Vai trò của MDS trong thống kê hiện đại là gì?

Gần đây tôi đã đi qua quy mô đa chiều. Tôi đang cố gắng để hiểu công cụ này tốt hơn và vai trò của nó trong thống kê hiện đại. Vì vậy, đây là một vài câu hỏi hướng dẫn:

• Những câu hỏi nào nó trả lời?
• Những nhà nghiên cứu thường quan tâm đến việc sử dụng nó?
• Có các kỹ thuật thống kê khác thực hiện các chức năng tương tự?
• Lý thuyết nào được phát triển xung quanh nó?
• "MDS" liên quan đến "SSA" như thế nào?

Tôi xin lỗi trước vì đã hỏi một câu hỏi hỗn hợp / không có tổ chức như vậy, nhưng bản chất của giai đoạn hiện tại của tôi trong lĩnh vực này cũng vậy.

Trong trường hợp bạn sẽ chấp nhận một câu trả lời súc tích ...

Những câu hỏi nào nó trả lời? Ánh xạ trực quan của sự khác biệt cặp đôi trong không gian euclid (chủ yếu) có chiều kích thấp.

Những nhà nghiên cứu thường quan tâm đến việc sử dụng nó? Mọi người nhằm mục đích hiển thị các cụm điểm hoặc để hiểu rõ hơn về các kích thước tiềm ẩn có thể có dọc theo các điểm khác biệt. Hoặc người chỉ muốn biến một ma trận lân cận thành dữ liệu biến điểm X.

Có các kỹ thuật thống kê khác thực hiện các chức năng tương tự? PCA (tuyến tính, phi tuyến), phân tích tương ứng, mở ra đa chiều (một phiên bản của MDS cho ma trận hình chữ nhật). Chúng có liên quan theo những cách khác nhau với MDS nhưng hiếm khi được xem là sự thay thế của nó. (PCA và CA tuyến tính là các phép toán giảm không gian đại số tuyến tính tương ứng chặt chẽ trên ma trận vuông và hình chữ nhật, tương ứng. MDS và MDU tương ứng là các thuật toán phù hợp không gian phi tuyến tính trên ma trận vuông và hình chữ nhật.)

$S$$T$$E$$D$$m$$S \rightarrow T =^m D+E$$E$$S$(MDS cổ điển hoặc đơn giản) hoặc bản đồ cho nhiều ma trận cùng một lúc với bản đồ trọng số bổ sung (sự khác biệt cá nhân hoặc MDS có trọng số). Cũng có các hình thức khác như MDS lặp lại và MDS tổng quát. Vì vậy, MDS là một kỹ thuật đa dạng.

"MDS" liên quan đến "SSA" như thế nào? Notion về điều này có thể được tìm thấy trên trang Wikipedia của MDS.

Cập nhật cho điểm cuối cùng. Đây technote từ SPSS lá ấn tượng rằng SSA là một trường hợp đa chiều diễn ra (thủ tục PREFSCAL trong SPSS). Cái sau, như tôi đã lưu ý ở trên, là thuật toán MDS được áp dụng cho ma trận hình chữ nhật (chứ không phải đối xứng hình vuông).

@ttnphns đã cung cấp một cái nhìn tổng quan tốt. Tôi chỉ muốn thêm một vài điều nhỏ. Greenacre đã thực hiện rất nhiều công việc với Phân tích tương ứng và cách nó liên quan đến các kỹ thuật thống kê khác (như MDS, nhưng PCA và các công cụ khác), bạn có thể muốn xem nội dung của anh ấy (ví dụ: bản trình bày này có thể Hữu ích). Ngoài ra, MDS thường được sử dụng để tạo ra một cốt truyện (mặc dù có thể chỉ trích xuất một số thông tin bằng số), và ông đã viết một cuốn sách loại cốt truyện chung này và đưa nó lên web miễn phí tại đây(mặc dù chỉ có một chương là về các lô MDS mỗi se). Cuối cùng, về mặt sử dụng thông thường, nó được sử dụng rất phổ biến trong nghiên cứu thị trường và định vị sản phẩm, trong đó các nhà nghiên cứu sử dụng nó một cách mô tả để hiểu cách người tiêu dùng nghĩ về sự tương đồng giữa các sản phẩm cạnh tranh khác nhau; bạn không muốn sản phẩm của mình bị phân biệt kém so với phần còn lại.

Một điểm mạnh nữa là bạn có thể sử dụng MDS để phân tích dữ liệu mà bạn không biết các biến hoặc kích thước quan trọng. Quy trình chuẩn cho việc này sẽ là: 1) có người tham gia xếp hạng, sắp xếp hoặc xác định trực tiếp sự tương đồng giữa các đối tượng; 2) chuyển đổi các câu trả lời thành ma trận không giống nhau; 3) áp dụng MDS và, lý tưởng nhất là tìm mô hình 2 hoặc 3D; 4) phát triển các giả thuyết về kích thước cấu trúc bản đồ.

Ý kiến ​​cá nhân của tôi là có những công cụ giảm kích thước khác thường phù hợp hơn cho mục tiêu đó, nhưng những gì MDS cung cấp là cơ hội để phát triển lý thuyết về các kích thước đang được sử dụng để tổ chức các phán đoán. Điều quan trọng là bạn cũng phải ghi nhớ mức độ căng thẳng (biến dạng xuất phát từ việc giảm kích thước) và kết hợp điều đó vào suy nghĩ của bạn.

Tôi nghĩ rằng một trong những cuốn sách hay nhất về MDS là "Ứng dụng mở rộng đa chiều" của Borg, Groenen, & Mair (2013).