Một đa tạp là gì?

Trong kỹ thuật giảm kích thước như Phân tích thành phần chính, LDA, v.v ... thường sử dụng thuật ngữ đa tạp. Một đa tạp trong thuật ngữ phi kỹ thuật là gì? Nếu một điểm thuộc về một hình cầu mà tôi muốn giảm kích thước và nếu có nhiễu y và x và y không tương quan thì các điểm x thực tế sẽ cách xa nhau do nhiễu. Do đó, lọc tiếng ồn sẽ được yêu cầu. Vì vậy, việc giảm kích thước sẽ được thực hiện trên z = x + y . Do đó, ở đây x và y có thuộc về đa tạp khác nhau không?$x$$y$$x$$y$$x$$z = x+y$$x$$y$

Tôi đang làm việc trên dữ liệu đám mây điểm thường được sử dụng trong tầm nhìn của robot; các đám mây điểm bị nhiễu do nhiễu trong quá trình thu nhận và tôi cần giảm nhiễu trước khi giảm kích thước. Nếu không, tôi sẽ nhận được giảm kích thước không chính xác. Vì vậy, đa tạp ở đây là gì và nhiễu là một phần của cùng một đa tạp mà thuộc về?$x$

Theo thuật ngữ phi kỹ thuật, đa tạp là một cấu trúc hình học liên tục có kích thước hữu hạn: đường thẳng, đường cong, mặt phẳng, bề mặt, hình cầu, quả bóng, hình trụ, hình xuyến, "đốm màu" ... đại loại như thế này :

Đây là một thuật ngữ chung được các nhà toán học sử dụng để nói "đường cong" (chiều 1) hoặc "bề mặt" (chiều 2) hoặc đối tượng 3D (chiều 3) ... cho bất kỳ kích thước hữu hạn . Một đa tạp một chiều chỉ đơn giản là một đường cong (đường thẳng, đường tròn ...). Một đa tạp hai chiều chỉ đơn giản là một bề mặt (mặt phẳng, hình cầu, hình xuyến, hình trụ ...). Một đa tạp ba chiều là một "vật thể đầy đủ" (quả bóng, khối lập phương đầy đủ, không gian 3D xung quanh chúng ta ...).$n$

Một đa tạp thường được mô tả bởi một phương trình: tập hợp các điểm như x 2 + y 2 = 1 là một đa tạp một chiều (một đường tròn).$(x,y)$$x^2+y^2=1$

Một đa tạp có cùng chiều ở khắp mọi nơi. Ví dụ: nếu bạn nối một đường (chiều 1) vào một hình cầu (chiều 2) thì cấu trúc hình học kết quả không phải là một đa tạp.

Không giống như các khái niệm tổng quát hơn về không gian số liệu hoặc không gian tôpô cũng có ý định mô tả trực giác tự nhiên của chúng ta về một tập hợp các điểm liên tục, một đa tạp được dự định là một thứ đơn giản cục bộ: như không gian vectơ hữu hạn: . Điều này loại trừ các không gian trừu tượng (như không gian kích thước vô hạn) thường không có ý nghĩa cụ thể hình học.$\mathbb{R}^n$

Không giống như một không gian vectơ, đa tạp có thể có nhiều hình dạng khác nhau. Một số đa tạp có thể dễ dàng hình dung (hình cầu, quả bóng ...), một số rất khó hình dung, như chai Klein hoặc mặt phẳng chiếu thực sự .

Trong thống kê, học máy hay toán học ứng dụng nói chung, từ "đa tạp" thường được sử dụng để nói "giống như một không gian con tuyến tính" nhưng có thể bị cong. Bất cứ khi nào bạn viết một phương trình tuyến tính như: bạn sẽ có một không gian con tuyến tính (affine) (ở đây là một mặt phẳng). Thông thường, khi phương trình không tuyến tính như x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 7 , đây là một đa tạp (ở đây là một hình cầu kéo dài).$3x+2y-4z=1$$x^2+2y^2+3z^2=7$

Ví dụ: " giả thuyết đa dạng " của ML cho biết "dữ liệu chiều cao là các điểm trong một đa tạp chiều thấp có thêm nhiễu chiều cao". Bạn có thể tưởng tượng các điểm của vòng tròn 1D có thêm một số nhiễu 2D. Mặc dù các điểm không chính xác trên đường tròn, nhưng chúng thỏa mãn thống kê phương trình . Vòng tròn là đa tạp cơ bản: $x^2+y^2=1$

Một đa tạp (tôpô) là một không gian là:$M$

(1) "cục bộ" "tương đương" với đối với một số n .$\mathbb{R}^n$$n$

"Tại địa phương", "tương đương" có thể được biểu thị thông qua hàm tọa độ, c i : M → R , cùng nhau tạo thành hàm "bảo toàn cấu trúc", c : M → R n , được gọi là biểu đồ .$n$$c_i: M \to \mathbb{R}$$c: M \to \mathbb{R}^n$

(2) có thể được nhận ra theo cách "bảo tồn cấu trúc" như là một tập hợp con của đối với một số N ≥ n . (1) (2)$\mathbb{R}^N$$N \ge n$

Lưu ý rằng để làm cho "cấu trúc" chính xác ở đây, người ta cần hiểu các khái niệm cơ bản về cấu trúc liên kết ( def. ), Cho phép người ta đưa ra các khái niệm chính xác về hành vi "cục bộ" , và do đó "cục bộ" ở trên. Khi tôi nói "tương đương", tôi có nghĩa là cấu trúc topo tương đương ( đồng phôi ), và khi tôi nói "cấu trúc bảo quản" Ý tôi là điều tương tự (tạo ra một cấu trúc topo tương đương).

Cũng lưu ý rằng để thực hiện phép tính trên đa tạp , người ta cần một điều kiện bổ sung không tuân theo hai điều kiện trên, về cơ bản có nội dung như "các biểu đồ được xử lý tốt đủ để cho phép chúng tôi thực hiện phép tính". Đây là những đa tạp thường được sử dụng trong thực tế. Không giống như các đa tạp tôpô nói chung , ngoài tính toán, chúng còn cho phép các tam giác , điều này rất quan trọng trong các ứng dụng như của bạn liên quan đến dữ liệu đám mây điểm .

Lưu ý rằng không phải tất cả mọi người sử dụng cùng một định nghĩa cho đa tạp (tôpô). Một số tác giả sẽ định nghĩa nó là thỏa mãn điều kiện duy nhất (1) ở trên, không nhất thiết là (2). Tuy nhiên, định nghĩa thỏa mãn cả (1) và (2) là hành vi tốt hơn nhiều, do đó hữu ích hơn cho các học viên. Người ta có thể mong đợi theo trực giác rằng (1) ngụ ý (2), nhưng thực tế không phải vậy.

EDIT: Nếu bạn quan tâm đến việc tìm hiểu chính xác "cấu trúc liên kết" là gì, ví dụ quan trọng nhất về cấu trúc liên kết cần hiểu là cấu trúc liên kết Euclide của . Điều này sẽ được đề cập sâu trong bất kỳ cuốn sách giới thiệu (tốt) nào về "phân tích thực" .$\mathbb{R}^n$

Trong bối cảnh này, thuật ngữ đa dạng là chính xác, nhưng là highfalutin không cần thiết. Về mặt kỹ thuật, một đa tạp là bất kỳ không gian nào (tập hợp các điểm có cấu trúc liên kết) đủ mịn và liên tục (theo cách có thể, với một số nỗ lực, được xác định rõ về mặt toán học).

Hãy tưởng tượng không gian của tất cả các giá trị có thể của các yếu tố ban đầu của bạn. Sau một kỹ thuật giảm kích thước, không phải tất cả các điểm trong không gian đó đều có thể đạt được. Thay vào đó, chỉ có thể chỉ ra một số không gian con được nhúng bên trong không gian đó. Không gian con nhúng đó xảy ra để hoàn thành định nghĩa toán học của một đa tạp. Đối với kỹ thuật giảm kích thước tuyến tính như PCA, không gian con đó chỉ là không gian con tuyến tính (ví dụ: siêu phẳng), là một đa tạp tương đối tầm thường. Nhưng đối với kỹ thuật giảm kích thước phi tuyến tính, không gian phụ đó có thể phức tạp hơn (ví dụ: siêu bề mặt cong). Đối với mục đích phân tích dữ liệu, hiểu rằng đây là các không gian con quan trọng hơn nhiều so với bất kỳ suy luận nào bạn sẽ rút ra khi biết rằng chúng hoàn thành định nghĩa về đa tạp.