Độ lệch chuẩn của điểm số thô có thể được báo cáo là độ lệch chuẩn của tỷ lệ phần trăm không?

Giả sử chúng tôi có một bài kiểm tra bao gồm 30 câu hỏi và 10 người làm bài kiểm tra này. Điểm kiểm tra trung bình của 10 người này là 17 và độ lệch chuẩn của tất cả các điểm trong mẫu là 4. Khi báo cáo thống kê mô tả ở trường, chúng tôi sử dụng các điểm số thô này và viết ( M = 17, SD = 4); nhưng trong một số trường hợp tôi có cảm giác rằng báo cáo tỷ lệ phần trăm sẽ tốt hơn. Bởi vì tôi nghĩ rằng chúng ta nắm bắt trực quan hơn về ý nghĩa của việc đạt điểm 56,7 trên 100 so với điểm 17 trên 30 (có lẽ vì chúng ta đã quen với hệ thập phân).

Vì vậy, đối với ví dụ đã nêu ở trên, có thể báo cáo độ lệch trung bình và độ lệch chuẩn là ( M = 56,7%, SD = 13,3%) không?

Liệu có ý nghĩa khi nói rằng điểm thi trong một mẫu có độ lệch chuẩn là 13,3%?

Các tỷ lệ phần trăm này tương đương với số học của điểm số thô tôi đã tạo ra và đưa ra ở trên, nhưng tôi không chắc liệu có nên thực hiện trực tiếp để chuyển đổi chúng thành tỷ lệ phần trăm như vậy hay không.

Độ lệch chuẩn chỉ là một thuộc tính thống kê mà bạn có thể đo cho một tập hợp các điểm dữ liệu. Độ lệch chuẩn không tự nó đưa ra bất kỳ giả định nào rằng dữ liệu của bạn thường được phân phối hoặc có / chưa được chuyển qua bất kỳ biến đổi, tuyến tính hay cách khác.

Do đó, hoàn toàn chấp nhận được khi sử dụng độ lệch chuẩn trên bất kỳ dữ liệu nào, bao gồm cả tỷ lệ phần trăm.

Lưu ý rằng, trong trường hợp cụ thể của bạn, phép biến đổi bạn đang áp dụng là biến đổi tuyến tính, có dạng:

$$y = Ax + b$$

tức là một biến đổi affine. Vì vậy, bạn có thể tính độ lệch chuẩn trên dữ liệu gốc, chưa được dịch và sau đó nhân Avới để có độ lệch chuẩn sau khi chuyển đổi. Dường như không có lợi thế đặc biệt nào để làm điều này hơn là chỉ đơn giản là tính toán độ lệch chuẩn trên dữ liệu đã được chuyển đổi, nhưng nó có thể được trấn an.

$A$

$\{X_1, X_2, ..., X_n\}$$\sigma$

$$\sigma_X^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(X_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j\right)^2$$

$Y = AX + b$

$$\sigma_Y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i + b - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j + b \right) \right)^2$$

$$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i + b - n\frac{1}{n}b - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j \right) \right)^2$$

$$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j \right) \right)^2$$

$$= A^2 \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( X_i - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( X_j \right) \right)^2 \right)$$

$$= A^2 \sigma_X^2$$

vì thế

$$\sigma_Y = A \sigma_X.$$