Biến ngẫu nhiên hoàn toàn liên tục Thay đổi liên tục

Trong cuốn sách "Các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất" của Valentin V. Petrov, tôi đã thấy một sự khác biệt giữa các định nghĩa về phân phối là "liên tục" và "hoàn toàn liên tục", được nêu như sau:

$(*)$ "... Việc phân phối biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu cho bất kỳ tập hợp hữu hạn hoặc có thể đếm được của các điểm của đường thẳng thực. hoàn toàn liên tục nếu cho tất cả các bộ Borel của Lebesgue đo bằng 0 ... "$X$$P\left(X \in B\right)=0$$B$$P\left(X \in B\right)=0$$B$

Khái niệm tôi quen thuộc là:

$(\#)$ "Nếu một biến ngẫu nhiên có Hàm phân phối tích lũy liên tục, thì nó hoàn toàn liên tục."

$\textbf{My questions are:}$ hai mô tả về "tính liên tục tuyệt đối" trong và nói về cùng một điều? Nếu có, làm thế nào tôi có thể dịch một lời giải thích sang một lời giải thích khác?$(*)$$(\#)$

Cảm ơn bạn!

Các mô tả khác nhau: chỉ có cái đầu tiên là chính xác. Câu trả lời này giải thích như thế nào và tại sao.$(*)$

Phân phối liên tục

Phân phối "liên tục" liên tục theo nghĩa thông thường của hàm liên tục . Một định nghĩa (thường là người đầu tiên gặp phải trong giáo dục của họ) là với mỗi và với bất kỳ số nào tồn tại một (tùy thuộc vào và ) mà các giá trị của trên -Số của thay đổi không quá từ .$F$x ε > 0 δ x ε F δ x ε F ( x )$x$$\epsilon\gt 0$$\delta$$x$$\epsilon$$F$$\delta$$x$$\epsilon$$F(x)$

Đây là một bước ngắn để chứng minh rằng khi liên tục là phân phối của biến ngẫu nhiên , thì cho bất kỳ số . Xét cho cùng, định nghĩa liên tục ngụ ý rằng bạn có thể thu nhỏ để tạo nhỏ như bất kỳ và vì (1) xác suất này là không nhỏ hơn và (2) có thể nhỏ tùy ý, theo sau đó . Tính gây nghiện có thể đếm được của xác suất mở rộng kết quả này cho bất kỳ tập hữu hạn hoặc có thể đếm được .$F$$X$$\Pr(X=x)=0$$x$$\delta$$\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$$\epsilon \gt 0$$\Pr(X=x)$$\epsilon$$\Pr(X=x)=0$$B$

Phân phối hoàn toàn liên tục

Tất cả các hàm phân phối xác định các số đo dương, hữu hạn xác định bởi$F$ $\mu_F$

Tính liên tục tuyệt đối là một khái niệm của lý thuyết đo lường. Một biện pháp hoàn toàn liên tục đối với một biện pháp khác (cả hai được xác định trên cùng một đại số sigma) khi, với mọi tập hợp có thể đo , ngụ ý . Nói cách khác, liên quan đến , không có tập hợp "nhỏ" (số không) nào mà gán xác suất "lớn" (khác không).$\mu_F$$\lambda$$E$$\lambda(E)=0$$\mu_F(E)=0$$\lambda$$\mu_F$

Chúng ta sẽ lấy làm thước đo Lebesgue thông thường, trong đó là độ dài của một khoảng. Nửa sau của nói rằng thước đo xác suất hoàn toàn liên tục đối với thước đo Lebesgue.$\lambda$$\lambda((a,b]) = b-a$$(*)$$\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$

Sự liên tục tuyệt đối có liên quan đến sự khác biệt. Đạo hàm của một biện pháp này đối với một biện pháp khác (tại một số điểm ) là một khái niệm trực quan: lấy một tập hợp các vùng lân cận có thể đo được của thu nhỏ xuống và so sánh hai biện pháp trong các vùng lân cận đó. Nếu chúng luôn đạt đến cùng một giới hạn, bất kể chuỗi vùng lân cận nào được chọn, thì giới hạn đó là đạo hàm. (Có một vấn đề kỹ thuật: bạn cần hạn chế các khu phố đó để chúng không có hình dạng "bệnh lý". Điều đó có thể được thực hiện bằng cách yêu cầu mỗi khu phố chiếm một phần không đáng kể của khu vực mà nó nằm.)$x$$x$$x$

Sự khác biệt theo nghĩa này chính xác là câu hỏi tại định nghĩa xác suất trên phân phối liên tục là gì? đang giải quyết.

Hãy viết cho đạo hàm của đối với . Định lý có liên quan - đó là phiên bản lý thuyết đo lường của Định lý cơ bản của Tính toán - các phép tính$D_\lambda(\mu_F)$$\mu_F$$\lambda$

$\mu_F$ hoàn toàn liên tục đối với khi và chỉ khi cho mọi bộ có thể đo lường được . [Rudin, Định lý 8.6]$\lambda$

$$\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$$ $E$

Nói cách khác, tính liên tục tuyệt đối (của đối với ) tương đương với sự tồn tại của hàm mật độ .$\mu_F$$\lambda$ $D_\lambda(\mu_F)$

Tóm lược

1. Một phân phối liên tục khi liên tục là một hàm: theo trực giác, nó không có "bước nhảy".$F$$F$

2. Một phân phối hoàn toàn liên tục khi nó có hàm mật độ (đối với thước đo Lebesgue).$F$

Hai loại liên tục không tương đương được thể hiện bằng các ví dụ, chẳng hạn như một loại được kể lại tại /stats//a/229561/919 . Đây là chức năng Cantor nổi tiếng . Đối với hàm này, gần như nằm ngang (vì biểu đồ của nó đơn giản), vì gần như ở mọi nơi bằng 0 và do đó . Điều này rõ ràng không cho giá trị đúng là (theo tiên đề của tổng xác suất).$F$$D_\lambda(\mu_F)$$\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$$1$

Bình luận

Hầu như tất cả các phân phối được sử dụng trong các ứng dụng thống kê là hoàn toàn liên tục, không nơi nào liên tục (rời rạc) hoặc hỗn hợp của chúng, vì vậy sự khác biệt giữa tính liên tục và tính liên tục tuyệt đối thường bị bỏ qua. Tuy nhiên, việc không đánh giá cao sự khác biệt này có thể dẫn đến lý luận lầy lội và trực giác xấu, đặc biệt là trong trường hợp cần sự nghiêm khắc nhất: cụ thể là khi một tình huống khó hiểu hoặc không trực quan, vì vậy chúng tôi dựa vào toán học để mang lại kết quả chính xác. Đó là lý do tại sao chúng ta thường không tạo ra nhiều thứ trong thực tế, nhưng mọi người nên biết về nó.

Tài liệu tham khảo

Rudin, Walter. Phân tích thực và phức tạp . McGraw-Hill, 1974: phần 6.2 (Tính liên tục tuyệt đối) và 8.1 (Đạo hàm của các biện pháp).