Tại sao 600 trên 1000 thuyết phục hơn 6 trên 10?

Hãy xem đoạn trích này từ "Cẩm nang kỹ năng học tập", Palgrave, 2012, của Stella Cottrell, trang 155:

Tỷ lệ phần trăm Thông báo khi tỷ lệ phần trăm được đưa ra.
Giả sử, thay vào đó, tuyên bố trên đọc:

60% người ưa thích cam; 40% cho biết họ thích táo.

Điều này có vẻ thuyết phục: Số lượng được đưa ra. Nhưng sự khác biệt giữa 60% và 40% có ý nghĩa ? Ở đây chúng tôi sẽ cần biết có bao nhiêu người được hỏi. Nếu 1000 người được hỏi trong số 600 người ưa thích cam, con số đó sẽ có sức thuyết phục. Tuy nhiên, nếu chỉ có 10 người được hỏi, 60% đơn giản có nghĩa là 6 người thích cam. "60%" nghe có vẻ thuyết phục theo cách mà "6 trên 10" không có. Là một người đọc quan trọng, bạn cần cảnh giác về tỷ lệ phần trăm đang được sử dụng để làm cho dữ liệu không đủ trông ấn tượng.

Đặc điểm này được gọi là gì trong thống kê? Tôi muốn đọc thêm về nó.

Tôi muốn liệt kê một ví dụ trực quan khác.

Giả sử tôi nói với bạn rằng tôi có thể dự đoán kết quả của bất kỳ lần lật xu nào. Bạn không tin và muốn kiểm tra khả năng của tôi.

Bạn đã thử nghiệm 5 lần và tôi đã hiểu tất cả. Bạn có tin rằng tôi có khả năng đặc biệt? Có thể không. Bởi vì tôi có thể có được tất cả chúng ngay khi có cơ hội. (Cụ thể, giả sử đồng xu là một đồng tiền công bằng và mỗi thử nghiệm là độc lập, sau đó tôi có thể nhận được tất cả các quyền với mà không có siêu năng lực. Xem liên kết của Shufflepants để nói đùa về nó).$0.5^5\approx0.03$

Mặt khác, nếu bạn đã kiểm tra tôi nhiều lần, thì rất khó có khả năng tôi có thể có được nó một cách tình cờ. Ví dụ: nếu bạn đã kiểm tra lần, xác suất tôi nhận được tất cả chúng đúng là .0,5 100 ≈ $100$$0.5^{100}\approx 0$

Khái niệm thống kê được gọi là sức mạnh thống kê, từ Wikipeida

Sức mạnh của một thử nghiệm giả thuyết nhị phân là xác suất thử nghiệm loại bỏ chính xác giả thuyết null (H0) khi giả thuyết thay thế (H1) là đúng.

Quay lại với siêu năng lực trên ví dụ lật đồng xu, về cơ bản bạn muốn chạy thử nghiệm giả thuyết.

• Giả thuyết không (H0): Tôi không có siêu năng lực
• Giả thuyết thay thế (H1): Tôi có siêu năng lực

Bây giờ như bạn có thể thấy trong ví dụ bằng số (kiểm tra tôi 5 lần so với kiểm tra tôi 100 lần), công suất thống kê đã bị ảnh hưởng bởi kích thước mẫu.

Thêm để đọc ở đây . (kỹ thuật hơn và dựa trên thử nghiệm t).

Một công cụ tương tác để hiểu sức mạnh thống kê có thể được tìm thấy ở đây . Lưu ý, sức mạnh thống kê thay đổi với kích thước mẫu!

$\mu = \frac{\text{# of sucesses}}{n}$

$\sqrt{\frac{\mu(1-\mu)}{n}}$$\approx .155$$\approx .0155$

Khái niệm này là một hệ quả của luật số lượng lớn . Từ Wikipedia ,

Theo luật, trung bình của các kết quả thu được từ một số lượng lớn các thử nghiệm phải gần với giá trị dự kiến ​​và sẽ có xu hướng trở nên gần gũi hơn khi nhiều thử nghiệm được thực hiện.

Kết quả từ một mẫu nhỏ có thể xa hơn giá trị mong đợi so với mẫu lớn hơn. Và như vậy, như đã nêu trong câu hỏi, người ta nên thận trọng với kết quả tính toán từ các mẫu nhỏ. Ý tưởng cũng được giải thích khá tốt trong video youTube này .

Chúng tôi đang trong tình trạng ước tính một số lượng dân số theo một số lượng mẫu. Trong trường hợp này, chúng tôi đang sử dụng tỷ lệ mẫu để ước tính tỷ lệ dân số, nhưng nguyên tắc này là tổng quát hơn đáng kể.

$1$$0$$1$$0$$1$

Khi chúng tôi lấy các mẫu lớn hơn và lớn hơn (sử dụng lấy mẫu ngẫu nhiên), phương tiện mẫu sẽ có xu hướng hội tụ đến trung bình dân số. (Đây là luật của số lượng lớn.)

Tuy nhiên, điều chúng ta thực sự muốn có một số ý tưởng là chúng ta có thể đi được bao xa (chẳng hạn như có thể được biểu thị bằng độ rộng của khoảng tin cậy cho tỷ lệ hoặc bởi biên độ sai số, thường là một nửa chiều rộng như vậy) .

$\frac{_1}{^{20}}$

$\frac{_1}{^\sqrt{n}}$

Do đó, chúng tôi tự tin hơn về tính chính xác của ước tính của chúng tôi khi mẫu lớn - nếu chúng tôi lặp lại thí nghiệm của mình một lần nữa, các phương tiện khác sẽ gần với phương pháp hiện tại - chúng tập hợp lại ngày càng chặt chẽ hơn và bởi vì (trong trường hợp này) ước tính của chúng tôi không thiên vị, chúng được nhóm lại với nhau xung quanh các giá trị mà chúng tôi đang cố gắng ước tính. Một mẫu có nghĩa là ngày càng có nhiều thông tin về nơi có nghĩa là dân số.

Một nguyên tắc nhỏ để thống kê "đếm", như đếm số người thích cam hoặc đếm số lần "nhấp chuột" trong bộ đếm Geiger do phân rã phóng xạ, là tỷ lệ lỗi cho số đếm gần bằng bình phương -root của giá trị đếm dự kiến. Thống kê đếm được biết đến là thống kê Poisson.

Căn bậc hai của 6 là 2,4-ish, vì vậy tỷ lệ sai số là khoảng 40% (2,4 / 6). Căn bậc hai của 600 là 24-ish, vì vậy tỷ lệ sai số là khoảng 4% (24/600). Đó là lý do tại sao việc đếm 600 có ý nghĩa hơn so với đếm 6. Lỗi tương đối là một phần mười.

Tôi hơi cẩu thả về định nghĩa lề của lỗi. Đó thực sự là giá trị 1 sigma và không phải là một điểm khó, nhưng đó là phạm vi mà bạn mong đợi nhất (68%) các phép đo nằm. Vì vậy, nếu bạn mong đợi 6 người ăn cam, bạn sẽ mong đợi một loạt các cuộc thăm dò sẽ cung cấp cho bạn số lượng chủ yếu trong phạm vi 4 đến 8, như 6,6,5,6,7,2,4,6,3,5,6, 6,7,6,10,8,6,5,6,6,9,3,7,8.

Tôi không có tên bạn đang tìm kiếm, nhưng vấn đề không phải là thống kê. Về mặt tâm lý, cách con người xử lý số trong não của chúng ta tạo ra trọng lượng (quyền lực) lớn hơn cho số lớn hơn so với số nhỏ hơn vì cường độ (kích thước vật lý) quan trọng như giá trị đại diện. Do đó, 600/1000 xuất hiện đáng tin cậy hơn 6/10. Đây là lý do tại sao người mua hàng thích xem "Giảm giá 10%!" cho các giá trị nhỏ hơn 100 và "Tiết kiệm $ 10!" cho các giá trị trên 100 (được gọi là "Quy tắc 100"). Đó là về cách bộ não của chúng ta phản ứng với nhận thức.

Một cái nhìn đáng kinh ngạc về điều này và các loại hiện tượng tương tự được thảo luận bởi Nick Kolenda trong chuyên luận trực tuyến của mình, " Một hướng dẫn to lớn về tâm lý định giá ".

Mặc dù lề thực tế của lỗi là quan trọng, lý do nghe có vẻ thuyết phục hơn là vì trải nghiệm heuristic (quy tắc ngón tay cái) hơn với mọi người. Biên độ sai số thực tế xác nhận heuristic này có giá trị.

Nếu mẫu là 6 cho và 4 so với, mẫu này có thể là 50/50 nếu một người thay đổi phiếu bầu của họ hoặc một người được ghi nhận là có lỗi. Chỉ có hai người nữa ở bên 6. Mọi người đều biết hai mảnh, mọi người đều biết mẫu có thể được chọn bằng anh đào: Bạn chỉ hỏi các nữ tiếp viên và không ai khác. Hoặc bạn chỉ bầu 10 giáo sư đại học trong hội trường của một trường đại học. Hoặc bạn hỏi 10 người giàu có bên ngoài Đại lộ thứ năm Saks.

Ngay cả biên độ sai số toán học cũng cho rằng tính ngẫu nhiên thực sự và không tính đến độ lệch lựa chọn, hoặc độ lệch tự chọn, hoặc bất cứ điều gì khác, mọi người có thể hiểu được bằng trực giác.

Ngược lại, kết quả 600 so với 400 có nhiều người hơn một bên so với bên kia và 100 người sẽ phải thay đổi quyết định. Những con số đó rất khó xảy ra (nhưng không phải là không thể) do một số tình cờ bạn bỏ phiếu, cách bạn khiến mọi người đồng ý, cách các cá nhân hiểu hoặc giải thích câu hỏi, v.v.

Điều đó thuyết phục hơn không phải vì một bằng chứng toán học mà nó phải như vậy, mà bởi vì chúng tôi biết từ kinh nghiệm rằng đám đông 1000 có nhiều khả năng đa dạng về ý kiến ​​của họ (về bất cứ điều gì) so với một nhóm 10. (trừ khi bạn bí mật làm bỏ phiếu của bạn tại một hội nghị của đảng chính trị hoặc một cuộc biểu tình KKK hoặc một cái gì đó khác có khả năng thu hút đám đông một chiều).

Toán học chỉ định lượng chính xác những gì chúng ta đã biết bằng trực giác; rằng việc gặp ngẫu nhiên một hoặc hai phiếu đi lạc trong số 10 sẽ dễ dàng hơn so với việc ngẫu nhiên gặp phải 100 hoặc 200 phiếu đi lạc trong số 1000.

Một cái gì đó đã không được đề cập là để xem xét vấn đề từ quan điểm của Bayes.

$p$$p$

$\beta=\alpha$$\beta=\alpha=1$$p$$\mathrm{U}(0,1)$

$n$$n_o$$n_a=n-n_o$

$p$

$p$$n_o/(n_o+n_a)$$n$

$n_o=6$$n_a=4$

$n_o=600$$n_a=400$

$p=0.4$$p=0.8$

Xin lưu ý rằng mặc dù các lô này trông tương tự như của david25272, nhưng chúng đại diện cho một cái gì đó rất khác nhau .

$p$$n_o$

$n_o$$p$

Câu trả lời ngắn gọn:

Về cơ bản nó hơn thuyết phục để có 600 ra 1000 hơn sáu trong số 10 bởi vì, cho sở thích bằng nó xa nhiều khả năng cho 6 trong số 10 xảy ra một cách tình cờ ngẫu nhiên.

Chúng ta hãy đưa ra một giả định - rằng tỷ lệ người ưa thích cam và táo thực sự bằng nhau (vì vậy, mỗi người 50%). Gọi đây là một giả thuyết không. Với các xác suất bằng nhau này, khả năng của hai kết quả là:

• Cho một mẫu gồm 10 người, có 38% cơ hội lấy ngẫu nhiên một mẫu từ 6 người trở lên thích cam (điều này không phải là không thể xảy ra).
• Với một mẫu gồm 1000 người, có ít hơn 1 trong một tỷ cơ hội có từ 600 người trở lên trong số 1000 người thích cam.

(Để đơn giản, tôi giả sử một dân số vô hạn để từ đó rút ra số lượng mẫu không giới hạn).

Một dẫn xuất đơn giản

Một cách để rút ra kết quả này là chỉ cần liệt kê ra những cách tiềm năng mà mọi người có thể kết hợp trong các mẫu của chúng tôi:

Đối với mười người, thật dễ dàng:

Xem xét vẽ mẫu của 10 người một cách ngẫu nhiên từ một nhóm người vô hạn có sở thích tương đương với táo hoặc cam. Với các ưu tiên như nhau, thật dễ dàng để liệt kê tất cả các kết hợp tiềm năng của 10 người:

Đây là danh sách đầy đủ.

r   C (n=10)    p
10  1       0.09766%
9   10      0.97656%
8   45      4.39453%
7   120     11.71875%
6   210     20.50781%
5   252     24.60938%
4   210     20.50781%
3   120     11.71875%
2   45      4.39453%
1   10      0.97656%
0   1       0.09766%
    1024    100%

r là số lượng kết quả (những người thích cam), C là số cách có thể có của nhiều người thích cam và p là xác suất rời rạc của nhiều người thích cam trong mẫu của chúng tôi.

(p chỉ là C chia cho tổng số kết hợp. Lưu ý rằng có tổng số 1024 cách sắp xếp hai sở thích này (nghĩa là 2 cho sức mạnh của 10).

• Chẳng hạn, chỉ có một cách (một mẫu) cho 10 người (r = 10) cho tất cả các loại cam thích. Điều này cũng đúng với tất cả những người thích táo (r = 0).
• Có 10 kết hợp khác nhau dẫn đến chín trong số họ thích cam. (Một người khác nhau thích táo trong mỗi mẫu).
• Có 45 mẫu (kết hợp) trong đó 2 người thích táo, v.v.

(Nói chung, chúng tôi nói về n C r kết hợp kết quả r từ một mẫu của n người. Có những máy tính trực tuyến bạn có thể sử dụng để xác minh những con số này.)

Danh sách này cho phép chúng tôi cung cấp cho chúng tôi các xác suất ở trên bằng cách sử dụng chỉ phân chia. Có 21% cơ hội nhận được 6 người trong mẫu thích cam (210 trên 1024 kết hợp). Cơ hội nhận được sáu người trở lên trong mẫu của chúng tôi là 38% (tổng của tất cả các mẫu có sáu người trở lên, hoặc 386 trong số 1024 kết hợp).

Về mặt đồ họa, các xác suất trông như thế này:

Với số lượng lớn hơn, số lượng kết hợp tiềm năng tăng lên nhanh chóng.

Đối với một mẫu chỉ có 20 người, có 1.048.576 mẫu có thể, tất cả đều có khả năng như nhau. (Lưu ý: Tôi chỉ hiển thị mỗi kết hợp thứ hai bên dưới).

r    C (n=20)   p
20   1          0.00010%
18   190        0.01812%
16   4,845      0.46206%
14   38,760     3.69644%
12   125,970    12.01344%
10   184,756    17.61971%
8    125,970    12.01344%
6    38,760     3.69644%
4    4,845      0.46206%
2    190        0.01812%
0    1          0.00010%
     1,048,576  100%

Vẫn chỉ có một mẫu trong đó tất cả 20 người thích cam. Các kết hợp có tính năng kết quả hỗn hợp có nhiều khả năng, đơn giản vì có nhiều cách khác nhau mà những người trong các mẫu có thể được kết hợp.

Các mẫu bị sai lệch rất khó xảy ra, chỉ vì có ít sự kết hợp của những người có thể dẫn đến các mẫu đó:

Chỉ với 20 người trong mỗi mẫu, xác suất tích lũy có 60% trở lên (12 người trở lên) trong mẫu của chúng tôi thích cam giảm xuống chỉ còn 25%.

Phân phối xác suất có thể được nhìn thấy trở nên mỏng hơn và cao hơn:

Với 1000 người, con số rất lớn

Chúng ta có thể mở rộng các ví dụ trên thành các mẫu lớn hơn (nhưng số lượng tăng quá nhanh để có thể liệt kê tất cả các kết hợp), thay vào đó tôi đã tính các xác suất trong R:

r   p (n=1000)
1000    9.332636e-302
900     5.958936e-162
800     6.175551e-86
700     5.065988e-38
600     4.633908e-11
500     0.02522502
400     4.633908e-11
300     5.065988e-38
200     6.175551e-86
100     5.958936e-162
0       9.332636e-302

Xác suất tích lũy của việc có từ 600 người trở lên trong số 1000 người thích cam chỉ là 1.364232e-10.

Phân phối xác suất bây giờ tập trung nhiều hơn quanh trung tâm:

[

(Ví dụ để tính xác suất của chính xác 600 trên 1000 người thích sử dụng cam trong R dbinom(600, 1000, prob=0.5), tương đương với 4.633908e-11 và xác suất từ ​​600 người trở lên là 1-pbinom(599, 1000, prob=0.5)bằng 1.364232e-10 (ít hơn 1 trên một tỷ).

Điều này là do số lượng cao hơn đảm bảo độ chính xác cao hơn. Ví dụ, nếu bạn chọn 1000 người ngẫu nhiên từ bất cứ nơi nào trên hành tinh và 599 người trong số họ là nam so với 10 người ngẫu nhiên với 6 nam, thì trước đây sẽ chính xác hơn. Tương tự, nếu bạn giả định dân số 7 tỷ và tính số lượng nam giới, bạn sẽ có được một con số chính xác hơn, điều này rõ ràng sẽ thuyết phục hơn so với chỉ 1000 người.