bình số học là số sao cho các giá trị quan sát của nhỏ hơn và các giá trị của lớn hơn giữ cân bằng, tức là họ tổng hợp bằng không. $\overline{y}$ $Y$ $\overline{y}$ $Y$ $\overline{y}$

Trong thực tế, có thể dễ dàng nhận thấy từ bằng chứng rằng đó là số duy nhất mà tài sản này nắm giữ.

Rõ ràng bạn có thể sử dụng thuộc tính này để kiểm tra xem các tính toán của giá trị trung bình có đúng không.

— BloXX
nguồn

4

Verba ngoan ngoãn ví dụ.

Seneka

Lấy ba số: 1, 2 và 3.

Giá trị trung bình là 2

Sự khác biệt giữa các giá trị và một giá trị trung bình là:

1-2 = -1

2-2 = 0

3-2 = 1

Tổng của những khác biệt này là

-1 + 0 + 1 = 0

Thuộc tính tổng bằng không nói rằng bất kể bạn bắt đầu bằng số nào, kết quả (tổng số các giá trị giữa chúng và giá trị trung bình của chúng) sẽ là 0

— Łukasz Deryło
nguồn

3

Đây là một bằng chứng tổng quát nhỏ tiện dụng đơn giản về kết quả $\sum (x_i - \overline{x}) = 0$

Chúng ta hãy lấy chuỗi số: chúng tôi xác nhận rằng giá trị trung bình của bộ số này có thể được ký hiệu là, Quay trở lại đến LHS của câu lệnh gốc chúng ta có thể viết ra điều này đầy đủ như sau: Điều này có thể được đơn giản hóa thành 0 trong các bước sau:

x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . ., x_{n}

$x_1,x_2,x_3,...,x_n$

\bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{n}

$\overline{x}=\frac{\sum x_i}{n}$

\sum (x_{i} - \bar{x})

$\sum (x_i - \overline{x})$

\sum (x_{i} - \bar{x}) = (x_{1} - \frac{\sum x_{i}}{n}) + (x_{2} - \frac{\sum x_{i}}{n}) + (x_{3} - \frac{\sum x_{i}}{n}) + . . . + (x_{n} - \frac{\sum x_{i}}{n})

$\sum (x_i - \overline{x}) = \Bigl(x_1-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) + \Bigl(x_2-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) + \Bigl(x_3-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) +...+\Bigl(x_n-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl)$

x_{1} + x_{2} + x_{3} + . . . + x_{n} - (\frac{n \sum x_{i}}{n})

$x_1+x_2+x_3+...+x_n-\Bigl(\frac{n\sum x_i}{n}\Bigl)$

\sum x_{i} - \sum x_{i}

$\sum x_i-\sum x_i$

= 0

$=0$

— Chris Wilson
nguồn