Liệu phương sai của một tổng có bằng tổng phương sai không?

Có phải (luôn luôn) đúng là

$$\mathrm{Var}\left(\sum\limits_{i=1}^m{X_i}\right) = \sum\limits_{i=1}^m{\mathrm{Var}(X_i)} \>?$$

Câu trả lời cho câu hỏi của bạn là "Đôi khi, nhưng không nói chung".

Để thấy điều này, hãy cho là các biến ngẫu nhiên (với phương sai hữu hạn). Sau đó,$X_1, ..., X_n$

$${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) - \left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2$$

Bây giờ lưu ý rằng , điều này rõ ràng nếu bạn nghĩ về những gì bạn đang làm khi bạn tính toán bằng tay. Vì thế,$(\sum_{i=1}^{n} a_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j$$(a_1+...+a_n) \cdot (a_1+...+a_n)$

$$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$$

tương tự,

$$\left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2 = \left[ \sum_{i=1}^{n} E(X_i) \right]^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i) E(X_j)$$

vì thế

$${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \big( E(X_i X_j)-E(X_i) E(X_j) \big) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j)$$

theo định nghĩa hiệp phương sai.

Bây giờ về phương sai của một tổng có bằng tổng phương sai không? :

• Nếu các biến không tương quan, có : đó là, cho , thì${\rm cov}(X_i,X_j)=0$$i\neq j$

  $${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j) = \sum_{i=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_i) = \sum_{i=1}^{n} {\rm var}(X_i)$$

• Nếu các biến tương quan, không, không nói chung : Ví dụ: giả sử là hai biến ngẫu nhiên, mỗi biến có phương sai và trong đó . Sau đó , do đó, danh tính không thành công.$X_1, X_2$$\sigma^2$${\rm cov}(X_1,X_2)=\rho$$0 < \rho <\sigma^2$${\rm var}(X_1 + X_2) = 2(\sigma^2 + \rho) \neq 2\sigma^2$

• nhưng có thể với một số ví dụ nhất định : Giả sử có ma trận hiệp phương sai rồi$X_1, X_2, X_3$

  $$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0.4 &-0.6 \\ 0.4 & 1 & 0.2 \\ -0.6 & 0.2 & 1 \\ \end{array} \right)$$ ${\rm var}(X_1+X_2+X_3) = 3 = {\rm var}(X_1) + {\rm var}(X_2) + {\rm var}(X_3)$

Do đó, nếu các biến không tương quan thì phương sai của tổng là tổng của phương sai, nhưng nói chung là không đúng.

$$\text{Var}\bigg(\sum_{i=1}^m X_i\bigg) = \sum_{i=1}^m \text{Var}(X_i) + 2\sum_{i\lt j} \text{Cov}(X_i,X_j).$$

Vì vậy, nếu hiệp phương sai trung bình bằng , đó sẽ là hệ quả nếu các biến không được ghép đôi hoặc nếu chúng độc lập, thì phương sai của tổng là tổng của phương sai.$0$

Một ví dụ trong đó điều này không đúng: Đặt . Đặt . Sau đó .$\text{Var}(X_1)=1$$X_2 = X_1$$\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(2X_1)=4$

Tôi chỉ muốn thêm một phiên bản ngắn gọn hơn của bằng chứng được đưa ra bởi Macro, vì vậy sẽ dễ dàng hơn để xem những gì đang diễn ra. $\newcommand{\Cov}{\text{Cov}}\newcommand{\Var}{\text{Var}}$

Lưu ý rằng vì$\Var(X) = \Cov(X,X)$

Với hai biến ngẫu nhiên chúng ta có:$X,Y$

$$\begin{align} \Var(X+Y) &= \Cov(X+Y,X+Y) \\ &= E((X+Y)^2)-E(X+Y)E(X+Y) \\ &\text{by expanding,} \\ &= E(X^2) - (E(X))^2 + E(Y^2) - (E(Y))^2 + 2(E(XY) - E(X)E(Y)) \\ &= \Var(X) + \Var(Y) + 2(E(XY)) - E(X)E(Y)) \\ \end{align}$$ Do đó, nói chung, phương sai của tổng hai biến ngẫu nhiên không phải là tổng của phương sai. Tuy nhiên, nếu độc lập, thì và chúng ta có .$X,Y$$E(XY) = E(X)E(Y)$$\Var(X+Y) = \Var(X) + \Var(Y)$

Lưu ý rằng chúng ta có thể tạo ra kết quả cho tổng biến ngẫu nhiên bằng một cảm ứng đơn giản.$n$

Có, nếu mỗi cặp không tương thích, điều này là đúng.$X_i$

Xem giải thích trên Wikipedia