Sự khác biệt giữa phụ thuộc tuyến tính và tương quan tuyến tính là gì?

12

Vui lòng giải thích sự khác biệt giữa nếu hai biến phụ thuộc tuyến tính hoặc tương quan tuyến tính .

Tôi đã tra cứu bài viết trên wikipedia nhưng không có được một ví dụ thích hợp. Hãy giải thích nó với ví dụ.

correlation non-independent

— Chúc mừng
nguồn

13

Hai biến phụ thuộc tuyến tính nếu một biến có thể được viết dưới dạng hàm tuyến tính của biến kia. Nếu hai biến phụ thuộc tuyến tính thì tương quan giữa chúng là 1 hoặc -1. Tương quan tuyến tính chỉ có nghĩa là hai biến có tương quan khác không nhưng không nhất thiết phải có mối quan hệ tuyến tính chính xác. Tương quan đôi khi được gọi là tương quan tuyến tính bởi vì hệ số tương quan thời điểm sản phẩm Pearson là thước đo sức mạnh của tuyến tính trong mối quan hệ giữa các biến.

— Michael R. Chernick
nguồn

3

+1. Mặc dù vậy, tôi muốn nói rằng coef Pearson. "Là thước đo sức mạnh của mối quan hệ tuyến tính" thay vìis a measure of the degree of linearity in [= of?] the relationship

— ttnphns

@ttnphns Được rồi mà nghe thích hợp hơn.

— Michael R. Chernick

Có lẽ chứ không phải sẽ là một biện pháp tốt hơn vì chúng ta không cần phải gặp rắc rối với gần nghĩa là mối quan hệ tuyến tính mạnh mẽ (mặc dù có độ dốc âm). Ngoài ra, hãy xem xét có bao nhiêu phương sai được giải thích so với không giải thích và không kích thích nhà thống kê chuyển bánh xe và làm giá đỡ trong lễ kỷ niệm trong khi là bằng chứng tốt hơn nhiều về kết quả tích cực (đọc, có thể xuất bản).

ρ^{2}

$\rho^2$

ρ

$\rho$

ρ

$\rho$

- 1

$-1$

ρ = 0.51

$\rho = 0.51$

ρ^{2} > 1 / \sqrt{2} \approx 70 %

$\rho^2 > 1/\sqrt{2} \approx 70\%$

— Dilip Sarwate

7

Trong phụ thuộc tuyến tính ngụ ý rằng một vectơ là hàm tuyến tính của khác: Rõ ràng từ định nghĩa này rằng hai biến sẽ di chuyển theo bước khóa, ngụ ý tương quan hoặc tùy thuộc vào giá trị của . Tuy nhiên, để hiểu đầy đủ hơn về sự khác biệt và kết nối giữa các khái niệm, tôi nghĩ rằng có ích khi xem xét hình học liên quan. $\mathbf{R}^2$

v_{1} = a v_{2} .

$\textbf{v}_{1}=a\textbf{v}_2.$

1

$1$

- 1

$-1$

a

$a$

Biểu đồ dưới đây cho thấy một ví dụ về công thức cho sự phụ thuộc tuyến tính. Bạn có thể thấy rằng các vectơ phụ thuộc tuyến tính bởi vì một cái đơn giản là bội số của cái kia. nhập mô tả hình ảnh ở đây

Điều này trái ngược với tính độc lập tuyến tính, trong được mô tả bởi: cho các vectơMột ví dụ về sự độc lập tuyến tính có thể được nhìn thấy trong hình bên dưới. $\mathbf{R}^2$

v_{1} \neq a v_{2}

$\textbf{v}_{1}\neq a\textbf{v}_2$

v_{1}, v_{2} \neq 0 .

$\textbf{v}_1, \textbf{v}_2 \neq \textbf{0}.$ nhập mô tả hình ảnh ở đây

Phiên bản cực đoan nhất của độc lập tuyến tính là tính trực giao, được xác định cho các vectơ là: Khi được vẽ đồ thị trong , tính trực giao tương ứng với các vectơ và vuông góc với nhau: $\textbf{v}_1, \textbf{v}_2$

v_{1}^{T} v_{2} = 0.

$\textbf{v}_{1}^T \textbf{v}_{2} = 0.$

R^{2}

$\mathbf{R}^2$

v_{1}

$\textbf{v}_{1}$

v_{2}

$\textbf{v}_2$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Bây giờ, hãy xem xét hệ số tương quan của Pearson:

ρ_{v_{1} v_{2}} = \frac{(v_{1} - {\bar{v}}_{1} 1)^{T} (v_{2} - {\bar{v}}_{2} 1)}{σ_{v_{1}} σ_{v_{2}}} .

$\rho_{\textbf{v}_{1}\textbf{v}_{2}} = \frac{(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})^T(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})}{\sigma_{\textbf{v}_{1}}\sigma_{\textbf{v}_{2}}}.$

Lưu ý rằng nếu các vectơ và là trực giao thì tử số của hệ số Pearson bằng 0, ngụ ý rằng các biến và không tương thích. Điều này minh họa một kết nối thú vị giữa độc lập tuyến tính và tương quan: sự phụ thuộc tuyến tính giữa các phiên bản trung tâm của các biến và tương ứng với tương quan hoặc , không độc lập tuyến tính giữa các phiên bản trung tâm của và $(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})$ $(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $1$ $-1$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ tương ứng với tương quan giữa và về giá trị tuyệt đối và tính trực giao giữa các phiên bản trung tâm của và tương ứng với tương quan . $0$ $1$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $0$

Do đó, nếu hai vectơ phụ thuộc tuyến tính thì các phiên bản trung tâm của vectơ cũng sẽ phụ thuộc tuyến tính, tức là các vectơ có mối tương quan hoàn hảo. Khi hai vectơ độc lập tuyến tính (trực giao hoặc không) được căn giữa, góc giữa các vectơ có thể hoặc không thể thay đổi. Do đó, đối với các vectơ độc lập tuyến tính, mối tương quan có thể là dương, âm hoặc bằng không.

— tjnel
nguồn

0

Đặt f (x) và g (x) là các hàm.

Để f (x) và g (x) độc lập tuyến tính, chúng ta phải có

a * f (x) + b * g (x) = 0 khi và chỉ khi a = b = 0.

Nói cách khác, không có c sao cho a hoặc b không bằng 0 nhưng

a * f (c) + b * g (c) = 0

Nếu có ac như vậy, thì ta nói rằng f (x) và g (x) phụ thuộc tuyến tính.

ví dụ

f (x) = sin (x) và g (x) = cos (x) độc lập tuyến tính

f (x) = sin (x) và g (x) = sin (2x) không phụ thuộc tuyến tính (Tại sao?)

— người dùng34832
nguồn

2

Với định nghĩa bạn đang sử dụng ở đó, có thể có một sao cho ; chúng chỉ phụ thuộc tuyến tính nếu nó xảy ra với tất cả trong miền được xem xét; ví dụ, hãy xem xét ví dụ thứ hai của bạn, với . (Ngoài ra, tôi nghĩ có vấn đề với ví dụ đầu tiên của bạn)

c

$c$

a f (c) + b g (c) = 0

$a f(c) + b g(c) = 0$

x

$x$

c = π / 3

$c=\pi/3$

— Glen_b -Reinstate Monica