Có ngụ ý sự độc lập của và ?

Có ngụ ý sự độc lập của và ? $\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(.)$ $X$ $Y$

Tôi chỉ quen thuộc với các định nghĩa sau đây của độc lập giữa và . $X$ $Y$

f_{x, y} (x, y) = = f_{x} (x) f_{y} (y)

$f_{x,y}(x,y) = f_x(x)f_y(y)$

random-variable independence

— stollenm
nguồn

Bạn cần , không chỉ

C o v (f (X), g (Y)) = 0 for all (measurable) f (\cdot), g (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),g(Y)\right) = 0 ~\text{for all (measurable)} ~f(\cdot), g(\cdot)$

C o v (f (X), Y) = 0 \forall f (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(\cdot)$

— Dilip Sarwate

Hãy bắt đầu với trực giác. Độ dốc của các ô vuông bình thường hồi quy nhất của so với , đối với bất kỳ chức năng , tỷ lệ thuận với hiệp phương sai của và . Giả định là tất cả các hồi quy đều bằng không (không chỉ là các tuyến tính). Nếu bạn tưởng tượng biểu thị bằng một đám mây điểm (thực sự là đám mây mật độ xác suất), thì cho dù bạn cắt nó theo chiều dọc và sắp xếp lại các lát cắt (thực hiện ánh xạ ), hồi quy vẫn bằng không. Điều này ngụ ý những kỳ vọng có điều kiện của $Y$ $h(X)$ $h$ $h(X)$ $Y$ $(X,Y)$ $h$ $Y$ (đó là hàm hồi quy) đều không đổi. Chúng ta có thể xoay quanh với các bản phân phối có điều kiện trong khi vẫn giữ các kỳ vọng không đổi, do đó phá hỏng mọi cơ hội độc lập. Do đó, chúng ta nên mong đợi rằng kết luận không phải lúc nào cũng giữ.

Có những mẫu đơn giản. Xem xét một không gian mẫu gồm chín phần tử trừu tượng và một số đo rời rạc với xác suất được xác định bởi

Ω = {ω_{i, j} ∣ - 1 \leq i, j, \leq 1}

$\Omega = \{\omega_{i,j}\mid -1 \le i,j,\le 1\}$

P (ω_{0, 0}) = = 0; P (ω_{0, j}) = = 1 / 5 (j = = \pm 1); P (ω_{Tôi, j} = = 1 / 10) nếu không thì.

$\mathbb{P}(\omega_{0,0})=0;\ \mathbb{P}(\omega_{0,j})=1/5\,(j=\pm 1);\ \mathbb{P}(\omega_{i,j}=1/10)\text{ otherwise.}$

Xác định

X (ω_{Tôi, j}) = = j, Y (ω_{Tôi, j}) = = Tôi .

$X(\omega_{i,j})=j,\ Y(\omega_{i,j})=i.$

Chúng ta có thể hiển thị các xác suất này dưới dạng một mảng

(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix})

$\pmatrix{1&2&1\\1&0&1\\1&2&1}$

(với tất cả các mục được nhân với ) được lập chỉ mục theo cả hai hướng bởi các giá trị . $1/10$ $-1,0,1$

Xác suất cận biên là và như được tính bằng tổng cột và tổng hàng của mảng, tương ứng. Vì những các biến không độc lập.

f_{X} (- 1) = = f_{X} (1) = = 3 / 10; f_{X} (0) = = 4 / 10

$f_X(-1)=f_X(1)=3/10;\, f_X(0)=4/10$

f_{Y} (- 1) = = f_{Y} (1) = = 4 / 10; f_{Y} (0) = = 2 / 10,

$f_Y(-1)=f_Y(1)=4/10;\, f_Y(0)=2/10,$

f_{X} (0) f_{Y} (0) = = (4 / 10) (2 / 10) \neq 0 = = P (ω_{0, 0}) = = f_{X Y} (0, 0),

$f_X(0)f_Y(0)=(4/10)(2/10)\ne 0=\mathbb{P}(\omega_{0,0})=f_{XY}(0,0),$

Điều này được xây dựng để làm cho phân phối có điều kiện của khi khác với các phân phối có điều kiện khác cho . Bạn có thể thấy điều này bằng cách so sánh cột giữa của ma trận với các cột khác. Đối xứng trong tọa độ và trong tất cả các xác suất có điều kiện ngay lập tức cho thấy tất cả các kỳ vọng có điều kiện là 0, vì tất cả các hiệp phương sai đều bằng 0, cho dù các giá trị liên quan của có thể được gán lại cho các cột như thế nào. $Y$ $X=0$ $X=\pm 1$ $Y$ $X$

Đối với những người có thể vẫn không bị thuyết phục, mẫu phản biện có thể được thể hiện thông qua tính toán trực tiếp - chỉ có hàm phải được xem xét và đối với mỗi hàm đó, hiệp phương sai bằng không. $27$

— whuber
nguồn