Nếu X và Y không tương quan, thì X ^ 2 và Y cũng không tương quan?

Nếu hai biến ngẫu nhiên và không tương quan, chúng ta cũng có thể biết rằng và không tương quan? Giả thuyết của tôi là có. $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

$X, Y$ không tương quan có nghĩa là , hoặc $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X] E [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

Điều đó cũng có nghĩa như sau?

E [X^{2} Y] = \int x^{2} y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x^{2} f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X^{2}] E [Y]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

random-variable independence

— Vegard Stikbakke
nguồn

Vâng. Câu hỏi này đã được hỏi và trả lời trước đây nhưng tôi không thể tìm thấy một tài liệu tham khảo cụ thể từ thiết bị di động của mình.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate có vẻ như câu trả lời được chấp nhận đã đưa ra một ví dụ phản biện.

— Vim

@DilipSarwate Bạn phải có nghĩa là "Không" thay vì "Có" trong bình luận của bạn!

— amip nói phục hồi Monica

@amoeba Phiên bản gốc của câu hỏi hỏi về tính độc lập mà câu trả lời thực sự là Có. Nó đã được chỉnh sửa để hỏi về các biến ngẫu nhiên không tương quan. Tôi không thể thay đổi nhận xét của tôi bây giờ.

— Dilip Sarwate

Câu hỏi ban đầu khá bối rối, vì nó sử dụng một định nghĩa sai về độc lập. Câu hỏi hiện tại vẫn còn bị nhầm lẫn, vì nó khẳng định một suy luận không phù hợp là không tương quan (nó giả sử ). Tôi hy vọng @vegardstikbakke đọc các định nghĩa đúng đắn về độc lập và không tương quan, với một số ví dụ.

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

— Meni Rosenfeld

Câu trả lời:

Không. Một ví dụ:

Đặt được phân bố đồng đều trên , . $X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

Khi đó và cả ( là hàm lẻ), do đó không tương quan. $E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

Nhưng $E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

Sự bất bình đẳng cuối cùng xuất phát từ sự bất bình đẳng của Jensen. Nó cũng xuất phát từ thực tế là vì không đổi. $E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

Vấn đề với lý luận của bạn là có thể phụ thuộc vào và ngược lại, do đó, đẳng thức áp chót của bạn là không hợp lệ. $f_X$ $y$

— Jakub Bartczuk
nguồn

Không cần phải làm cho nó phức tạp hơn với sự bất bình đẳng của Jensen; là biến ngẫu nhiên không âm và không phải là wp 1, vì vậy (hoặc bạn chỉ có thể làm và dễ dàng thấy tích cực của nó ).

X^{4}

$X^4$

0

$0$

E [X^{4}] > 0

$E[X^4] >0$

\int_{- 1}^{1} x^{4} d x

$\int_{-1}^1 x^4 dx$

— dơi

Bạn cũng nên thêm một cốt truyện. Tôi đã xem xét một ví dụ tương tự (Y = | X | trên -1: +1) nhưng sẽ trình bày một cách trực quan.

— Anony-Mousse

@Batman Tôi không thực sự thấy nó mang lại cho bạn bất cứ điều gì vì chúng tôi quan tâm nếu

E [{X^{2}}^{2}] - E [X^{2}]^{2} > 0

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 > 0$

— Jakub Bartczuk

@ Anony-Mousse Không cần hạn chế Y. Y = | X | đáp ứng yêu cầu

— Loren Pechtel

LorenPechtel để trực quan hóa. Bởi vì IMHO tốt hơn để xem tại sao điều này có thể xảy ra, và không chỉ là kết quả toán học như mong muốn.

— Anony-Mousse

Ngay cả khi , không chỉ và có thể tương quan với nhau, mà thậm chí chúng còn có thể tương quan hoàn hảo, với : $\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

Hoặc : $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

Trong trường hợp bạn không thể đọc mã R , ví dụ đầu tiên tương đương với việc xem xét hai biến ngẫu nhiên và với phân phối chung aa sao cho có khả năng bằng nhau , hoặc . Trong ví dụ tương quan phủ định hoàn toàn, có khả năng tương đương là , hoặc . $X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(X,Y)$ $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

Tuy nhiên, chúng ta cũng có thể xây dựng và sao cho , vì vậy tất cả các cực trị đều có thể: $X$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

— Cá bạc
nguồn

Lỗi trong lý luận của bạn là bạn viết như sau về : trong khi nói chung Hai trùng nhau nếu , tức là nếu và độc lập. Không quan tâm là một điều kiện cần nhưng không đủ để độc lập. Vì vậy, nếu hai biến và không tương quan nhưng phụ thuộc, thì và có thể tương quan với nhau. $E[h(X,Y)]$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y .

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

f (X)

$f(X)$

g (Y)

$g(Y)$

— Luca Citi
nguồn