Định nghĩa của một phân phối đối xứng là gì?

Định nghĩa của phân phối đối xứng là gì? Có người nói với tôi rằng một biến ngẫu nhiên đến từ phân phối đối xứng khi và chỉ khi và có cùng phân phối. Nhưng tôi nghĩ định nghĩa này là một phần đúng. Bởi vì tôi có thể trình bày một ví dụ và . Rõ ràng, nó có phân phối đối xứng, nhưng và có phân phối khác nhau! Tôi có đúng không Các bạn có bao giờ nghĩ về câu hỏi này? Định nghĩa chính xác của phân phối đối xứng là gì? $X$ $X$ $-X$ $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ $\mu\neq0$ $X$ $-X$

distributions definition symmetry

— shijing SI
nguồn

Khi bạn nói, "phân phối là đối xứng", bạn phải xác định đối với điểm nào là đối xứng. Trong trường hợp của phân phối chuẩn bạn trình bày, đối xứng được đưa ra xung quanh

μ

$\mu$ . Trong trường hợp này

X - μ

$X-\mu$ và

- (X - μ)

$-(X-\mu)$ có cùng một phân phối. Về mặt mật độ, điều này có thể được biểu thị là:

f

$f$ đối xứng về

μ

$\mu$ nếu

f (μ - x) = f (μ + x)

$f(\mu-x)=f(\mu+x)$ . BTW, đó là cách cư xử tốt để chấp nhận câu trả lời khi bạn hài lòng với một trong số họ.

Vâng, chúng tôi đã nghĩ về câu hỏi này. Đối xứng nói chung có nghĩa là đối xứng về

0

$0$ và, đối với các mẫu tương ứng xa hơn, yêu cầu về phân phối đối xứng không phải là điều gì đó đúng với hàm phân phối xác suất tích lũy . "Phản ví dụ" của bạn có tính đối xứng về điểm

μ \neq 0

$\mu \neq 0$ , không phải về điểm

0

$0$ .

— Dilip Sarwate

@Dilip Khi một định nghĩa phụ thuộc vào một cách để mô tả một cái gì đó, nhưng định nghĩa có thể được chứng minh là một tài sản nội tại của một cái gì đó, sau đó nó làm cho không có ý nghĩa để áp dụng định nghĩa để một khác nhau dưới hình thức mô tả. Trong trường hợp này, tính đối xứng là một thuộc tính của phân phối , nhưng điều đó không ngụ ý rằng tất cả các mô tả về phân phối đó (bao gồm cả PDF và CDF) phải là "đối xứng" theo cùng một cách. Bằng cách áp dụng tính đối xứng của PDF vào CDF, nhận xét của bạn gây nhầm lẫn cho câu hỏi hơn là làm rõ nó.

— whuber

shijing, @Procrastinator đã quan sát thấy rằng bạn đã hỏi nhiều câu hỏi mà không chấp nhận bất kỳ câu trả lời nào. Điều đó cho thấy bạn có thể không quen thuộc với cách trang web này hoạt động. Để làm sáng tỏ bất kỳ sự hiểu lầm, bạn sẽ vui lòng đọc phần có liên quan của FAQ của chúng tôi tất cả các đường đi qua ? Sẽ chỉ mất vài phút và làm theo hướng dẫn của nó sẽ nâng cao giá trị của trang web của chúng tôi cho bạn.

— whuber

@whuber CDF là một trong số ít các mô tả trong đó phân phối từ thực sự xảy ra trong tên và tôi đã cố gắng làm rõ rằng thuộc tính đối xứng không giữ cho CDF.

— Dilip Sarwate

Câu trả lời:

Tóm lại: đối xứng khi và có cùng phân phối cho một số thực . $X$ $X$ $2a-X$ $a$ Nhưng đi đến điều này một cách hoàn toàn hợp lý đòi hỏi một số giải thích và khái quát hóa, bởi vì nó đặt ra nhiều câu hỏi ngầm: tại sao định nghĩa này về "đối xứng"? Có thể có các loại đối xứng khác? Mối quan hệ giữa phân phối và đối xứng của nó là gì, và ngược lại, mối quan hệ giữa "đối xứng" và các phân phối có thể có đối xứng đó là gì?

Các đối xứng trong câu hỏi là sự phản ánh của dòng thực. Tất cả đều có dạng

x \to 2 a - x

$x \to 2a-x$

cho một số hằng số . $a$

Vì vậy, giả sử có đối xứng này cho ít nhất một . Sau đó, đối xứng ngụ ý $X$ $a$

Pr [X \geq a] = Pr [2 a - X \geq a] = Pr [X \leq a]

$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$

cho thấy rằng là trung bình của . Tương tự, nếu có một kỳ vọng, thì ngay lập tức nó sẽ theo . Vì vậy, chúng ta thường có thể ghim xuống cách dễ dàng. Ngay cả khi không, (và do đó chính đối xứng) vẫn được xác định duy nhất (nếu nó tồn tại). $a$ $X$ $X$ $a = E[X]$ $a$ $a$

Để thấy điều này, hãy để là bất kỳ trung tâm đối xứng. Sau đó áp dụng cả hai đối xứng, chúng ta thấy là bất biến dưới bản dịch . Nếu , phân phối của phải có một khoảng thời gian là , điều này là không thể vì tổng xác suất của phân phối định kỳ là hoặc vô hạn. Do đó $b$ $X$ $x \to x + 2(b-a)$ $b-a \ne 0$ $X$ $b-a$ $0$ $b-a=0$ , cho thấy là duy nhất. $a$

Tổng quát hơn, khi là một nhóm hoạt động trung thành trên dòng thực (và bằng cách mở rộng trên tất cả các tập hợp Borel của nó), chúng ta có thể nói rằng phân phối là "đối xứng" (đối với ) khi $G$ $X$ $G$

Pr [X \in E] = Pr [X \in E^{g}]

$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$

cho tất cả các tập hợp có thể đo được và các phần tử , trong đó biểu thị hình ảnh của dưới tác động của . $E$ $g \in G$ $E^g$ $E$ $g$

Ví dụ, hãy để vẫn là một nhóm thứ tự , nhưng bây giờ hãy để hành động của nó là lấy đối ứng của một số thực (và để nó sửa $G$ $2$ $0$ ). Phân phối lognatural tiêu chuẩn là đối xứng với nhóm này. Ví dụ này có thể được hiểu là một ví dụ của đối xứng phản xạ trong đó biểu hiện lại phi tuyến của tọa độ đã diễn ra. Điều này cho thấy tập trung vào các biến đổi tôn trọng "cấu trúc" của dòng thực. Cấu trúc cần thiết cho xác suất phải liên quan đến các bộ Borel và thước đo Lebesgue, cả hai đều có thể được xác định theo khoảng cách (Euclide) giữa hai điểm.

Theo định nghĩa, một bản đồ bảo toàn khoảng cách là một hình học . Nó được biết đến (và dễ dàng, mặc dù có một chút liên quan, để chứng minh) rằng tất cả các hình học của dòng thực được tạo ra bởi các phản xạ. Khi hiểu rằng "đối xứng" có nghĩa là đối xứng với một số nhóm hình học , thì nhóm phải được tạo ra bởi nhiều nhất một phản xạ và chúng ta đã thấy rằng sự phản xạ được xác định duy nhất bởi bất kỳ phân phối đối xứng nào đối với nó. Theo nghĩa này, phân tích trước là toàn diện và biện minh cho thuật ngữ thông thường của phân phối "đối xứng".

Ngẫu nhiên, một loạt các ví dụ đa biến về phân phối bất biến theo các nhóm hình học được cung cấp bằng cách xem xét các phân phối "hình cầu". Đây là bất biến dưới tất cả các phép quay (liên quan đến một số trung tâm cố định). Chúng khái quát hóa trường hợp một chiều: "các phép quay" của đường thẳng thực chỉ là các phản xạ.

Cuối cùng, điều đáng nói là một công trình tiêu chuẩn - tính trung bình trong nhóm - đưa ra một cách để tạo ra vô số phân phối đối xứng. Trong trường hợp của dòng thực, hãy tạo bằng phản xạ về một điểm , sao cho nó bao gồm phần tử nhận dạng và phản xạ này, . Đặt là phân phối bất kỳ . Xác định phân phối $G$ $a$ $e$ $g$ $X$ $Y$ bằng cách đặt

{Pr}_{Y} [E] = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} {Pr}_{X} [E^{g}] = ({Pr}_{X} [E] + {Pr}_{X} [E^{g}]) / 2

${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$

cho tất cả các bộ Borel . Điều này rõ ràng là đối xứng và thật dễ dàng để kiểm tra xem nó có phải là phân phối không (tất cả các xác suất vẫn không âm và tổng xác suất là ). $E$ $1$

Gamma

Minh họa quá trình tính trung bình của nhóm, bản PDF của phân phối Gamma đối xứng (tập trung tại ) được hiển thị bằng vàng. Gamma ban đầu có màu xanh lam và hình phản chiếu của nó có màu đỏ. $a=2$

— whuber
nguồn

(+1) Tôi muốn thêm rằng, trong cài đặt đa biến, định nghĩa đối xứng không phải là duy nhất. Trong cuốn sách này có 8 định nghĩa có thể có về phân phối đa biến đối xứng.

@Procrastinator Tôi tò mò về những gì bạn có thể có nghĩa là "không phải là duy nhất." AFAIK, bất cứ điều gì biện minh cho tên "đối xứng" cuối cùng đều đề cập đến một hành động nhóm trên một không gian. Sẽ rất thú vị khi xem những gì các nhà thống kê hành động khác nhau đã tìm thấy hữu ích. Vì cuốn sách đó không còn xuất bản và không có sẵn trên Web, bạn có thể đưa ra một ví dụ nhanh về hai loại đối xứng thực sự khác nhau được xem xét trong cuốn sách đó không?

— whuber

Trực giác của bạn là chính xác, điều này có liên quan đến các tính năng thống kê: Đối xứng trung tâm ; Đối xứng hình cầu cho tất cả ma trận trực giao . Tôi không thể nhớ lại phần còn lại, nhưng tôi sẽ cố gắng mượn cuốn sách vào những ngày này. Trong liên kết này, bạn có thể tìm thấy một số trong số họ.

X - μ \overset{d}{=} - (X - μ)

${\bf X}-\mu\stackrel{d}{=}-({\bf X}-\mu)$

X - μ \overset{d}{=} O (X - μ)

$X-\mu\stackrel{d}{=}{\bf O}({\bf X}-\mu)$

O

${\bf O}$

@Procrastinator Cảm ơn. Lưu ý rằng hai ví dụ bạn đưa ra là cả hai trường hợp đặc biệt của định nghĩa chung mà tôi đã cung cấp: đối xứng trung tâm tạo ra một nhóm hai phần tử của hình học và đối xứng hình cầu cũng là một nhóm con của tất cả các hình học. "Đối xứng hình elip" trong liên kết là một đối xứng hình cầu sau khi biến đổi affine, và do đó minh họa cho hiện tượng mà tôi đã chỉ ra với ví dụ logic. Các "đối xứng góc" một lần nữa tạo thành một nhóm các hình học. "Đối xứng nửa không gian" [sic] không phải là đối xứng, nhưng cho phép khởi hành rời rạc từ đó: đó là mới.

— whuber

Câu trả lời sẽ phụ thuộc vào ý của bạn đối xứng. Trong vật lý, khái niệm đối xứng là cơ bản và đã trở nên rất chung chung. Đối xứng là bất kỳ hoạt động nào làm cho hệ thống không thay đổi. Trong trường hợp phân phối xác suất, điều này có thể được dịch sang bất kỳ thao tác nào trả về cùng xác suất . $X \to X'$ $P(X) = P(X')$

Trong trường hợp đơn giản của ví dụ đầu tiên, bạn đang đề cập đến sự đối xứng phản xạ về mức tối đa. Nếu phân phối là hình sin thì bạn có thể có điều kiện , trong đó là bước sóng hoặc chu kỳ. Sau đó và vẫn sẽ phù hợp với định nghĩa đối xứng tổng quát hơn. $X \to X + \lambda$ $\lambda$ $P(X) = P(X + \lambda)$

— Michael Hoffman
nguồn