Làm cách nào để tính giá trị một phần của phân phối beta (giá trị trung bình của beta bị cắt ngắn)?

Đưa ra phân phối Beta với a = 2, b = 3, chúng ta có thể tìm thấy giá trị mong đợi (trung bình) cho khoảng [0, 1] = a / (a ​​+ b) = 2/5 = 0,4 và trung vị = (a - 1/3) / (a ​​+ b-2/3) = 0,39, gần đúng.

Tôi đang tìm kiếm một giải pháp trong python. Tôi có thể sử dụng scipy.stats.beta để tính trung bình cho khoảng [0, 0,4] với hàm phần trăm điểm (nghịch đảo của cdf - Perciles):

beta.ppf(0.4/2,a,b) = 0.2504

Vì phân phối beta này, giá trị trung bình và trung bình tổng thể gần nhau (tương ứng 0,4 và 0,39), tôi sử dụng trung bình cho khoảng [0, 0,4] để ước tính các giá trị dự kiến ​​(trung bình) cho khoảng [0, 0,4].

Có cách nào để tính giá trị dự kiến ​​(trung bình) cho khoảng [0, 0,4] không?

Lưu ý rằng công thức bạn có gần đầu ở đó cho trung bình beta ($\frac{\alpha-\frac13}{\alpha+\beta-\frac23}$) là gần đúng. Bạn sẽ có thể tính toán trung bình số "chính xác" một cách hiệu quả với cdf nghịch đảo (hàm lượng tử) của phân phối beta trong Python (cho một$\text{beta}(2,3)$ Tôi có một trung bình xung quanh $0.3857$ trong khi công thức gần đúng đó mang lại $0.3846$).

Điều này có nghĩa là một bản phân phối rút gọn khá đơn giản với bản beta. Đối với một biến ngẫu nhiên tích cực, chúng tôi có

$E(X|X<k) = \int_0^k x\,f(x)\, dx / \int_0^k f(x)\, dx$

trong trường hợp này $f$ là mật độ của beta với các tham số $\alpha$ và $\beta$ (mà bây giờ tôi sẽ viết là $f(x;\alpha,\beta)$):

$f(x;\alpha,\beta)=\frac{1}{B(\alpha,\beta)} x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}\,,\:0<x<1,\alpha,\beta>0$

Vì thế $x\,f(x) = \frac{B(\alpha+1,\beta)}{B(\alpha,\beta)} f(x;\alpha+1,\beta)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} f(x;\alpha+1,\beta)$

Vì thế $E(X|X<k) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \int_0^k f(x;\alpha+1,\beta)\, dx / \int_0^k f(x;\alpha,\beta)\,dx$

Bây giờ hai tích hợp chỉ là các CDF beta mà bạn đã có sẵn trong Python.

Với $\alpha=2,\beta=3,k=0.4$ chúng tôi nhận được $E(X|X<0.4)\approx 0.24195$. Điều này phù hợp với mô phỏng ($10^6$ mô phỏng đã cho $\approx 0.24194$).

Đối với trung bình, tôi nhận được $F^{-1}(\frac12 F(0.4;2,3);2,3)\approx 0.25040$, một lần nữa phù hợp với mô phỏng ($10^6$ mô phỏng đã cho $\approx 0.25038$).

Cả hai khá thân thiết trong trường hợp này nhưng đó không phải là kết quả chung; đôi khi chúng có thể khác nhau nhiều hơn