Làm thế nào để chỉ ra rằng một thống kê đủ là KHÔNG đủ tối thiểu?

Vấn đề bài tập về nhà của tôi là đưa ra một ví dụ trong đó một thống kê nhất định không nói chung là đủ tối thiểu. Bất kể các chi tiết tìm kiếm một ví dụ cụ thể cho thống kê cụ thể này, điều này đặt ra câu hỏi sau đây cho tôi:

Câu hỏi: Làm thế nào người ta có thể xây dựng điều kiện không phải là một thống kê đủ tối thiểu theo cách có thể chứng minh rằng một thống kê đủ thỏa mãn điều kiện này?

Làm việc cho đến nay: Định nghĩa về thống kê đủ tối thiểu trong sách giáo khoa của tôi (Keener, Thống kê lý thuyết: Chủ đề cho một khóa học cốt lõi ) như sau:

• Một thống kê $T$ là tối thiểu đủ khi và chỉ khi $T$ là đủ và cho mọi số liệu thống kê đầy đủ $\tilde{T}$ có tồn tại một hàm $f$ như vậy $T = f(\tilde{T})$ ae $\mathcal{P}$ .

Lưu ý rằng (ae $\mathcal{P}$ ) có nghĩa rằng các thiết lập nơi bình đẳng không là một tập hợp null cho mỗi phân bố xác suất $P$ trong mô hình thống kê $\mathcal{P}$ , $P \in \mathcal{P}$ .

Cố gắng phủ nhận điều này, tôi đến:

• Một thống kê $T$ là không tối thiểu đủ khi và chỉ khi ở một thiểu những điều sau đây giữ:
  1. $T$ là không đủ.
  2. Có tồn tại ít nhất một thống kê đủ $\tilde{T}$ mà có không chức năng $f$ như vậy $T = f(\tilde{T})$ ae $\mathcal{P}$ .

Vì vậy, nếu một thống kê là đủ, thì có vẻ như sẽ cực kỳ khó khăn để chỉ ra rằng nó không đủ tối thiểu, ngay cả khi nó không đủ tối thiểu. (Bởi vì người ta sẽ phải hiển thị 2. thay vì 1., vì 1. là sai - nhưng 2. sẽ rất khó khăn để hiển thị bởi vì, ngay cả khi người ta có một thống kê phản ví dụ ~ T trong tâm trí, chúng ta vẫn có để hiển thị không tồn tại của bất kỳ chức năng nào với tài sản đó. Và không tồn tại thường khó hiển thị.)$\tilde{T}$

Sách giáo khoa của tôi không đưa ra bất kỳ điều kiện tương đương (nghĩa là cần và đủ) cho một thống kê là một thống kê đủ tối thiểu. Nó thậm chí không đưa ra bất kỳ điều kiện cần thiết thay thế nào cho một thống kê là thống kê đủ tối thiểu (bên cạnh đó là một thống kê đầy đủ).

Do đó, đối với vấn đề bài tập về nhà của tôi, nếu tôi không thể chỉ ra rằng số liệu thống kê là không đủ (vì nó là vậy), thì làm sao tôi có thể chứng minh rằng nó không đủ tối thiểu?

Như bạn đã nói:

Nếu có tồn tại $x1,x2∈X$ sao cho $f(x1)=f(x2)$ nhưng $g(x1)≠g(x2)$ , sau đó $g$ không thể được viết như một hàm của $f$ , tức là có tồn tại không có chức năng $h$ với $g=h∘f$ .

Vì vậy, ví dụ, trong trường hợp $X_1, ...., X_n$ là các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập. Chúng ta có thể chứng minh rằng $(x_1, ...., x_n)$ không phải là tối thiểu đủ bằng cách hiển thị rằng nó không phải là một chức năng của $\sum x_i$ . Điều này là hiển nhiên, vì hàm phải ánh xạ $1$ đến cả hai $(1,0,0...,0,0,0)$ và$(0,0,0...,0,0,1)$ .

Tôi đã suy nghĩ về vấn đề này gần đây hơn, và đây là những gì tôi đã đưa ra.

Hãy Ω là một không gian xác suất, sau đó là một biến ngẫu nhiên X là một hàm đo được X : Ω → X , nơi X là một không gian đo ( X có một định σ -algebra, và X có thể đo lường đối với này với σ -algebra và σ -algebra trên Ω ). Các phân phối của X chỉ là biện pháp pullback trên X , tức là P X ( Một ) = P Ω ( X $\Omega$ $X$$X: \Omega \to \mathcal{X}$$\mathcal{X}$$\mathcal{X}$$\sigma$$X$$\sigma$$\sigma$$\Omega$$X$$\mathcal{X}$1 (A)). Khi đó, mộtthống kêcủaXlà bất kỳ hàm * có thể đo lường nàof: X → Y , trong đó Y là một không gian đo lường tùy ý khác.$\mathbb{P}_{\mathcal{X}}(A) = \mathbb{P}_{\Omega}(X^{-1}(A))$$X$$f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$$\mathcal{Y}$

Cho hai số liệu thống kê f : X → Y , g : X → Z , " g là hàm của f " nghĩa là gì?$f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$$g: \mathcal{X} \to \mathcal{Z}$$g$$f$

Theo như tôi có thể nói, dường như có nghĩa là tồn tại hàm ** có thể đo được h : Y → Z sao cho g = h ∘ f , tức là g có thể được tính bởi f .$h: \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}$$g = h \circ f$$g$$f$

(Nói cách khác, " g phải được xác định rõ là một hàm trên f ( X ) ⊆ Y ".)$g$$f(\mathcal{X}) \subseteq \mathcal{Y}$

Vậy khi nào thì bao thanh toán như vậy có thể? Chúng ta hãy nghĩ về các mối quan hệ tương đương. Cụ thể, xác định mối quan hệ tương đương ~ f trên X bằng x 1 ~ f x $\sim_f$$\mathcal{X}$⟺f ( x 1 ) = f ( x 2 ) , tương tự như vậy, xác định mối quan hệ tương đương ~ g trên X bằng x 1 ~ g x $x_1 \sim_f x_2 \iff f(x_1) = f(x_2)$$\sim_g$$\mathcal{X}$⟺g ( x 1 ) = g ( x 2 ) .$x_1 \sim_g x_2 \iff g(x_1) = g(x_2)$

Sau đó, để cho g là factorable bởi f , các mối quan hệ tương đương ~ f và ~ g cần phải tương thích với nhau, theo nghĩa *** rằng đối với bất kỳ x 1 , x 2 ∈ X , x 1 ~ f x $g$$f$$\sim_f$$\sim_g$$x_1, x_2 \in \mathcal{X}$⟹x 1 ~ g x 2 , tức là g không thể mất hai yếu tố đó là tương đương trực thuộc f và bản đồ chúng đến các giá trị mà không phải là tương đương dưới g , tức là " g không thể hoàn tác giảm thông tin trước đây được thực hiện bởi f ".$x_1 \sim_f x_2 \implies x_1 \sim_g x_2$$g$$f$$g$$g$$f$

Nói cách khác, g phải được xác định rõ là một hàm trên X / ~ f ≅ f ( X ) , tức là có tồn tại đã tồn tại một hàm ~ g : X / ~ f → Z mà g = ~ g ∘ pi f , nơi π f là kinh điển chiếu X → X / ~ f . (Đối với những người không thoải mái với ý nghĩa trừu tượng, π f thực chất là f và$g$$\mathcal{X}/\sim_f \cong f(\mathcal{X})$$\tilde{g}: \mathcal{X}/\sim_f \to \mathcal{Z}$$g = \tilde{g} \circ \pi_f$$\pi_f$$\mathcal{X} \to \mathcal{X}/\sim_f$$\pi_f$$f$~ G chất làh. Công thức trên chỉ làm cho sự tương tự với các tình huống khác rõ ràng hơn.)$\tilde{g}$$h$

Nói một cách đơn giản nhất có thể, g có thể được viết như chức năng của f khi và chỉ khi, đối với bất kỳ x 1 , x 2 ∈ X , f ( x 1 ) = f ( x 2$g$$f$$x_1, x_2 \in \mathcal{X}$⟹g ( x 1 ) = g ( x 2 ) .$f(x_1) = f(x_2) \implies g(x_1) = g(x_2)$

Ví dụ: lấy X = Y = Z = R và X một biến ngẫu nhiên có giá trị thực tùy ý, thì g : x ↦ x 2 có thể được viết dưới dạng hàm của f : x ↦ x , nhưng không phải ngược lại, vì x 1 = x $\mathcal{X} = \mathcal{Y} = \mathcal{Z} = \mathbb{R}$$X$$g: x \mapsto x^2$$f: x \mapsto x$⟹x 2 1 = x 2 2 , nhưng 1 2 = ( - 1 ) 2 nhưng 1 ≠ - 1 .$x_1 = x_2 \implies x_1^2 = x_2^2$$1^2 = (-1)^2$$1 \not= -1$

Cụ thể, giả sử rằng mọi lớp tương đương dưới ∼ f là một singleton (tức là f là tiêm ). Sau đó g luôn có thể được viết như một hàm của f , vì X / ~ f ≅ X , tức là f ( x 1 ) = f ( x 2$\sim_f$$f$$g$$f$$\mathcal{X}/\sim_f \cong \mathcal{X}$⟹x 1 = x 2 có nghĩa là x 1 = x $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$⟺f ( x 1 ) = f ( x 2 ) (nói chung, vì không nhất thiết phải tiêm f , chỉ giữ một hướng), vì vậy điều kiện của chúng tôi trở thành x 1 = x $x_1 = x_2 \iff f(x_1) = f(x_2)$$f$⟹g ( x 1 ) = g ( x 2 ) , được trivially hài lòng chobất kỳ g : X → Z . (Để xác định h , nó có thể làm bất cứ điều gì nó muốn trên Y ∖ f ( X ) miễn là có thể đo được, và sau đó với bất kỳ y ∈ f ( X ) nào , tức là y = f ( x ) cho một số x ∈ X , định nghĩa h là$x_1 = x_2 \implies g(x_1) = g(x_2)$ $g: \mathcal{X} \to \mathcal{Z}$$h$$\mathcal{Y} \setminus f(\mathcal{X})$$y \in f(\mathcal{X})$$y = f(x)$$x \in \mathcal{X}$$h$: Y = f ( x ) ↦ g ( x ) . Điều này được xác định rõ khi f được tiêm bởi vì có một x ∈ X duy nhấtsao cho f ( x ) = y . Tổng quát hơn, điều này chỉ được xác định khi, bất kể x chúng ta chọn trong f - 1 ( y ) , g ( x ) vẫn có cùng giá trị, tức là f ( x 1 ) = $h: y = f(x) \mapsto g(x)$$f$ $x \in \mathcal{X}$$f(x) = y$$x$$f^{-1}(y)$$g(x)$( x 2 ) ( = y ) ⟹g ( x 1 ) = g ( x 2 ) .)$f(x_1)=f(x_2)\ (=y) \implies g(x_1)=g(x_2)$

Ngoài ra, nhìn vào Định lý 3.11 trong Keener, tuyên bố của nó là loại khó hiểu, nhưng suy nghĩ theo các thuật ngữ trên, tôi tin rằng nó có thể được viết lại như sau:

Giả sử T là một thống kê đầy đủ ****. Sau đó, một điều kiện đủ để T đủ tối thiểu là nó có thể được viết dưới dạng hàm của tỷ lệ khả năng.$T$$T$

Từ đó, rõ ràng là tỷ lệ khả năng phải tự nó đủ nhỏ.

Điều này cũng dẫn đến kết luận rằng:

Nếu có tồn tại x 1 , x 2 ∈ X sao cho f ( x 1 ) = f ( x 2 ) nhưng g ( x 1 ) ≠ g ( x 2 ) , sau đó g có thể không được viết như một hàm của f , tức là có tồn tại không có chức năng h với g = h ∘ f .$x_1, x_2 \in \mathcal{X}$$f(x_1)=f(x_2)$$g(x_1) \not= g(x_2)$$g$$f$$h$$g = h \circ f$

Do đó, điều kiện không thực sự khó hiển thị như tôi đã nghĩ.

* Keener không giải quyết vấn đề liệu một thống kê có cần phải đo lường được hay chỉ là một chức năng tùy ý hay không. Tuy nhiên, tôi khá chắc chắn rằng một thống kê có được một chức năng đo lường được, bởi vì nếu không chúng tôi không thể xác định một phân phối cho nó , tức là một biện pháp pullback.

** Nếu h không đo được, chúng ta sẽ có mâu thuẫn vì cả f và g đều có thể đo được và thành phần của các hàm đo được lại có thể đo được. Ít nhất, h phải được đo lường được giới hạn f ( X ) ⊆ Y , mặc dù tôi nghĩ rằng điều này sẽ có nghĩa là trong hầu hết các trường hợp hợp lý rằng h sẽ phải đồng ý về f ( X ) với một chức năng mà có thể đo lường trên tất cả các Y (lấy h | f ( X ) trên f ( X$h$$f$$g$$h$$f(\mathcal{X}) \subseteq \mathcal{Y}$$h$$f(\mathcal{X})$$\mathcal{Y}$$h|_{f(\mathcal{X})}$$f(\mathcal{X})$và ví dụ z trên Y ∖ f ( X ) nếu tồn tại điểm có thể đo được z ∈ Z , lưu ý rằng cả f ( X ) và Y ∖ f ( X ) nên có thể đo được trong Y ) để wlog h có thể được coi là có thể đo được tất cả các Y .$z$$Y \setminus f(\mathcal{X})$$z \in \mathcal{Z}$$f(\mathcal{X})$$Y \setminus f(\mathcal{X})$$Y$$h$$\mathcal{Y}$

*** Ít nhất điều này là cần thiết và đủ cho sự tồn tại của một hàm bao hàm tùy ý qua g và trên f , và tôi nghĩ ** ngụ ý rằng nếu một hàm tùy ý như vậy tồn tại, thì hàm này cũng phải đo được, vì cả f và g là, tức là nó thực sự sẽ là một thống kê Y → Z .$g$$f$$f$$g$$\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}$

**** Điều kiện đưa ra tương đương với T là đủ theo định lý nhân tố, 3.6.$T$