Là những gì nó có nghĩa là với

Thông thường, trong quá trình (tự) của tôi nghiên cứu thống kê, tôi đã gặp thuật ngữ " $\sigma$ -algebra được tạo ra bởi một biến ngẫu nhiên". Tôi không hiểu định nghĩa trên Wikipedia , nhưng quan trọng nhất là tôi không có trực giác đằng sau nó. Tại sao / khi nào chúng ta cần đại số được tạo bởi các biến ngẫu nhiên? Ý nghĩa của chúng là gì? Tôi biết những điều sau đây:$\sigma-$

• a -đau khớp trên một tập hợp là một tập hợp các tập con không chứa của có chứa , được đóng lại dưới sự bổ sung và dưới sự kết hợp có thể đếm được.Ohm Ohm $\sigma$$\Omega$$\Omega$$\Omega$
• chúng tôi giới thiệu -achebras để xây dựng không gian xác suất trên không gian mẫu vô hạn. Cụ thể, nếu là vô hạn vô hạn, chúng tôi biết có thể tồn tại các tập hợp con không thể đo lường được (các tập hợp mà chúng tôi không thể xác định xác suất). Do đó, chúng ta không thể chỉ sử dụng bộ sức mạnh của làm tập hợp các sự kiện . Chúng ta cần một tập hợp nhỏ hơn, vẫn đủ lớn để chúng ta có thể xác định xác suất của các sự kiện thú vị và chúng ta có thể nói về sự hội tụ của một chuỗi các biến ngẫu nhiên.Ω Ω P ( Ω ) $\sigma$$\Omega$$\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$$\mathcal{F}$

Nói tóm lại, tôi nghĩ rằng tôi có một sự hiểu biết trực quan công bằng về đại số. Tôi muốn có một cách hiểu tương tự cho đại số được tạo bởi các biến ngẫu nhiên: định nghĩa, tại sao chúng ta cần chúng, trực giác, một ví dụ ...σ $\sigma-$$\sigma-$

Hãy xem xét một biến ngẫu nhiên $X$ . Chúng ta biết rằng $X$ không là gì ngoài một hàm đo được từ $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ thành $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ , trong đó $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ là tập hợp Borel của dòng thực. Theo định nghĩa về đo lường, chúng tôi biết rằng chúng tôi có

Nhưng trong thực tế, các tiền đề của các bộ Borel có thể không phải là tất cả của $\mathcal{A}$ mà thay vào đó chúng có thể tạo thành một tập hợp con thô hơn nhiều của nó. Để thấy điều này, hãy để chúng tôi xác định

Sử dụng các thuộc tính của preimages, nó không phải là quá khó khăn để chứng minh rằng $\mathcal{\Sigma}$ là một đại số sigma. Nó cũng sau ngay lập tức rằng $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ , do đó $\mathcal{\Sigma}$ là một sub-sigma-đại số. Hơn nữa, bằng các định nghĩa, dễ dàng thấy rằng ánh xạ $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ có thể đo lường được. $\mathcal{\Sigma}$ là trong thực tế nhỏ nhất đại số sigma mà làm cho $X$ một biến ngẫu nhiên như tất cả sigma-đại số khác của loại hình đó sẽ ít nhất bao gồm $\mathcal{\Sigma}$. For the reason that we are dealing with preimages of the random variable $X$, we call $\mathcal{\Sigma}$ the sigma-algebra induced by the random variable $X$.

Here is an extreme example: consider a constant random variable $X$, that is, $X(\omega) \equiv \alpha$. Then $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ equals either $\Omega$ or $\varnothing$ depending on whether $\alpha \in B$. The sigma-algebra thus generated is trivial and as such, it is definitely included in $\mathcal{A}$.

Hope this helps.