Phân tách phân phối bình thường

Có tồn tại phân phối chỉ dương sao cho sự khác biệt của hai mẫu độc lập từ phân phối này thường được phân phối không? Nếu vậy, nó có một hình thức đơn giản?

distributions probability

— Martin O'Leary
nguồn

Câu hỏi thú vị! Sự phân bố bình thường là vô cùng phân huỷ, có nghĩa là bạn luôn có thể viết nó như sự phân bố của một số tiền

của một số tùy ý

của các biến ngẫu nhiên. Nhưng đây không phải là câu hỏi.

x_{1} + \dots + x_{n}

$x_1+\ldots+x_n$

n

$n$

— Tây An

Nếu bạn nhận được đến chức năng tạo ra khoảnh khắc, câu hỏi là có hay không

cho phép một giải pháp (trong

) mà là một chức năng tạo ra khoảnh khắc của một biến tích cực ...

e^{t μ + \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}} = φ (t) φ (- t)

$e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}=\varphi(t)\varphi(-t)$

φ

$\varphi$

— Tây An

Bạn đã đúng, @Dilip: sự khác biệt của nửa quy tắc không có phân phối bình thường. Vấn đề không nằm ở phương sai của sự khác biệt: chính hình dạng của phân phối là không bình thường (sự suy yếu của nó quá lớn).

— whuber

Mặc dù điều này là hiển nhiên, có thể đáng lưu ý rằng tuyên bố là gần đúng. Sau khi tất cả, sự khác biệt của một

biến và

biến có

phân phối và, bằng cách chọn

đủ lớn, chúng ta có thể làm cơ hội là một trong hai biến âm nhỏ như mong muốn.

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$

μ

$\mu$

— whuber

Câu trả lời cho câu hỏi là Không, và nó xuất phát từ một đặc tính nổi tiếng của các bản phân phối bình thường.

Giả sử và là các biến ngẫu nhiên độc lập. Sau đó , các biến ngẫu nhiên độc lập và , và tất nhiên chúng ta có thể viết là , tổng của hai biến ngẫu nhiên độc lập. Bây giờ, theo một định lý được phỏng đoán bởi P. Lévy và được chứng minh bởi H. Cramér (xem Feller, Chương XV.8, Định lý 1), $X$ $Y$ $X$ $-Y$ $X-Y$ $X + (-Y)$

Nếu và là các biến ngẫu nhiên độc lập và được phân phối bình thường, thì cả và đều được phân phối bình thường. $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

OP hỏi liệu có tồn tại iid biến ngẫu nhiên dương và sao cho được phân phối bình thường. Nhưng ngay cả khi chúng ta phân phối tích cực và phân phối giống hệt nhau và chỉ giữ tính độc lập, tính quy tắc của yêu cầu cả và phải là biến ngẫu nhiên bình thường. Như Feller nói, "phân phối bình thường không thể bị phân tách ngoại trừ theo cách thức tầm thường." $X$ $Y$ $X-Y$ $X-Y = X + (-Y)$ $X$ $-Y$

— Dilip Sarwate
nguồn

Tôi đã phần nào hy vọng câu trả lời sẽ là có, nhưng cảm ơn! Tôi không dễ dàng truy cập vào một bản sao của Feller - có thể phác thảo một bằng chứng của định lý không? Có vẻ khá phản trực giác.

— Martin O'Leary

Ngay cả Feller cũng không bao gồm bằng chứng ban đầu cho rằng nó dựa trên lý thuyết chức năng phân tích và do đó hoàn toàn khác với cách tiếp cận của ông đối với các chức năng đặc trưng.

— Dilip Sarwate

Tôi nghĩ đó là trường hợp nhưng nó mở ra cánh cửa cho các biến phụ thuộc. Tôi đã cố gắng tìm cách xây dựng sự phụ thuộc giữa 2 nửa chuẩn dương nhưng không thể làm cho nó hoạt động được.

— Michael R. Chernick

có lẽ ai đó nên tôi quan tâm hơn đến việc cố gắng giải quyết nó

— Michael R. Chernick

Tôi sẽ đặt câu hỏi này và sau đó bạn có thể đánh vần câu trả lời của mình. Tôi không hoàn toàn theo dõi mật độ khớp này trông như thế nào và bạn có đang dùng Z = | X | - | Y |?

— Michael R. Chernick