Chúng ta có thể kết luận từ

Chà, chúng ta không thể, xem ví dụ https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence cho một ví dụ thú vị. Nhưng câu hỏi thực sự là: Có cách nào để tăng cường điều kiện để độc lập tuân theo? Ví dụ, có một số thiết lập các chức năng để nếu cho tất cả thì độc lập sau? Và, một bộ hàm như vậy phải lớn đến mức nào, vô hạn? $g_1, \dotsc, g_n$ $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ $i,j$

Và, ngoài ra, có một số tài liệu tham khảo tốt để điều trị câu hỏi này?

— kjetil b halvorsen
nguồn

bạn đã có may mắn với điều này? Tôi rất muốn xem liệu có một bộ chức năng hữu hạn nào hoạt động cho bất kỳ cặp RV nào không, và đặc biệt là sự biện minh là thứ gì đó ngoài yếu tố CDF

— jld

Tôi sẽ nhìn vào nó! Tôi nghi ngờ có chung một tập hữu hạn, nhưng bất kỳ tập mà là một cơ sở của một tập tuyến tính các hàm nên làm (vì vậy ví dụ, nếu

đều có giá trị trong

sau đó một bộ của

đa thức tuyến tính độc lập (hoặc khác) chức năng nên làm.

X, Y

$X, Y$

0, 1, 2, \dots, n

$0,1,2,\dotsc,n$

n + 1

$n+1$

— Kjetil b Halvorsen

Đặt là không gian xác suất. Theo định nghĩa hai biến ngẫu nhiên là độc lập nếu họ -algebras và là độc lập, tức là chúng ta có $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ $\sigma$ $S_X := \sigma(X)$ $S_Y := \sigma(Y)$ $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ . $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

Đặt và lấy (cảm ơn @grand_chat vì đã chỉ ra rằng đủ). Khi đó ta có $g_a(x) = I(x \leq a)$ $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ $\mathbb Q$ và

E (g_{a} (X) g_{b} (Y)) = E (I (X \leq a) I (Y \leq b)) = E (I (X \leq a, Y \leq b)) = P (X \leq a \cap Y \leq b)

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$

E (g_{a} (X)) E (g_{b} (Y)) = P (X \leq a) P (Y \leq b) .

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

Nếu chúng ta giả định rằng sau đó chúng ta có thể thu hút người lý để chứng minh rằng $\forall a, b \in \mathbb Q$

P (X \leq a \cap Y \leq b) = P (X \leq a) P (Y \leq b)

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$

π - λ

$\pi-\lambda$

tức là

P (A \cap B) = P (A) P (B) \forall A \in S_{X}, B \in S_{Y}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$

X ⊥ Y

$X \perp Y$

Vì vậy, trừ khi tôi mắc lỗi, ít nhất chúng ta cũng có một bộ sưu tập các hàm như vậy và điều này áp dụng cho bất kỳ cặp biến ngẫu nhiên nào được xác định trong một không gian xác suất chung.

— jld
nguồn

X

$X$

Y

$Y$

@whuber tôi đã cố gắng trả lời câu hỏi liệu có tồn tại bất kỳ bộ sưu tập các chức năng như vậy hay không. Tôi đồng ý rằng khía cạnh thú vị hơn là tìm một bộ tối thiểu như vậy (mà tôi vẫn đang làm việc)

— jld

G

$G$

a

$a$

@grand_chat điểm tuyệt vời, tôi đã cập nhật

— jld