Làm thế nào để xác định chặt chẽ khả năng?

Khả năng có thể được xác định theo một số cách, ví dụ:

• hàm từ ánh xạ sang tức là .$L$$\Theta\times{\cal X}$$(\theta,x)$$L(\theta \mid x)$$L:\Theta\times{\cal X} \rightarrow \mathbb{R}$

• hàm ngẫu nhiên$L(\cdot \mid X)$

• chúng tôi cũng có thể xem xét rằng khả năng chỉ là khả năng "được quan sát"$L(\cdot \mid x^{\text{obs}})$

• trong thực tế, khả năng mang lại thông tin về chỉ đến một hằng số nhân, do đó chúng ta có thể coi khả năng đó là một lớp chức năng tương đương chứ không phải là một hàm$\theta$

Một câu hỏi khác xảy ra khi xem xét thay đổi tham số: if là tham số hóa mới mà chúng ta thường biểu thị bằng khả năng trên và đây không phải là đánh giá của hàm trước đó tại nhưng tại . Đây là một ký hiệu lạm dụng nhưng hữu ích có thể gây khó khăn cho người mới bắt đầu nếu nó không được nhấn mạnh.$\phi=\theta^2$$L(\phi \mid x)$$\phi$$L(\cdot \mid x)$$\theta^2$$\sqrt{\phi}$

Định nghĩa nghiêm ngặt yêu thích của bạn về khả năng là gì?

Ngoài ra, làm thế nào để bạn gọi ? Tôi thường nói một cái gì đó như "khả năng trên khi được quan sát".$L(\theta \mid x)$$\theta$$x$

EDIT: Theo quan điểm của một số ý kiến ​​dưới đây, tôi nhận ra rằng tôi nên có trước bối cảnh. Tôi xem xét một mô hình thống kê được đưa ra bởi một họ tham số về mật độ đối với một số biện pháp thống trị, với mỗi được xác định trên không gian quan sát . Do đó, chúng tôi xác định và câu hỏi là " là gì?" (câu hỏi không phải là về một định nghĩa chung về khả năng){ f ( ⋅ ∣ θ ) , θ ∈ Θ } f ( ⋅ ∣ θ ) X L ( θ ∣ x ) = f ( x ∣ θ ) $\{f(\cdot \mid \theta), \theta \in \Theta\}$$f(\cdot \mid \theta)$${\cal X}$$L(\theta \mid x)=f(x \mid \theta)$$L$

Mục thứ ba của bạn là mục tôi thường thấy nhất được sử dụng như định nghĩa nghiêm ngặt.

Những người khác cũng thú vị (+1). Cụ thể, điều đầu tiên là hấp dẫn, với độ khó mà kích thước mẫu chưa được xác định (chưa) được xác định, việc xác định tập hợp "từ" sẽ khó khăn hơn.

Đối với tôi, trực giác cơ bản của khả năng là nó là một hàm của mô hình + các tham số của nó, không phải là hàm của các biến ngẫu nhiên (cũng là một điểm quan trọng cho mục đích giảng dạy). Vì vậy, tôi sẽ theo định nghĩa thứ ba.

Nguồn gốc của việc lạm dụng ký hiệu là tập hợp "từ" của khả năng là ẩn, thường không phải là trường hợp cho các chức năng được xác định rõ. Ở đây, cách tiếp cận nghiêm ngặt nhất là nhận ra rằng sau khi biến đổi, khả năng liên quan đến một mô hình khác. Nó tương đương với mô hình đầu tiên, nhưng vẫn là một mô hình khác. Vì vậy, ký hiệu khả năng sẽ hiển thị mô hình mà nó đề cập đến (bằng cách đăng ký hoặc khác). Tôi không bao giờ làm điều đó tất nhiên, nhưng để giảng dạy, tôi có thể.

Cuối cùng, để phù hợp với câu trả lời trước của tôi, tôi nói rằng "khả năng θ " trong công thức cuối cùng của bạn.$\theta$

Tôi nghĩ rằng tôi sẽ gọi nó là một cái gì đó khác nhau. Khả năng là mật độ xác suất cho x được quan sát với giá trị của tham số θ được biểu thị dưới dạng hàm θ cho x đã cho . Tôi không chia sẻ quan điểm về hằng số tỷ lệ. Tôi nghĩ rằng chỉ đến chơi vì tối đa hóa bất kỳ hàm số đơn điệu về khả năng cung cấp cho các giải pháp tương tự cho θ . Vì vậy, bạn có thể phát huy tối đa c L ( q | x ) cho c > 0 hoặc khác hàm số đơn điệu như log ( L ( q | x ) $θ$$θ$$x$$θ$$cL(θ∣x)$$c>0$$\log(L(θ∣x))$ mà thường được thực hiện.

Đây là một nỗ lực tại một định nghĩa toán học nghiêm ngặt:

Hãy X : Ohm → R n là một vector ngẫu nhiên mà thừa nhận một mật độ f ( x | q 0 ) đối với một số biện pháp với ν trên R n , nơi cho q ∈ q , { f ( x | q ) : q ∈ q } là một gia đình có mật độ trên R n liên quan đến ν . Sau đó, với bất kỳ x ∈ R n, chúng tôi xác định hàm khả năng$X: \Omega \to \mathbb R^n$$f(x | \theta_0)$$\nu$$\mathbb R^n$$\theta \in \Theta$$\{f(x|\theta): \theta \in \Theta\}$$\mathbb R^n$$\nu$$x \in \mathbb R^n$L ( θ | x ) là f ( x | θ ) ; cho rõ ràng, đối với mỗi x ta có L x : q → R . Người ta có thể nghĩ đến x là một tiềm năng đặc biệt x o b s và θ 0 là giá trị "true" của θ .$L(\theta | x)$$f(x | \theta)$$x$$L_x : \Theta \to \mathbb R$$x$$x_{obs}$$\theta_0$$\theta$

Một vài quan sát về định nghĩa này:

1. Định nghĩa là đủ mạnh mẽ để xử lý rời rạc, liên tục, và các loại gia đình của các bản phân phối cho X .$X$
2. Chúng tôi đang xác định khả năng ở cấp độ của hàm mật độ thay vì ở mức phân phối xác suất / biện pháp. Lý do cho điều này là mật độ không phải là duy nhất, và hóa ra đây không phải là tình huống mà người ta có thể vượt qua các lớp mật độ tương đương mà vẫn an toàn: các lựa chọn mật độ khác nhau dẫn đến các MLE khác nhau trong trường hợp liên tục. Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, có một sự lựa chọn tự nhiên của gia đình mật độ được mong muốn về mặt lý thuyết.
3. Tôi giống như định nghĩa này vì nó kết hợp các biến ngẫu nhiên chúng tôi đang làm việc với vào nó và, do thiết kế từ chúng ta phải gán cho chúng một phân phối, chúng tôi cũng đã chặt chẽ xây dựng trong các khái niệm về giá trị "true nhưng không rõ" của θ , đây ký hiệu θ 0 . Đối với tôi, là một sinh viên, thách thức của việc khắt khe về khả năng luôn làm thế nào để dung hòa các khái niệm thế giới thực sự của một "true" θ và "quan sát" x o b s với toán học; điều này thường không được giúp đỡ bởi những người chỉ dẫn cho rằng những khái niệm này không chính thức nhưng sau đó quay lại và sử dụng chúng một cách chính thức khi chứng minh mọi thứ! Vì vậy, chúng tôi đối phó với họ chính thức trong định nghĩa này.$\theta$$\theta_0$$\theta$$x_{obs}$
4. EDIT: Of course, we are free to consider the usual random elements $L(\theta | X)$, $S(\theta | X)$ and $\mathcal I(\theta | X)$ and under this definition with no real problems with rigor as long as you are careful (or even if you aren't if that level of rigor is not important to you).