Tại sao hồi quy Beta / Dirichlet không được coi là mô hình tuyến tính tổng quát?

Tiền đề là trích dẫn này từ họa tiết của gói R betareg¹ .

Hơn nữa, mô hình chia sẻ một số thuộc tính (như bộ dự báo tuyến tính, hàm liên kết, tham số phân tán) với các mô hình tuyến tính tổng quát (GLMs; McCullagh và Nelder 1989), nhưng nó không phải là trường hợp đặc biệt của khung này (thậm chí không phân tán cố định )

Câu trả lời này cũng ám chỉ đến thực tế:

[...] Đây là một loại mô hình hồi quy phù hợp khi biến phản hồi được phân phối dưới dạng Beta. Bạn có thể nghĩ về nó tương tự như một mô hình tuyến tính tổng quát. Đó chính xác là những gì bạn đang tìm kiếm [...] (nhấn mạnh của tôi)

Tiêu đề câu hỏi nói lên tất cả: tại sao Hồi quy Beta / Dirichlet không được coi là Mô hình tuyến tính tổng quát (phải không)?

Theo như tôi biết, Mô hình tuyến tính tổng quát xác định các mô hình được xây dựng dựa trên sự mong đợi các biến phụ thuộc của chúng có điều kiện dựa trên các biến độc lập.

$f$ là hàm liên kết ánh xạ kỳ vọng, là phân phối xác suất, kết quả và dự đoán, là tham số tuyến tính và phương sai.$g$$Y$$X$$\beta$$\sigma^2$

Các GLM khác nhau áp đặt (hoặc thư giãn) mối quan hệ giữa giá trị trung bình và phương sai, nhưng phải là phân phối xác suất trong họ hàm mũ, một thuộc tính mong muốn sẽ cải thiện độ mạnh của ước lượng nếu tôi nhớ lại chính xác. Tuy nhiên, bản phân phối Beta và Dirichlet là một phần của gia đình hàm mũ, vì vậy tôi không có ý tưởng.$g$

[1] Cribari-Neto, F., & Zeileis, A. (2009). Hồi quy Beta trong R.

Kiểm tra tham chiếu ban đầu:

Ferrari, S., & Cribari-Neto, F. (2004). Hồi quy Beta cho tỷ lệ mô hình hóa và tỷ lệ. Tạp chí Thống kê ứng dụng, 31 (7), 799-815.

như các tác giả lưu ý, các tham số của phân phối beta được tham số lại có tương quan với nhau, vì vậy

Lưu ý rằng các tham số và không trực giao, trái ngược với những gì được xác minh trong lớp mô hình hồi quy tuyến tính tổng quát (McCullagh và Nelder, 1989).$\beta$$\phi$

Vì vậy, trong khi mô hình trông giống như GLM và quacks giống như GLM, nó không hoàn toàn phù hợp với khung.

Câu trả lời của @probabilityislogic đang đi đúng hướng.

Phân phối beta nằm trong gia đình hàm mũ hai tham số . Các mô hình GLM đơn giản được mô tả bởi Nelder và Wedderburn (1972) không bao gồm tất cả các phân phối trong họ hai tham số mũ.

Về mặt bài viết của N & W, GLM áp dụng cho các hàm mật độ của loại sau (sau này được đặt tên là họ phân tán theo hàm mũ trong Jørgensen 1987 ):

với hàm liên kết bổ sung và mô hình tuyến tính cho tham số tự nhiên θ = f ( μ ) = f ( X β ) .$f()$$\theta = f(\mu) = f(X\beta)$

Vì vậy, chúng tôi có thể viết lại phân phối ở trên:

Hai họ tham số mũ là:

trông tương tự nhưng tổng quát hơn (còn nếu một trong những là hằng số).$\theta$

Sự khác biệt là rõ ràng và việc đưa bản phân phối beta ở dạng GLM là không thể.

Tuy nhiên, tôi thiếu hiểu biết đầy đủ để tạo ra một câu trả lời trực quan và đầy đủ hơn (tôi có cảm giác rằng có thể có nhiều mối quan hệ sâu sắc và thanh lịch hơn với nhiều nguyên tắc cơ bản khác nhau). GLM tổng quát hóa việc phân phối lỗi bằng cách sử dụng mô hình phân tán hàm mũ biến thiên duy nhất thay cho mô hình bình phương nhỏ nhất và khái quát hóa mối quan hệ tuyến tính trong trung bình, bằng cách sử dụng hàm liên kết.

Trực giác tốt nhất và đơn giản nhất có vẻ là dispersion- -term trong mũ, mà được nhân với tất cả mọi thứ và do đó phân tán không thay đổi với θ . Trong khi đó, nhiều gia đình mũ hai tham số, và các phương pháp bán khả năng, cho phép các tham số phân tán là một chức năng của θ là tốt.$\alpha(\phi)$$\theta$$\theta$

Tôi không nghĩ rằng bản phân phối beta là một phần của họ phân tán theo cấp số nhân . Để có được điều này, bạn cần phải có một mật độ

cho các hàm được chỉ định và d ( ) . Giá trị trung bình được cho là c ' ( θ ) và phương sai được cho là τ c " ( θ ) . Các tham số θ được gọi là tham số kinh điển.$c ()$$d ()$$c'(\theta)$$\tau c''(\theta)$$\theta$

$y$$\log [y]$$\log [1-y]$

$y=\frac {x}{x+z}$$x$$z$