Phương sai tối thiểu và tối đa là 2 iid Bình thường

7

Đặt và là iid $X$ $Y$ $\sim Normal(0,1)$

Đặt và $A=max(X,Y)$ $B=min(X,Y)$

Là gì và ? $Var(A)$ $Var(B)$

Từ mô phỏng, tôi nhận được khoảng 0,70. $Var(A)=Var(B)$

Làm thế nào để tôi có được điều này phân tích?

— người dùng164144
nguồn

4

Nếu bạn có thể thuyết phục bản thân rằng

max (X, Y) \overset{d}{=} - min (X, Y),

$\max(X,Y) \overset{d}{=} -\min(X,Y),$ thì việc lấy phương sai ở cả hai bên sẽ cho bạn câu trả lời.

Về phần khác, có lẽ bạn sẽ phải tích hợp bằng tay.

— Taylor
nguồn

1

Biểu thức bạn cung cấp ngụ ý rằng Var (A) = Var (B) và với điều này, tôi có thể tính toán cho các phương sai riêng lẻ đã có từ phương trình . Tôi nhận được 0,68 từ điều này mà tôi nghĩ là đủ gần với câu trả lời mô phỏng.

V a r (A) + V a r (B) = 2 - \frac{2}{π}

$Var(A)+Var(B)=2-\frac{2}{\pi}$

— dùng164144

1

Tôi cũng chỉ đọc rằng biểu thức bạn cung cấp giữ chung là . Chỉ cần làm rõ, âm cho -f không liên quan trong trường hợp của tôi vì X và Y có nghĩa là 0, đúng không?

m a x (f) = - m i n (- f)

$max(f)=-min(-f)$

— dùng164144

2

@ user164144 đúng vậy, nhưng phần thứ hai còn hơn thế. theo đại số, logic, tính độc lập, tính đối xứng tương ứng. Sau đó, bạn có thể làm điều gì đó tương tự cho anh chàng kia và bạn sẽ thấy cdf giống nhau.

P (- min (X, Y) \leq a) = P (min (X, Y) \geq - a)

$P(-\min(X,Y)\le a) = P(\min(X,Y)\ge -a)$

= P (X \geq - a, Y \geq - a) = P (X \geq - a) P (Y \geq - a) = P (X \leq a) P (Y \leq a)

$= P(X \ge -a, Y \ge -a) = P(X \ge -a)P(Y \ge -a) = P(X \le a) P(Y \le a)$

— Taylor

3

Thực hiện theo cách dài, tổng quát hóa hơn 2 iid Normals, đây là các phép tính không thể thiếu trong MAPLE:

$EA^2 =$

2*int(z^2*1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=-infinity..z)*1/sqrt(2*Pi)*exp(-z^2/2),z=-infinity..infinity);

bằng 1.

$EA =$

2*int(z*1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=-infinity..z)*1/sqrt(2*Pi)*exp(-z^2/2),z=-infinity..infinity);

bằng . $1/\sqrt{\pi}$

Do đó, Var (A) = 0.68169 ... đồng ý với mô phỏng của tôi. $1-1/\pi =$

Tất nhiên, Var (B) là giống hệt nhau.

— Đánh dấu đá
nguồn

1

Hãy xem xét trường hợp bình thường tiêu chuẩn (vì nó tầm thường để khái quát hóa). Đặt . $Z = \max(X,Y)$

$F_Z(z)=P(\max(X,Y)\leq z) = P(X\leq z,Y\leq z) = \Phi(z)^2$

do đó thu được bằng cách phân biệt. $f_Z(z)$

Như mong đợi, lưu ý những điều sau:

$\frac{d}{dx} \phi(x)\Phi(x) = -x\phi(x)\Phi(x) + \phi(x)^2$

Lưu ý thêm rằng có thể được viết theo cho một số hằng số và . Từ đó bạn sẽ có thể chỉ ra rằng $\phi(x)^2$ $a\phi(bx)$ $a$ $b$

$\int x\phi(x)\Phi(x)\,dx={\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Phi(x\sqrt{2})-\phi(x)\Phi(x)+C$
(nếu không, hiển thị nó bằng cách phân biệt ...)

Và bằng cách lấy đạo hàm của bạn sẽ có thể sử dụng các kết quả trước đó để đến . $x\phi(x)\Phi(x)$ $E(Z^2)$

.... Hoặc chỉ sử dụng bảng tích phân xác định tại đây: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_Gaussian_fifts#Definite_integrals

với một chút thao túng, tôi nghĩ bạn có thể làm được kỳ vọng và phương sai từ đó.

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn