Đây có phải cũng là một điều kiện * cần thiết để trở thành một người ước tính Bayes, hay chỉ là một điều kiện đủ?

Công cụ ước tính Bayes là công cụ giảm thiểu rủi ro Bayes. Cụ thể, nếu và chỉ khi

δ_{Λ} = \arg min BR (Λ, δ) := \int R (θ, δ) d Λ (θ) = \int (\int L (θ, δ (x)) d x) d Λ (θ)

$\delta_{\Lambda} = \arg\min \operatorname{BR}(\Lambda,\delta) := \int R(\theta, \delta) d \Lambda(\theta) = \int \left( \int L(\theta, \delta(x))dx \right) d \Lambda(\theta)$ Trong đó là hàm mất mát đã cho, là hàm rủi ro tương ứng và được xác định là Nguy cơ Bayes, là một công cụ ước tính Bayes.

L (θ, δ (X))

$L(\theta, \delta(X))$

R (θ, δ)

$R(\theta, \delta)$

BR (Λ, δ)

$\operatorname{BR}(\Lambda, \delta)$

δ_{Λ}

$\delta_{\Lambda}$

Định lý 4.1.1 trên p. 228 của Casella, Lehmann, Lý thuyết ước tính điểm , cũng như Định lý 7.1 trên trang. 116 của Keener, Thống kê lý thuyết: Các chủ đề cho Khóa học cốt lõi , nêu điều kiện đủ sau đây để $\delta_{\Lambda}$ trở thành công cụ ước tính Bayes:

\forall x, δ_{Λ} = \arg min E [L (Θ, δ (X)) | X = x]

$\forall x, \quad \delta_{\Lambda} = \arg\min \mathbb{E}\left[ L(\Theta, \delta(X))| X = x \right]$

Rõ ràng tại sao đây là một điều kiện đủ: tích hợp đầu tiên trên $x$ , chúng ta có được tính đơn điệu của tích phân một $\arg\min$ cho $\mathbb{E}[L(\Theta, \delta(X))] = \int L(\Theta, \delta(x)) dx = R(\Theta, \delta)$ . Sau đó, tích hợp trên $\theta$ , chúng ta lại nhận được $\arg\min$ cho rủi ro Bayes, một lần nữa bởi tính đơn điệu của tích phân.

Câu hỏi: Điều kiện trên có cần thiết để $\delta_{\Lambda}$ là công cụ ước tính Bayes không?

Theo trực giác, tôi không thấy bất kỳ lý do nào khiến nó cần thiết trừ khi chúng ta có thêm các điều kiện đảm bảo tính duy nhất ( -as) của công cụ ước tính Bayes. Ngoài ra, bằng chứng trong cả hai cuốn sách tôi đã đề cập ở trên dường như chỉ cho thấy sự đầy đủ, không cần thiết. $\mathcal{P}$

Tuy nhiên, Wikipedia nói rằng: "Công cụ ước tính ... được gọi là công cụ ước tính Bayes nếu nó giảm thiểu rủi ro Bayes trong số tất cả các công cụ ước tính. Tương đương , công cụ ước tính giảm thiểu tổn thất dự kiến sau ... cho mỗi x." Tức là dường như ngụ ý rằng hai điều kiện tương đương nhau, nghĩa là điều kiện sau không chỉ đủ, mà còn cần thiết . Điều này thực sự đúng nói chung?

bayesian loss-functions

— Chill2Macht
nguồn

Đầu tiên, nếu điều kiện giữ gần như chắc chắn trong , áp dụng cùng một đối số. Do đó, công cụ ước tính Bayes được xác định gần như chắc chắn và do đó có thể tùy ý thay đổi trên một tập hợp số đo tùy ý.

δ_{Λ} = \arg min E [L (Θ, δ (X)) | X = x]

$\delta_{\Lambda} = \arg\min \mathbb{E}\left[ L(\Theta, \delta(X))| X = x \right]$

x

$x$

Thứ hai, có những tình huống có nhiều người ước tính Bayes. Ví dụ, đây là một bài tập từ cuốn sách của tôi :

2,40 Xem xét và . rằng, theo tổn thất (2.5.4), với mỗi , tồn tại các giá trị và sao cho công cụ ước tính Bayes không phải là duy nhất. $\pi(\theta) = (1/3)(\mathscr{U}_{[0,1]}(\theta)+\mathscr{U}_{[2,3]}(\theta)+\mathscr{U}_{[4,5]}(\theta))$ $f(x|\theta) = \theta e^{-\theta x}$ $x$ $k_1$ $k_2$

trong đó tổn thất (2.5.4) là

\begin{array}{rcl} L_{k_{1}, k_{2}} (θ, d) = {\begin{cases} k_{2} (θ - d) & if θ > d, \\ k_{1} (d - θ) & otherwise. \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray} \mathrm{L}_{k_1,k_2} (\theta ,d) = \begin{cases} k_2(\theta -d) & \text{if }\theta > d, \cr k_1(d-\theta ) &\text{otherwise.} \cr\end{cases} \end{eqnarray}$

Thứ ba, khi rủi ro Bayes là vô hạn, bất kỳ công cụ ước tính nào cũng là công cụ ước tính Bayes. $\min \operatorname{BR}(\Lambda,\delta)$

— Tây An
nguồn

Không sao, sau khi đọc lại câu hỏi ban đầu của tôi, tôi thấy cách giải quyết một nhận xét trong câu hỏi. Điều này dường như không trả lời câu hỏi chính, mặc dù đó có thể không phải là ý định của bạn. Nhưng nó hữu ích ở chỗ nó làm rõ một điểm liên quan mà tôi nêu ra ngầm.

— Chill2Macht