Mối tương quan giữa X và XY

11

Nếu tôi có hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập, mối tương quan giữa X và sản phẩm XY là gì? Nếu điều này là không xác định, tôi sẽ quan tâm đến việc biết ít nhất những gì xảy ra trong trường hợp cụ thể của X và Y là bình thường với số không, nếu điều đó dễ giải quyết hơn.

correlation

— Roberto
nguồn

4

Điều gì thúc đẩy câu hỏi này? Tôi tự hỏi nếu nó là tốt nhất nếu chúng ta cũng giải quyết một cái gì đó khác ở đây. Bạn đang thực hiện một nghiên cứu trong đó bạn đã tạo một biến XY vì một số lý do?

— gung - Phục hồi Monica

13

Giải pháp

Tôi mang nó rằng một giải pháp hợp lệ sẽ là một thể hiện - nếu có thể - mối tương quan về các tính chất riêng biệt của các biến và . Tính toán tương quan sẽ liên quan đến tính toán các hiệp phương sai của monomials trong và . Đó là kinh tế để làm điều này được thực hiện cùng một lúc. Đơn giản chỉ cần quan sát rằng $X$ $Y$ $X$ $Y$

Khi và độc lập và và là lũy thừa thì và độc lập; $X$ $Y$ $i$ $j$ $X^i$ $Y^j$
Kỳ vọng về một sản phẩm của các biến độc lập là sản phẩm của sự mong đợi của họ.

Điều này sẽ cung cấp cho các công thức về những khoảnh khắc của và . $X$ $Y$

Thats tất cả để có nó.

Chi tiết

Viết , v.v. cho các khoảnh khắc. Do đó, đối với bất kỳ số mà các phép tính có ý nghĩa và tạo ra các số hữu hạn, $\mu_i(X) = E(X^i)$ $i,j,k,l$

\begin{aligned} Cov (X^{i} Y^{j}, X^{k} Y^{l}) & = E (X^{i} Y^{j} X^{k} Y^{l}) - E (X^{i} Y^{j}) E (X^{k} Y^{l}) \\ = μ_{i + k} (X) μ_{j + l} (Y) - μ_{i} (X) μ_{k} (X) μ_{j} (Y) μ_{l} (Y) . \end{aligned}

$\eqalign{ \operatorname{Cov}\left(X^iY^j, X^kY^l\right) &= E\left(X^iY^j X^kY^l\right) - E\left(X^iY^j\right) E\left(X^kY^l\right) \\&= \mu_{i+k}(X)\mu_{j+l}(Y) - \mu_i(X)\mu_k(X)\mu_j(Y)\mu_l(Y).}$

Lưu ý rằng phương sai của bất kỳ biến ngẫu nhiên nào là hiệp phương sai với chính nó, vì vậy chúng ta không phải thực hiện bất kỳ phép tính đặc biệt nào cho phương sai.

Bây giờ rõ ràng là làm thế nào để tính toán các khoảnh khắc liên quan đến đơn thức, của bất kỳ quyền hạn nào, với bất kỳ số lượng hữu hạn các biến ngẫu nhiên độc lập. Là một ứng dụng, áp dụng kết quả này cho định nghĩa tương quan, đó là hiệp phương sai chia cho căn bậc hai của phương sai:

\begin{aligned} Cor (X, X Y) & = \frac{Cov (X^{1} Y^{0}, X^{1} Y^{1})}{\sqrt{Cov (X^{1} Y^{0}, X^{1} Y^{0}) Cov (X^{1} Y^{1}, X^{1} Y^{1})}} \\ = \frac{μ_{2} (X) μ_{1} (Y) - μ_{1} (X)^{2} μ_{1} (Y)}{\sqrt{(μ_{2} (X) - μ_{1} (X)^{2}) (μ_{2} (X) μ_{2} (Y) - μ_{1} (X)^{2} μ_{2} (Y)^{2})}} . \end{aligned}

$\eqalign{\operatorname{Cor}(X,XY) &= \frac{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^1)}{\sqrt{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^0)\ \operatorname{Cov}(X^1Y^1, X^1Y^1)}} \\ &=\frac{\mu_2(X)\mu_1(Y) - \mu_1(X)^2\mu_1(Y)}{\sqrt{\left(\mu_2(X)-\mu_1(X)^2\right)\left(\mu_2(X)\mu_2(Y)-\mu_1(X)^2\mu_2(Y)^2\right)}} . }$

Có nhiều cách đơn giản hóa đại số khác nhau mà bạn có thể chọn nếu bạn muốn liên hệ điều này với kỳ vọng, phương sai và hiệp phương sai của các biến ban đầu, nhưng thực hiện chúng ở đây sẽ không cung cấp thêm thông tin chi tiết.

— whuber
nguồn

14

Sử dụng định luật hiệp phương sai và độc lập của và , $X$ $Y$ Sử dụng luật của phương sai tổng thể, và một lần nữa, tính độc lập,

\begin{aligned} Cov (X, X Y) & = E Cov (X, X Y | Y) + Cov (E X | Y, E X Y | Y) \\ = E (Y Cov (X, X)) + Cov (E X, Y E X) \\ = E (Y Var X) + Cov (E X, Y E X) \\ = E Y Var X . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Cov}(X,XY) &=E\mbox{Cov}(X,XY|Y)+\mbox{Cov}(EX|Y,EXY|Y) \\&=E(Y\mbox{Cov}(X,X)) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=E(Y\mbox{Var}X) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=EY\mbox{Var}X. \end{align}$

\begin{aligned} Var (X Y) & = E Var (X Y | Y) + Var E (X Y | Y) \\ = E (Y^{2} (Var X | Y)) + Var (Y (E X | Y)) \\ = E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X) \\ = E (Y^{2}) Var X + (E X)^{2} Var Y \\ = Var X Var Y + (E Y)^{2} Var X + (E X)^{2} Var Y . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Var}(XY) &= E\mbox{Var}(XY|Y) + \mbox{Var} E(XY|Y) \\&= E(Y^2 (\mbox{Var}X|Y)) + \mbox{Var} (Y (EX|Y)) \\&= E(Y^2 \mbox{Var}X) + \mbox{Var} (Y EX) \\&= E(Y^2) \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y \\&= \mbox{Var}X\mbox{Var}Y+(EY)^2 \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y . \end{align}$

Y

$Y$

\begin{aligned} corr (X, X Y) & = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{Var Y}{(E Y)^{2}} (1 + \frac{(E X)^{2}}{Var X})}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{corr}(X,XY) &=\frac1{\sqrt{ 1 + \frac{\text{Var}Y}{(EY)^2}\left(1 + \frac{(EX)^2}{\text{Var}X}\right) }}. \end{align}$

Kiểm tra kết quả này bằng mô phỏng:

> n <- 1e+6
> x <- rexp(n,2)-2
> y <- rnorm(n,mean=5)
> cv2 <- function(x) var(x)/mean(x)^2
> 1/sqrt(1+cv2(y)*(1+1/cv2(x)))
[1] 0.844882
> cor(x,x*y)
[1] 0.8445373

— Tuleo
nguồn

E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X)

$E(Y^2\text{Var}X)+\text{Var}(YEX)$

E Cov (X, X Y | Y) = E Y Cov (X, X)

$E\text{Cov}(X, XY|Y)=EY\text{Cov}(X,X)$

Y

$Y$ là một cho trước. Tôi sẽ đề nghị một lời giải thích tối thiểu cho một số bước.

— Antoni Parellada

1

Vâng, tôi đã thêm một số dấu ngoặc đơn bị thiếu và một số giải thích. Tôi phải thừa nhận rằng tôi thích câu trả lời của @whuber hơn.

— Jarle Tufto

5

$\rho(XY,X) = 0$ $\mathbb{E}(X^2Y) = \mathbb{E}[\mathbb{E}[ X^2Y | X]] = \mathbb{E}[X^2\mathbb{E}[Y|X]] = 0$ $cov(XY,X) = \mathbb{E}(X^2Y) - \mathbb{E}(XY).\mathbb{E}(X) = 0$

— Kledou
nguồn

-2

Tương quan tuyến tính giữa X và XY sẽ là,

Đúng (X, XY) = Cov (X, XY) / sqrt (var (X) * var (XY))

Cov (X, XY) = Tổng ((X-mean (X)) (XY-mean (XY)) / n

n - cỡ mẫu; var (X) = phương sai của X; var (XY) = phương sai của XY

— Sam Gl Arena
nguồn

1

Câu hỏi là về các biến ngẫu nhiên , không phải về dữ liệu.

— whuber

Làm thế nào chúng ta có thể tìm thấy liệu 2 biến ngẫu nhiên có tương quan hay không? Thông qua dữ liệu chỉ đúng. Sửa tôi nếu tôi sai. Lời xin lỗi.

— Sam Gladio

Người ta tính toán tương quan về mặt lý thuyết, sử dụng các tính chất toán học của các biến ngẫu nhiên. Nó rất giống với việc tính toán sức mạnh của thiết kế cầu bằng các nguyên lý của cơ học Newton, so với việc xây dựng cầu và kiểm tra chúng: có những vai trò riêng biệt cho lý thuyết và dữ liệu và chúng không nên bị nhầm lẫn với nhau .

— whuber