Câu hỏi (được sửa đổi một chút) diễn ra như sau và nếu bạn chưa bao giờ gặp nó trước khi bạn có thể kiểm tra nó trong ví dụ 6a, chương 2, của Khóa học đầu tiên về Xác suất của Sheldon Ross :

Giả sử rằng chúng ta sở hữu một chiếc bình lớn vô hạn và một bộ sưu tập vô hạn các quả bóng được dán nhãn bóng số 1, số 2, số 3, v.v. Hãy xem xét một thí nghiệm được thực hiện như sau: Vào lúc 1 phút đến 12 giờ tối, các quả bóng được đánh số từ 1 đến 10 được đặt trong bình và một quả bóng được lấy ra một cách ngẫu nhiên. (Giả sử rằng việc rút tiền không mất thời gian.) Vào lúc 1/2 phút đến 12 giờ tối, các quả bóng được đánh số từ 11 đến 20 được đặt trong bình và một quả bóng khác được lấy ra một cách ngẫu nhiên. Vào thời điểm 1/4 đến 12P.M., các quả bóng được đánh số từ 21 đến 30 được đặt trong một chiếc bình và một quả bóng khác được lấy ra một cách ngẫu nhiên ... và cứ thế. Câu hỏi quan tâm là, có bao nhiêu quả bóng trong bình lúc 12 giờ tối?

Câu hỏi này, như đã được đặt ra, về cơ bản, mọi người đều hiểu sai --- thông thường, trực giác sẽ nói rằng sẽ có vô số quả bóng vào lúc 12 giờ tối. Tuy nhiên, câu trả lời được cung cấp bởi Ross là xác suất một chiếc bình sẽ trống lúc 12 giờ tối

Khi giảng dạy lý thuyết xác suất, vấn đề này là một trong những vấn đề rất khó đưa ra một lời giải thích trực quan tốt.

Một mặt, bạn có thể cố gắng giải thích nó như sau: "hãy nghĩ đến xác suất của bất kỳ quả bóng nào tôi đang ném vào lúc 12 giờ tối. Trong các lần rút ngẫu nhiên vô hạn, cuối cùng nó sẽ bị loại bỏ. cuối cùng họ có thể ở đó ".

Tuy nhiên, các sinh viên sẽ tranh luận chính xác với bạn: "nhưng tôi đang đặt 10 quả bóng và loại bỏ 1 quả bóng mỗi lần. Không thể có bóng ở cuối".

Lời giải thích tốt nhất chúng ta có thể đưa ra cho họ để giải quyết những trực giác mâu thuẫn này là gì?

Tôi cũng cởi mở với lập luận rằng câu hỏi không được đặt ra và nếu chúng ta xây dựng nó tốt hơn thì "nghịch lý" sẽ biến mất hoặc với lập luận rằng nghịch lý là "hoàn toàn là toán học" (nhưng vui lòng cố gắng chính xác về nó).

Ross mô tả ba phiên bản của "nghịch lý" này trong Ví dụ 6a trong sách giáo khoa của mình . Trong mỗi phiên bản, 10 quả bóng được thêm vào bình và 1 quả bóng được loại bỏ ở mỗi bước của quy trình.

1. Trong phiên bản đầu tiên, bóng thứ được loại bỏ ở bước thứ . Có vô số quả bóng còn lại sau nửa đêm vì tất cả các quả bóng có số không kết thúc bằng 0 vẫn còn ở đó.$10n$$n$

2. Trong phiên bản thứ hai, bóng thứ được loại bỏ ở bước thứ . Không còn bóng nào sau nửa đêm vì mỗi quả bóng cuối cùng sẽ bị loại bỏ ở bước tương ứng.$n$$n$

3. Trong phiên bản thứ ba, các quả bóng được loại bỏ đồng đều một cách ngẫu nhiên. Ross tính toán xác suất của mỗi quả bóng bị loại bỏ bởi bước và thấy rằng nó hội tụ thành là (lưu ý rằng điều này không rõ ràng! Người ta thực sự phải thực hiện tính toán). Điều này có nghĩa, bởi sự bất bình đẳng của Boole , rằng xác suất cuối cùng không có bóng cũng là .1 n → ∞ $n$$1$$n\to\infty$$1$

Bạn đang nói rằng kết luận cuối cùng này không trực quan và khó giải thích; điều này được hỗ trợ tuyệt vời bởi nhiều câu trả lời và bình luận lẫn lộn trong chính chủ đề này. Tuy nhiên, kết luận của phiên bản thứ hai chính xác là không trực quan! Và nó hoàn toàn không có gì để làm với xác suất hoặc số liệu thống kê. Tôi nghĩ rằng sau khi một người chấp nhận phiên bản thứ hai, không còn gì đáng ngạc nhiên về phiên bản thứ ba nữa.

Vì vậy, trong khi cuộc thảo luận "xác suất" phải là về phiên bản thứ ba [xem câu trả lời rất sâu sắc của @ paw88789, @Paul và @ekvall], cuộc thảo luận "triết học" nên tập trung vào phiên bản thứ hai dễ dàng hơn và tương tự như trong tinh thần đến khách sạn của Hilbert .

---

Phiên bản thứ hai được gọi là nghịch lý Ross-Littlewood . Tôi liên kết đến trang Wikipedia, nhưng cuộc thảo luận ở đó thật khó hiểu và tôi không khuyên bạn nên đọc nó cả. Thay vào đó, hãy xem chủ đề MathOverflow này từ nhiều năm trước . Nó được đóng lại bây giờ nhưng có một số câu trả lời rất nhạy cảm. Một bản tóm tắt ngắn gọn về các câu trả lời mà tôi thấy quan trọng nhất là như sau.

Chúng ta có thể định nghĩa một tập hợp của các quả bóng có trong bình sau bước . Chúng tôi có mà , , vv Có một khái niệm toán học cũng xác định các giới hạn của một chuỗi các bộ và một cách nghiêm ngặt có thể chứng minh rằng giới hạn của chuỗi này tồn tại và là tập rỗng . Thật vậy, những quả bóng có thể được đặt trong giới hạn đặt? Chỉ những cái không bao giờ được gỡ bỏ. Nhưng mọi quả bóng cuối cùng đều bị loại bỏ. Vì vậy, giới hạn là trống rỗng. Chúng ta có thể viết . n S 1 = { 2 , ... 10 } S 2 = { 3 , ... 20 } ∅ S n → $S_n$$n$$S_1=\{2,\ldots 10\}$$S_2=\{3,\ldots 20\}$$\varnothing$$S_n \to \varnothing$

Đồng thời, sốcủa các quả bóng trong tập , còn được gọi là số lượng thẻ của tập hợp này, bằng . Chuỗi rõ ràng là phân kỳ, có nghĩa là cardinality hội tụ đến cardinality của , còn được gọi là aleph-zero . Vì vậy, chúng ta có thể viết rằng .S n 10 n - n = 9 n 9 n N ℵ 0 | S n | → ℵ $|S_n|$$S_n$$10n-n=9n$$9n$$\mathbb N$ $\aleph_0$$|S_n|\to \aleph_0$

"Nghịch lý" bây giờ là hai câu lệnh này dường như mâu thuẫn với nhau:

$$\begin{align} S_n &\to \varnothing \\ |S_n| &\to \aleph_0 \ne 0 \end{align}$$

Nhưng tất nhiên không có nghịch lý thực sự và không có mâu thuẫn. Không ai nói rằng lấy cardinality là một hoạt động "liên tục" trên các tập hợp, vì vậy chúng tôi không thể trao đổi nó với giới hạn:Nói cách khác, từ thực tế là cho tất cả số nguyên chúng ta không thể kết luận rằng(giá trị ở thứ tự đầu tiên ) bằng . Thay vào đó,phải được tính trực tiếp và hóa ra bằng không.| S ω | ∞ | S ω

$$\lim |S_n| \ne |\lim S_n|.$$ n ∈ $|S_n|=9n$$n\in \mathbb N$$|S_\omega|$$\infty$$|S_\omega|$

Vì vậy, tôi nghĩ rằng những gì chúng ta nhận được từ điều này thực sự là kết luận rằng việc lấy hồng y là một hoạt động không liên tục ... [@HarryAltman]

Vì vậy, tôi nghĩ rằng nghịch lý này chỉ là xu hướng của con người khi cho rằng các hoạt động "đơn giản" là liên tục. [@NateEldredge]

---

Điều này dễ hiểu hơn với các chức năng thay vì bộ. Hãy xem xét một hàm đặc trưng (còn gọi là chỉ số) của tập được xác định bằng một trên khoảng và 0 ở nơi khác. Mười chức năng đầu tiên trông giống như vậy (so sánh nghệ thuật ASCII từ câu trả lời của @ Hurkyl):S n [ n , 10 n $f_n(x)$$S_n$$[n, 10n]$

$\quad\quad\quad$

Mọi người sẽ đồng ý rằng với mỗi điểm , chúng ta có . Điều này theo định nghĩa có nghĩa là các hàm hội tụ đến hàm . Một lần nữa, mọi người sẽ đồng ý với điều đó. Tuy nhiên, hãy quan sát rằng các tích phân của các hàm này càng lớn hơn và chuỗi các tích phân phân kỳ. Nói cách khác, lim f n ( a ) = 0 f n ( x ) g ( x ) = 0 ∫ ∞ 0 f ( x ) d x = 9 $a\in\mathbb R$$\lim f_n(a) = 0$$f_n(x)$$g(x)=0$$\int_0^\infty f(x)dx = 9n$

$$\lim\int f_n(x)dx \ne \int \lim f_n(x) dx.$$

Đây là một kết quả phân tích hoàn toàn tiêu chuẩn và quen thuộc. Nhưng đó là một cải cách chính xác của nghịch lý của chúng tôi!

Một cách tốt để chính thức hóa vấn đề là mô tả trạng thái của bình không phải là một tập hợp (một tập con của ), vì chúng khó có thể đưa ra giới hạn, nhưng là chức năng đặc trưng của nó. "Nghịch lý" đầu tiên là giới hạn theo chiều không giống như giới hạn đồng nhất. [@ TheoJohnson-Freyd]$\mathbb N$

Vấn đề quan trọng là "tại nửa đêm trưa" toàn bộ chuỗi vô hạn đã được thông qua , tức là chúng ta thực hiện một "trasfinite nhảy" và đến với siêu hạn nhà nước . Giá trị của tích phân "vào nửa đêm " phải là giá trị của tích phân của , không phải theo cách khác.lim f $f_\omega = \lim f_n(x)$$\lim f_n$

---

Xin lưu ý rằng một số câu trả lời trong chủ đề này là sai lệch mặc dù được đánh giá cao.

Cụ thể, @cmaster tính toán thực sự là vô hạn, nhưng đây không phải là điều nghịch lý hỏi về. Nghịch lý hỏi về những gì xảy ra sau toàn bộ các bước vô hạn; đây là một cấu trúc vô hạn và vì vậy chúng ta cần tính toán bằng 0 như đã giải thích ở trên.ballCount ( S ω$\lim_{n\to\infty} \operatorname{ballCount}(S_n)$$\operatorname{ballCount}(S_\omega)$

Hurkyl (trong một câu trả lời) và Dilip Sarwate (trong một bình luận) đưa ra hai biến thể xác định phổ biến của câu đố này. Trong cả hai phiên bản, ở bước , bóng qua được thêm vào cọc ( ). 10 k - 9 10 k k = 1 , 2 , . . $k$$10k-9$$10k$$k=1,2,...$

Trong biến thể của Hurkyl, bóng bị loại bỏ. Trong biến thể này, có thể lập luận dứt khoát rằng không còn bóng nào vì bóng bị loại bỏ ở bước .$k$$n$$n$

Trong biến thể của Dilip Sarwate, bóng được loại bỏ ở bước và do đó, trong biến thể này, tất cả các bóng không phải là bội số của . Trong biến thể này, có vô số quả bóng trong chiếc bình ở cuối.k $10k$$k$$10$

Với hai biến thể này là trường hợp cạnh, chúng ta thấy rằng rất nhiều điều khác nhau có thể xảy ra khi thực hiện quá trình này. Chẳng hạn, bạn có thể sắp xếp để có bất kỳ bộ bóng hữu hạn nào còn lại ở cuối, bằng cách thực hiện quy trình của Hurkyl nhưng bỏ qua việc loại bỏ một số quả bóng nhất định. Trong thực tế đối với bất kỳ tập hợp có bổ sung vô hạn (theo số tự nhiên (dương)), bạn có thể có tập hợp các quả bóng còn lại ở cuối quá trình.$B$

Chúng ta có thể xem xét sự biến đổi ngẫu nhiên của vấn đề (được đưa ra trong bài viết gốc) khi chọn một hàm với các điều kiện (i) là một đối một và (ii) cho tất cả . f f ( k ) ≤ 10 k k ∈ $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$$f$$f(k)\le 10k$$k\in \mathbb{N}$

Đối số được đưa ra trong cuốn sách Sheldon Ross (được tham khảo trong bài) cho thấy hầu như tất cả (theo nghĩa xác suất) các chức năng như vậy trên thực tế đều nằm trên các chức năng (dự đoán).

Tôi thấy điều này tương tự như tình huống chọn một số, từ phân phối đồng đều trên và hỏi xác suất của số đó trong tập hợp Cantor là gì (tôi đang sử dụng bộ Cantor thay vì nói các số hữu tỷ vì bộ Cantor là không thể đếm được). Xác suất là mặc dù có rất nhiều số (không thể đếm được) trong tập hợp Cantor có thể được chọn. Trong bài toán loại bỏ bóng, tập hợp các chuỗi trong đó có bất kỳ quả bóng nào còn lại đang đóng vai trò của tập hợp Cantor.[ 0 , 1 ] $x$$[0,1]$$0$

---

Chỉnh sửa: BenMillwood chỉ ra một cách chính xác rằng có một số bộ bóng hữu hạn không thể là bộ còn lại. Chẳng hạn, không thể là bộ còn lại. Bạn có thể có ít nhất những người đầu tiên quả bóng còn lại cho .90 % 10 n n = 1 , 2 , 3 , . . $1,2,...,10$$90\%$$10n$$n=1,2,3,...$

Câu trả lời của Enumaris hoàn toàn đúng về vấn đề giới hạn phân kỳ. Tuy nhiên, câu hỏi thực sự có thể được trả lời một cách rõ ràng. Vì vậy, câu trả lời của tôi sẽ cho bạn thấy chính xác nơi giải pháp bóng không bị lỗi và tại sao giải pháp trực quan là giải pháp chính xác.

---

Đó là sự thật, rằng đối với bất kỳ quả bóng , xác suất của nó nằm trong chiếc bình ở cuối là bằng không. Nói chính xác, đó chỉ là giới hạn bằng 0: .P ( n ) P ( n ) = lim N → ∞ P ( n , N ) = $n$$P(n)$$P(n) = \lim_{N\to\infty} P(n, N) = 0$

Bây giờ, bạn thử tính tổng Phép tính bị hỏng nhảy ngay vào phần , nói rằng đó là 0 trong giới hạn, do đó, tổng chỉ chứa các số hạng bằng 0, do đó, tổng bằng 0: P(n,N) lim N → ∞ ballCount ( N

$$\lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N).$$ $P(n,N)$ $$\begin{align} \lim_{N\to\infty}\operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ \text{broken step here }\longrightarrow &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} \lim_{N\to\infty} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} 0 \\ &= \lim_{N\to\infty} 10 N\times 0 \\ &= 0 \end{align}$$

Tuy nhiên, điều này là chia trái phép thành hai phần độc lập. Bạn không thể đơn giản di chuyển vào tổng nếu giới hạn của tổng phụ thuộc vào tham số của . Bạn phải giải quyết toàn bộ .lim$\lim$$\lim$$\lim$$\lim$

Do đó, cách hợp lệ duy nhất để giải quyết này là giải tổng trước, sử dụng thực tế là cho mọi hữu hạn . Σ n ≤ 10 N n = 1 P ( n , N ) = 9 N N lim N → ∞ ballCount ( N $\lim$$\sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) = 9N$$N$

$$\begin{align} \lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} 9N \\ &= \infty \end{align}$$

Giải pháp trực quan đã thực hiện chính xác điều đó, đó là giải pháp "thông minh" về cơ bản đã bị phá vỡ.

Lập luận này tập trung vào xu hướng cho các tập hợp và trình tự vô hạn để hành xử theo cách đơn vị. Điều này không có gì đáng ngạc nhiên hơn khách sạn Hilbert . Trong trường hợp như vậy, bạn thực sự sẽ lấy ra vô số quả bóng, nhưng bạn sẽ đặt một số lượng vô hạn. Hãy xem xét khách sạn Hilbert ngược lại. Bạn có thể xóa số lượng khách vô hạn khỏi khách sạn và vẫn còn một số lượng vô hạn.

Cho dù điều này là có thể thực hiện được là một câu hỏi hoàn toàn khác.

Như vậy, tôi sẽ xem xét nó không nhất thiết phải hình thành, mà là đặt sai vào cuốn sách. Loại câu hỏi đếm này thuộc về một khóa học lý thuyết tập hợp, không phải là một khóa học xác suất.

Tôi nghĩ rằng nó giúp loại bỏ các thành phần tạm thời thừa của vấn đề.

Biến thể cơ bản hơn của nghịch lý này là luôn loại bỏ quả bóng được đánh số thấp nhất. Để dễ vẽ, tôi cũng sẽ chỉ thêm hai quả bóng ở mỗi bước.

Quy trình mô tả cách điền vào lưới hai chiều vô hạn:

.*........
..**......
...***....  ....
....****..
.....*****

 :  :  :
 :  :  :

trong đó mỗi hàng được hình thành từ trước bằng cách thêm hai dấu sao ở bên phải sau đó loại bỏ phần ngoài cùng bên trái.

Các câu hỏi sau đó đặt ra là:

Có bao nhiêu cột kết thúc bằng dấu hoa thị lặp đi lặp lại thay vì dấu chấm lặp lại?

Theo tôi, ý tưởng đánh đồng kết quả này với "giới hạn số lượng dấu sao trong mỗi hàng" ít hấp dẫn hơn nhiều.

Câu trả lời này nhằm làm bốn việc:

1. Xem lại công thức toán học của Ross về vấn đề, cho thấy cách nó diễn ra trực tiếp và rõ ràng từ mô tả vấn đề.

2. Bảo vệ quan điểm rằng giải pháp nghịch lý của Ross là cả về mặt toán học và phù hợp với sự hiểu biết của chúng ta về thế giới vật chất, cho dù nó có thể thực hiện được 100% về mặt vật lý hay không.

3. Thảo luận về những lập luận ngụy biện nhất định bắt nguồn từ trực giác vật lý, và cho thấy rằng giải pháp "vật lý" đã nêu của các quả bóng vô hạn vào buổi trưa không chỉ mâu thuẫn với toán học, mà còn cả vật lý.

4. Mô tả một triển khai thực tế của vấn đề có thể giúp giải pháp của Ross trực quan hơn. Bắt đầu ở đây để trả lời câu hỏi ban đầu của Carlos.

1. Cách mô tả vấn đề một cách toán học

Chúng tôi sẽ giải nén bước "mô hình hóa quá trình vô hạn" ban đầu của đối số Ross (trang 46) . Đây là tuyên bố chúng tôi sẽ tập trung vào việc biện minh:

Xác định là sự kiện mà bóng số 1 vẫn còn trong bình sau khi lần rút n đầu tiên được thực hiện ... Sự kiện bóng số 1 diễn ra vào lúc 12 giờ tối chỉ là sự kiện .⋂ ∞ n = 1 E $E_n$$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$

Trước khi chúng tôi giải nén tuyên bố của Ross, chúng ta hãy xem xét làm thế nào thậm chí có thể hiểu nội dung của chiếc bình vào buổi trưa, sau một chuỗi hoạt động vô hạn. Làm thế nào chúng ta có thể biết những gì trong bình? Chà, hãy nghĩ về một quả bóng cụ thể ; bạn có thể tưởng tượng hoặc hoặc bất cứ điều gì bạn muốn. Nếu quả bóng được lấy ra ở một giai đoạn nào đó của quá trình trước buổi trưa, chắc chắn nó sẽ không xuất hiện vào buổi trưa. Và ngược lại, nếu một quả bóng nhất định nằm trong bình ở mọi giai đoạn của quá trình cho đến trưa (sau khi nó được thêm vào), thì nó đã ở trong bình vào buổi trưa. Hãy viết những tuyên bố này một cách chính thức:b = 1 1000 $b$$b=1$$1000$$b$

Một quả bóng nằm trong bình vào buổi trưa khi và chỉ khi nó ở trong bình ở mọi giai đoạn trước buổi trưa, trong đó là giai đoạn bóng đã được thêm vào bình.n ∈ { n b , n b + 1 , n b + 2 , . . . } n $b$$n \in \{n_b, n_b + 1, n_b + 2, ...\}$$n_b$

Bây giờ, hãy giải nén câu lệnh của Ross - có nghĩa là gì trong tiếng Anh? Chúng ta hãy thực hiện một thực hiện quá trình urn và nói ra:$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$ $x$

• $x \in E_1$ có nghĩa là bóng 1 nằm trong vòng sau giai đoạn 1 của quá trình.
• $x \in E_1 \bigcap E_2$ có nghĩa là bóng 1 nằm trong vòng sau giai đoạn 1 và 2 của quá trình.
• $x \in E_1 \bigcap E_2 \bigcap E_3$ có nghĩa là bóng 1 nằm trong vòng sau các giai đoạn 1, 2 và 3 của quá trình.
• Với mọi , có nghĩa là quả bóng nằm trong vòng sau giai đoạn đến .x ∈ ⋂ n k = 1 E k 1 $k \in \{1, 2, 3, ...\}$$x \in \bigcap_{k=1}^n E_k$$1$$n$

Rõ ràng, sau đó, có nghĩa là, trong quá trình thực hiện của quá trình này, bóng 1 nằm trong vòng sau giai đoạn 1, 2, 3, et cetera : tất cả các giai đoạn hữu hạn trước buổi trưa. Giao điểm vô hạn chỉ là một cách viết khác, vì vậy chứa chính xác các quá trình trong đó bóng 1 nằm ở vị trí hoàn toàn giai đoạn trước buổi trưa. Một sự kiện chỉ là một tập hợp xác định của một quá trình, vì vậy câu cuối cùng chính xác tương đương với việc nói rằng là sự kiện mà bóng 1 đã ở trong mọi giai đoạn trước buổi trưa, cho quá trình ngẫu nhiên này. x k ⋂ ∞ n = 1 E n ⋂ ∞ n = 1 E n ⋂ ∞ n = 1 E $x \in \bigcap_{k \in \{1, 2, 3...\}} E_k$$x$$k$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

Bây giờ, phần cuối: bởi câu nói "nếu và chỉ nếu" của chúng tôi ở trên, điều này hoàn toàn giống với việc nói rằng quả bóng 1 đã ở trong một buổi trưa! Vì vậy, là sự kiện bóng 1 xuất hiện vào buổi trưa, giống như Ross đã nêu ban đầu. QED$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

Trong đạo hàm trên, mọi thứ chúng ta nói đều có giá trị như nhau cho cả phiên bản xác định và xác suất, bởi vì mô hình xác định là trường hợp đặc biệt của mô hình xác suất trong đó không gian mẫu có một yếu tố. Không có khái niệm lý thuyết hay xác suất nào được sử dụng, ngoài các từ "sự kiện" và "hiện thực hóa" (vốn chỉ là biệt ngữ cho "tập hợp" và "yếu tố").

2. Giải pháp nghịch lý là âm thanh toán học và liên quan đến vật lý

Sau điểm thiết lập này, các biến thể xác định và xác suất phân kỳ. Trong biến thể xác định (phiên bản 2 từ bài của amip), chúng ta biết bóng 1 được đưa ra ở bước đầu tiên, do đó, và giao lộ vô hạn, tất nhiên, cũng trống rỗng. Tương tự, bất kỳ quả bóng nào khác được lấy ra ở giai đoạn và không có mặt vào buổi trưa. Do đó, chiếc bình không thể chứa bất kỳ quả bóng được đánh số vào buổi trưa và do đó phải trống.b b $E_1 = \emptyset$$b$$b$$b$

Trong biến thể xác suất, hiện tượng tương tự xảy ra, chỉ trong một ý nghĩa "mong đợi" nhẹ nhàng hơn. Xác suất của bất kỳ quả bóng nào được đưa ra sẽ giảm xuống 0 khi chúng ta đến gần buổi trưa và vào thời điểm giới hạn của buổi trưa, quả bóng gần như chắc chắn không có mặt. Vì mỗi quả bóng có mặt với xác suất bằng 0 và tổng vô số số không vẫn là 0, nên gần như chắc chắn không có quả bóng nào trong buổi trưa. Tất cả những điều này được Ross thể hiện hoàn toàn nghiêm ngặt; chi tiết có thể được điền vào với một kiến ​​thức về lý thuyết đo lường trình độ sau đại học, như câu trả lời của @ ekvall cho thấy.

Nếu bạn chấp nhận các đối số chuẩn về các đối tượng toán học được biểu thị dưới dạng các chuỗi vô hạn, ví dụ , thì đối số ở đây sẽ được chấp nhận, vì nó dựa trên các nguyên tắc chính xác tương tự. Câu hỏi duy nhất còn lại là liệu giải pháp toán học có áp dụng cho thế giới thực hay chỉ là thế giới thuần túy của toán học. Câu hỏi này rất phức tạp và được thảo luận thêm trong phần 4.$0.999... = 1$

Điều đó nói rằng, không có lý do gì để giả định rằng vấn đề urn vô hạn là phi vật lý, hoặc từ chối nó là không liên quan ngay cả khi nó là phi vật lý. Nhiều hiểu biết vật lý đã đạt được từ việc nghiên cứu các cấu trúc và quy trình vô hạn , ví dụ, các dây vô hạn và mạng lưới percolation . Không phải tất cả các hệ thống này nhất thiết phải thực hiện được về mặt vật lý, nhưng lý thuyết của chúng định hình phần còn lại của vật lý. Bản thân tính toán là "phi vật lý" theo một số cách, bởi vì chúng ta không biết liệu có thể nhận ra một cách vật lý những khoảng cách và thời gian nhỏ tùy tiện thường là chủ đề nghiên cứu của nó hay không. Điều đó không ngăn chúng ta đưa tính toán vào sử dụng cực kỳ tốt trong khoa học lý thuyết và ứng dụng.

3. Tính phi vật lý của các giải pháp dựa trên "Trực giác vật lý"

Đối với những người vẫn tin rằng toán học của Ross là sai hoặc không chính xác về thể chất trong biến thể xác định và giải pháp vật lý thực sự là vô số quả bóng: bất kể bạn nghĩ gì xảy ra vào buổi trưa, không thể phủ nhận tình huống trước buổi trưa: mọi quả bóng được đánh số thêm vào bình cuối cùng được gỡ bỏ. Vì vậy, nếu bạn nghĩ rằng bằng cách nào đó vẫn còn vô số quả bóng vào buổi trưa, bạn phải thừa nhận rằng không phải một trong những quả bóng đó có thể là một quả bóng được thêm vào trước buổi trưa. Vì vậy, những quả bóng đó phải đến từ một nơi khác: bạn đang khẳng định rằng vô số quả bóng, không liên quan đến quá trình giải quyết vấn đề ban đầu, đột nhiên xuất hiện vào buổi trưa để giải cứu sự liên tục của cardinality khỏi bị vi phạm.Không mang tính vật lý như giải pháp "tập hợp trống" có vẻ như bằng trực giác, sự thay thế này là khách quan và phi vật lý. Các bộ sưu tập vô hạn của các vật thể không xuất hiện ngay lập tức chỉ để thỏa mãn trực giác nghèo nàn của con người về sự vô hạn.

Sai lầm phổ biến ở đây dường như là chúng ta chỉ có thể nhìn vào số lượng quả bóng khi thời gian đến gần trưa, và giả định rằng xu hướng phân kỳ mang lại vô số quả bóng vào buổi trưa, mà không quan tâm đến chính xác những quả bóng nào được đưa vào và ra. Thậm chí đã có một nỗ lực để chứng minh điều này bằng "nguyên tắc thờ ơ", trong đó tuyên bố rằng câu trả lời không nên phụ thuộc vào việc các quả bóng có được dán nhãn hay không.

Thật vậy, câu trả lời không phụ thuộc vào việc các quả bóng có được dán nhãn hay không, nhưng đó là một lập luận cho giải pháp của Ross, chứ không phải chống lại nó. Từ quan điểm của vật lý cổ điển, các quả bóng được dán nhãn hiệu quả cho dù bạn nghĩ chúng có nhãn hay không. Chúng có các đặc điểm nhận dạng riêng biệt, vĩnh viễn tương đương với nhãn và phân tích vật lý thực sự phải tính đến điều này, cho dù các con số có được viết theo nghĩa đen trên các quả bóng hay không. Bản thân các nhãn không ảnh hưởng trực tiếp đến cách giải pháp được đưa ra, nhưng chúng cần thiết để mô tả chính xác cách các quả bóng được di chuyển xung quanh. Một số thủ tục để lại quả bóng mãi mãi, một số khác có thể loại bỏ mọi quả bóng được thêm vào và nhãn là cần thiết để mô tả sự khác biệt giữa các quy trình này.Cố gắng bỏ qua các nhãn không phải là "vật lý", nó chỉ bỏ qua việc hiểu chính xác vấn đề vật lý để giải quyết nó. . một sơ đồ ghi nhãn không thay đổi duy nhất, một trong những vấn đề ban đầu của Ross.)

Cách duy nhất để phân biệt sẽ không thành sự thật là nếu "quả bóng" là các hạt cơ học lượng tử. Trong trường hợp này, nguyên tắc thờ ơ thất bại một cách ngoạn mục. Vật lý lượng tử cho chúng ta biết rằng các hạt không thể phân biệt hành xử hoàn toàn khác với các hạt phân biệt. Điều này có những hậu quả vô cùng cơ bản đối với cấu trúc của vũ trụ chúng ta, chẳng hạn như nguyên tắc loại trừ Pauli, có lẽ là nguyên tắc quan trọng nhất của hóa học. Không ai đã cố gắng phân tích một phiên bản lượng tử của nghịch lý này.

4. Mô tả giải pháp về mặt vật lý

Chúng ta đã thấy những trực giác "vật lý" mơ hồ có thể khiến chúng ta lạc lối về vấn đề này như thế nào. Ngược lại, nó chỉ ra rằng một mô tả chính xác hơn về vấn đề giúp chúng ta hiểu tại sao giải pháp toán học thực sự là giải pháp có ý nghĩa vật lý nhất.

Hãy xem xét một vũ trụ Newton vô tận được chi phối bởi các định luật của cơ học cổ điển. Vũ trụ này chứa hai vật thể: một Kệ vô hạn và một Urn vô hạn, bắt đầu từ Nguồn gốc của Vũ trụ và chạy cùng nhau, cách nhau một bước, mãi mãi và mãi mãi. Kệ nằm trên dòng feet, trong khi Urn nằm trên dòng feet. Dọc theo Kệ được đặt vô số quả bóng giống hệt nhau, cách đều nhau một chân, đầu tiên là một chân từ gốc (vì vậy quả bóng nằm trên đường feet). Urn - thứ thực sự giống như Kệ, nhưng trang trí công phu hơn một chút, khép kín và nói chung là Urarn - trống rỗng.y = 1 n x = $y = 0$$y = 1$$n$$x = n$

Một lối đi kết nối Kệ và Urn ở phía dưới, và trên đỉnh Lối đi, tại Origin, đặt một robot Endeavour với nguồn cung cấp năng lượng vô hạn. Bắt đầu lúc 11 giờ sáng, Endeavour kích hoạt và bắt đầu phóng to qua lại trong Lối đi, chuyển bóng giữa Urn và Kệ theo hướng dẫn được lập trình của Ross-Littlewood:

• Khi chương trình ra lệnh cho bóng được chèn vào Urn, bóng feet từ Origin được chuyển từ Kệ sang Urn.$n$$n$
• Khi chương trình ra lệnh loại bỏ bóng khỏi Urn, bóng chân từ Nguồn gốc được chuyển từ Urn sang Kệ.$n$$n$

Trong cả hai trường hợp, việc chuyển nhượng được thực hiện thẳng trên, vì vậy bóng vẫn feet từ xứ. Quá trình mở ra như được chỉ định trong vấn đề Ross-Littlewood:$n$

• Vào lúc 11:00 sáng, Endeavour chuyển bóng 1-10 từ Kệ sang Urn, sau đó di chuyển một trong những quả bóng Urn trở lại Kệ.
• Vào lúc 11:30 sáng, Endeavour chuyển những quả bóng 11-20 từ Kệ sang Urn, sau đó di chuyển một trong những quả bóng Urn trở lại Kệ.
• Vào lúc 11:45 sáng, Endeavour chuyển bóng 21-30 từ Kệ sang Urn, sau đó di chuyển một trong những quả bóng Urn trở lại Kệ.
• vân vân...

Khi quá trình tiếp tục, mỗi bước mới đòi hỏi các chuyến đi dài hơn lên và xuống Lối đi, và chỉ một nửa thời gian để thực hiện các chuyến đi. Do đó, Endeavour phải di chuyển lên và xuống Lối đi nhanh hơn theo cấp số nhân khi buổi trưa đóng cửa. Nhưng nó luôn theo kịp chương trình, bởi vì nó có nguồn cung cấp năng lượng vô hạn và có thể di chuyển nhanh như cần thiết. Cuối cùng, buổi trưa cũng đến.

Điều gì xảy ra trong phiên bản tưởng tượng sống động hơn này? Nhìn từ trên cao, cách tiếp cận buổi trưa thực sự ngoạn mục. Trong Urn, một làn sóng bóng xuất hiện để truyền ra từ Nguồn gốc. Kích thước và tốc độ của Wave tăng lên mà không bị ràng buộc khi đến gần trưa. Nếu chúng ta chụp ảnh ngay sau mỗi bước thì bố cục của quả bóng sẽ như thế nào? Trong trường hợp xác định, chúng sẽ trông giống hệt như các hàm bước trong câu trả lời của amip. Các vị trí bóng sẽ theo chính xác các đường cong anh ta đã vẽ. $(x, y)$Trong trường hợp xác suất, nó sẽ trông gần giống nhau, nhưng với sự lảo đảo hơn gần Nguồn gốc.

Khi buổi trưa đến, chúng tôi dự trữ những gì đã xảy ra. Trong phiên bản xác định, mỗi quả bóng được chuyển từ Kệ sang Urn chính xác một lần, sau đó di chuyển trở lại ở bước sau, với cả hai lần chuyển xảy ra trước buổi trưa. Vào buổi trưa, Vũ trụ phải trở về trạng thái 11 giờ ban đầu. Sóng không còn nữa. Mỗi quả bóng trở lại chính xác nơi nó bắt đầu. Không có gì thay đổi. Urn trống rỗng. Trong phiên bản xác suất điều tương tự xảy ra, ngoại trừ bây giờ kết quả chỉ gần như chắc chắn chứ không chắc chắn.

Trong cả hai trường hợp, "sự phản đối vật lý" và những lời phàn nàn về sự vô hạn dường như tan biến vào không khí mỏng. Tất nhiên là Urn trống vào buổi trưa. Làm thế nào chúng ta có thể tưởng tượng khác?

Bí ẩn duy nhất còn lại là số phận của Endeavour. Sự dịch chuyển của nó khỏi Nguồn gốc và vận tốc của nó trở nên lớn tùy ý khi buổi trưa đến gần, vì vậy vào buổi trưa, Endeavour không tìm thấy ở đâu trong Vũ trụ Newton vô tận của chúng ta. Mất Endeavour là vi phạm vật lý duy nhất xảy ra trong quá trình này.

Tại thời điểm này, người ta có thể phản đối rằng Endeavour không thể thực hiện được, vì tốc độ của nó tăng lên mà không bị ràng buộc và cuối cùng sẽ vi phạm giới hạn tương đối tính, tốc độ ánh sáng. Tuy nhiên, chúng ta có thể thay đổi kịch bản một chút để giải quyết vấn đề này. Thay vì một robot duy nhất, chúng ta có thể có vô số robot, mỗi robot chịu trách nhiệm cho một quả bóng. Chúng tôi có thể lập trình chúng trước để đảm bảo sự phối hợp và thời gian hoàn hảo theo hướng dẫn của Ross.

Là biến thể này 100% vật lý? Có lẽ là không, bởi vì các robot sẽ phải hoạt động với thời gian chính xác tùy ý. Khi chúng ta đến gần buổi trưa, độ chính xác được yêu cầu cuối cùng sẽ giảm xuống dưới thời Planck và tạo ra các vấn đề cơ học lượng tử. Nhưng cuối cùng, một dây vô hạn và một mạng lưới percolation vô hạn cũng có thể không phải là tất cả. Điều đó không ngăn chúng tôi nghiên cứu các hệ thống và quy trình vô hạn và xác định điều gì sẽ xảy ra nếu các ràng buộc vật lý bị cản trở bị đình chỉ.

4a. Tại sao Count Monotonicity bị Vi phạm

Một số người hoài nghi Ross đã đặt câu hỏi làm thế nào có thể số lượng bóng trong chiếc bình tăng lên mà không bị ràng buộc khi chúng ta đến gần buổi trưa, sau đó là số 0 vào buổi trưa. Cuối cùng, chúng ta phải tin vào phân tích nghiêm ngặt về trực giác của chúng ta, điều này thường sai, nhưng có một biến thể của nghịch lý giúp làm sáng tỏ bí ẩn này.

Giả sử thay vì vô số quả bóng, chúng ta có các quả bóng được dán nhãn 1, 2, 3, lên đến và chúng tôi đưa ra bổ sung sau cho các quy tắc cho động lực bóng:10 $10N$$10N$

• Nếu hướng dẫn yêu cầu bạn di chuyển một quả bóng không tồn tại, hãy bỏ qua hướng dẫn đó.

Lưu ý rằng vấn đề ban đầu là không thay đổi nếu chúng ta thêm vào nó hướng dẫn này, vì hướng dẫn sẽ không bao giờ được kích hoạt với vô số quả bóng. Vì vậy, chúng ta có thể nghĩ về vấn đề ban đầu và gia đình vấn đề mới này là một phần của cùng một gia đình, với cùng một quy tắc. Kiểm tra gia đình hữu hạn , đặc biệt đối với rất lớn , có thể giúp chúng ta hiểu trường hợp "N = ".N $N$$N$$\infty$

Trong biến thể này, các quả bóng tích lũy 9 mỗi bước như trước đây, nhưng chỉ đến bước của quá trình. Sau đó, các số cho các quả bóng được thêm vào không còn tương ứng với các quả bóng thực tế và chúng tôi chỉ có thể thực hiện theo hướng dẫn để loại bỏ các quả bóng và quá trình dừng lại sau bước bổ sung, trong tổng số bước. Nếu rất lớn, pha chỉ loại bỏ xảy ra rất gần với buổi trưa, khi các nhiệm vụ đang được thực hiện rất nhanh, và chiếc bình bị loại bỏ rất nhanh.9 N 10 N $N$$9N$$10N$$N$

Bây giờ, giả sử chúng ta thực hiện biến thể thử nghiệm này cho từng giá trị của và vẽ biểu đồ đếm bóng theo thời gian, , trong đó dao động từ 0 đến 1 giờ sau 11 giờ sáng (tức là 11 giờ sáng đến trưa). Thông thường tăng trong một thời gian, sau đó giảm về 0 tại hoặc trước . Trong giới hạn khi tiến đến vô cùng, đồ thị tăng cao hơn bao giờ hết và sự sụt giảm nhanh hơn bao giờ hết. Vào buổi trưa, chiếc bình luôn trống: . Trong biểu đồ giới hạn, , đường cong tiếp cận vô hạn cho nhưngf N ( t ) t f N ( t ) t = 1 N f N ( 1 ) = 0 f ( t ) = lim N → ∞ f N ( t ) t < 1 f ( 1 ) = 0 N → $N$$f_N(t)$$t$$f_N(t)$$t=1$$N$$f_N(1) = 0$$f(t) = \lim_{N \rightarrow \infty} f_N(t)$$t < 1$$f(1) = 0$. Đây chính xác là kết quả thu được trong bằng chứng của Ross: số lượng bóng chuyển sang vô cực trước buổi trưa, nhưng bằng không vào buổi trưa. Nói cách khác, giải pháp của Ross duy trì tính liên tục đối với N: giới hạn theo chiều của số lượng bóng là khớp với số lượng bóng trong trường hợp bóng vô hạn.$N \rightarrow \infty$

Tôi không coi đây là một lập luận chính cho giải pháp của Ross, nhưng nó có thể hữu ích cho những người đang bối rối về lý do tại sao số lượng bóng tăng lên mãi mãi, hơn là sụp đổ về 0 vào buổi trưa. Mặc dù lạ, đó là hành vi giới hạn của phiên bản hữu hạn của vấn đề là , và do đó không đến như một "cú sốc bất ngờ" trong trường hợp vô hạn.$N \rightarrow \infty$

Một phản ánh cuối cùng

Tại sao vấn đề này đã được chứng minh là một hố nhựa như vậy đối với nhiều người như vậy? Suy đoán của tôi là trực giác về thể chất của chúng ta mơ hồ hơn nhiều so với chúng ta nghĩ và chúng ta thường đưa ra kết luận dựa trên những quan niệm tinh thần không chính xác và không đầy đủ. Ví dụ, nếu tôi yêu cầu bạn nghĩ về một hình vuông cũng là một hình tròn, bạn có thể tưởng tượng một cái gì đó vuông vức và tuần hoàn, nhưng nó sẽ không chính xác là cả hai điều đó - điều đó là không thể. Tâm trí con người có thể dễ dàng trộn lẫn các khái niệm mơ hồ, mâu thuẫn vào một bức tranh tinh thần duy nhất. Nếu các khái niệm ít quen thuộc hơn, như Infinite, chúng ta có thể tự thuyết phục rằng những bản mashup tinh thần mơ hồ này thực sự là những khái niệm về Real Thing.

Đây chính xác là những gì xảy ra trong vấn đề urn. Chúng tôi không thực sự quan niệm về tất cả mọi thứ cùng một lúc; chúng tôi nghĩ về các bit và các mảnh của nó, giống như có bao nhiêu quả bóng theo thời gian. Chúng tôi vẫy tay với những kỹ thuật được cho là không liên quan, như những gì xảy ra với từng quả bóng nhỏ bé khiêm tốn theo thời gian, hoặc chính xác là một "chiếc bình" có thể giữ vô số quả bóng như thế nào. Chúng tôi bỏ qua việc đưa ra tất cả các chi tiết một cách chính xác, không nhận ra rằng kết quả là một sự kết hợp của các mô hình tinh thần không phù hợp, không tương thích.

Toán học được thiết kế để giải cứu chúng ta khỏi tình trạng này. Nó kỷ luật và thép chúng ta khi đối mặt với những người không quen thuộc và kỳ lạ. Nó đòi hỏi chúng ta phải suy nghĩ kỹ về những điều "phải" là đúng ... đúng không? Nó nhắc nhở chúng ta rằng cho dù mọi thứ có kỳ lạ đến thế nào, một và một vẫn là hai, một quả bóng là trong một chiếc bình hoặc nó không phải, và một tuyên bố là đúng hoặc sai. Nếu chúng ta kiên trì, những nguyên tắc này cuối cùng sẽ mang lại sự rõ ràng cho hầu hết các vấn đề của chúng ta.

Những người phụ thuộc phân tích toán học vào trực giác "vật lý" hoặc "lẽ thường" làm điều đó trong tình trạng nguy hiểm. Vẫy tay về trực giác chỉ là khởi đầu của vật lý. Trong lịch sử, tất cả các ngành vật lý thành công cuối cùng đã tự sáng lập ra toán học nghiêm ngặt, loại bỏ những trực giác vật lý không chính xác, củng cố các hệ thống chính xác và cho phép nghiên cứu nghiêm ngặt các hệ thống lý tưởng, chẳng hạn như dây mang dòng vô hạn, chiếu sáng hành vi của phức tạp hơn, thế giới thực lộn xộn. Ross-Littlewood là một vấn đề vật lý,thường được hiểu là một trong những cơ học cổ điển, và cơ học cổ điển có một nền tảng toán học hoàn toàn trưởng thành và nghiêm ngặt. Chúng ta nên dựa vào mô hình toán học và phân tích cho trực giác của chúng ta về thế giới vật lý cổ điển, chứ không phải theo cách khác.

Một số áp phích đã được quan tâm, các tính toán trong Ross có thể không nghiêm ngặt. Câu trả lời này giải quyết rằng bằng cách chứng minh sự tồn tại của một không gian xác suất trong đó tất cả các kết quả được Ross xem xét thực sự có thể đo lường được, và sau đó lặp lại các phần quan trọng trong tính toán của Ross.

Tìm một không gian xác suất phù hợp

Để đưa ra kết luận của Ross rằng không có quả bóng nào vào lúc 12 giờ tối, gần như chắc chắn, nghiêm ngặt, chúng ta cần sự tồn tại của một không gian xác suất trong đó sự kiện "không có quả bóng nào vào lúc 12 giờ PM "có thể được xây dựng chính thức và được hiển thị để đo lường được. Cuối cùng, chúng ta sẽ sử dụng Định lý 33 [Ionescu - Tulcea] trong các ghi chú bài giảng này , được điều chỉnh lại một chút và một cấu trúc được đề xuất bởi @NateEldredge trong một nhận xét cho câu hỏi.$(\Omega, \mathcal F, P)$

Định lý. (Ionescu - Định lý mở rộng Tulcea) Hãy xem xét một chuỗi các không gian có thể đo được . Giả sử rằng với mỗi , tồn tại một hạt nhân xác suất từ đến (lấy làm hạt nhân không nhạy cảm với đối số đầu tiên của nó, tức là thước đo xác suất). Sau đó, tồn tại một chuỗi các biến ngẫu nhiên lấy các giá trị trong tương ứng , sao cho, với mọi , phân phối chung củan κ n ( Ξ 1 , X 1 ) × ⋯ × ( Ξ n - 1 , X n - 1 ) ( Ξ n , X n ) κ 1 X n , n = 1 , 2 , ... Ξ n$(\Xi_n, \mathcal X_n), n = 1, 2, \dots$$n$$\kappa_n$$(\Xi_1, \mathcal X_1) \times \dots \times(\Xi_{n-1}, \mathcal X_{n-1})$$(\Xi_n, \mathcal X_n)$$\kappa_1$$X_n, n = 1, 2, \dots$$\Xi_n$$n$κ 1 , ... , κ $(X_1, \dots, X_n)$được ngụ ý bởi các hạt nhân .$\kappa_1, \dots, \kappa_n$

Chúng tôi để biểu thị nhãn của quả bóng đã bị xóa khi rút tiền lần thứ . Rõ ràng là quá trình (vô hạn) , nếu nó tồn tại, cho chúng ta biết mọi thứ chúng ta cần biết để bắt chước các đối số của Ross. Ví dụ: biết đối với một số nguyên giống như biết số lượng bóng trong bình sau khi rút : chúng chính xác là các quả bóng được thêm vào có nhãn , trừ đi những quả bóng đã xóa . Tổng quát hơn, các sự kiện mô tả trong đó, và có bao nhiêu, quả bóng đang ở urn sau khi bất kỳ rút nhất định có thể được ghi trong điều khoản của quy trình . n X = ( X 1 , X 2 , Hoài ) X 1 , Rằng , X m m ≥ 0 m { 1 , 2 , Lỗi , 10 m } { X 1 , Rò , X m } $X_n$$n$$X = (X_1, X_2, \dots)$$X_1, \dots, X_m$$m \geq 0$$m$$\{1, 2, \dots, 10m\}$$\{X_1, \dots, X_m\}$$X$

Để phù hợp với thử nghiệm của Ross, chúng tôi cần rằng, với mọi , phân phối là thống nhất trên . Chúng tôi cũng cần phân phối để được thống nhất trên . Để chứng minh rằng một quá trình vô hạn với các phân phối chiều hữu hạn này thực sự tồn tại, chúng tôi kiểm tra các điều kiện của Định lý mở rộng Ionescu-Tulcea. Đối với bất kỳ số nguyên , hãy để và xác định khoảng trắng có thể đo được , trong đóX n | X n - 1 , ... , X 1 { 1 , 2 , ... , 10 n } ∖ X 1 , ... , X n - 1 X 1 { 1 , ... , 10 } X = ( X 1 , X 2 , Hoài ) n I n = { $n\geq 2$$X_n \mid X_{n-1}, \dots, X_{1}$$\{1, 2, \dots, 10n\} \setminus {X_1, \dots, X_{n-1}}$$X_1$$\{1,\dots, 10\}$$X = (X_1, X_2, \dots)$$n$( Ξ n , X n ) = ( tôi 10 n , 2 tôi 10 n ) 2 B B κ 1 ( Ξ 1 , X 1 ) 1 / 10 Ξ 1 n ≥ 2 ( x 1 , ... , x n - 1 ) ∈ Ξ 1 × $\mathcal I_n = \{1, 2, \dots, n\}$$(\Xi_n, \mathcal X_n) = (\mathcal I_{10n}, 2^{\mathcal I_{10n}})$$2^B$ biểu thị sức mạnh thiết lập của tập . Xác định số đo trên là số đo đặt khối lượng trên tất cả các yếu tố của . Với mọi và xác định là hạt nhân xác suất đặt khối lượng bằng nhau trên tất cả các điểm trong và khối lượng 0 trên tất cả các điểm khác, tức là trên các số nguyên$B$$\kappa_1$$(\Xi_1, \mathcal X_1)$$1/10$$\Xi_1$$n \geq 2$ κ n ( x 1 , ... , x n - 1 , ⋅ ) Ξ n ∖ { x 1 , ... , x n - 1 } x i ∈ Ξ n , i = 1 , ... , n - 1 X ( Ω , F , P $(x_1, \dots, x_{n-1}) \in \Xi_1 \times \dots \times \Xi_{n-1}$$\kappa_n(x_1, \dots, x_{n-1}, \cdot)$$\Xi_n \setminus \{x_1, \dots, x_{n-1}\}$$x_i \in \Xi_n, i = 1, \dots, n - 1$. Bằng cách xây dựng, các hạt xác suất đồng ý với xác suất loại bỏ đồng nhất được chỉ định bởi Ross. Do đó, quá trình vô hạn và không gian xác suất , sự tồn tại của định lý được đưa ra, cho chúng ta một cách để chính thức thực hiện lập luận của Ross.$X$$(\Omega, \mathcal F, P)$

Đặt biểu thị tập hợp kết quả sao cho bóng nằm trong bình sau khi rút . Theo quy trình ngẫu nhiên của chúng tôi, điều này có nghĩa là, với tất cả và sao cho chúng tôi xác định , tức là bóng đã không bị xóa trong bất kỳ lần rút nào lên đến và bao gồm cả lần thứ . Với chúng ta có thể xác định rõ vì bóng chưa được thêm vào lượt. Với mỗi và , tập hợp i n X i n i ≤ 10 n E i n = ∩ n j = 1 { ω : X j ( ω ) ≠ i } i n i > 10 n E i n = ∅ i j i { ω : X j ( ω ) ≠ i } X j E $E_{in}$$i$$n$$X$$i$$n$$i \leq 10n$$E_{in} = \cap_{j = 1}^n\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$$i$$n$$i > 10n$$E_{in} = \emptyset$$i$$j$$i$$\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$ có thể đo lường được vì là một biến ngẫu nhiên (có thể đo lường được). Do đó, có thể đo được là sự giao thoa hữu hạn của các tập có thể đo được.$X_j$$E_{in}$

Chúng tôi quan tâm đến tập hợp các kết quả sao cho không có quả bóng nào vào lúc 12 giờ tối. Đó là tập hợp các kết quả sao cho mỗi số nguyên , quả bóng không xuất hiện vào lúc 12 giờ tối Đối với mọi , hãy để là tập hợp kết quả ( ) sao cho quả bóng ở trong vòng 12 giờ sáng Chúng ta có thể xây dựng chính thức bằng cách sử dụng như sau. Rằng đang ở trong bình lúc 12 giờ tối tương đương với bình sau mỗi lần rút tiền được thực hiện sau khi được thêm vào bình, vì vậyi i E i w ∈ Ohm i E i E i n i E i = ∩ n : i ≤ 10 n E i n E i$i = 1, 2\dots$$i$$i$$E_i$$\omega \in \Omega$$i$$E_i$$E_{in}$$i$$E_i = \cap_{n:i\leq 10n}E_{in}$. Tập hợp kết quả hiện có thể đo được là giao điểm có thể đếm được của các tập có thể đo được, cho mọi .$E_i$$i$

Các kết quả có ít nhất một quả bóng trong vòng 12 giờ sáng là những kết quả mà ít nhất một trong số xảy ra, tức là . Tập hợp kết quả có thể đo lường được là tập hợp có thể đếm được của các tập hợp có thể đo lường được. Bây giờ, là sự kiện không có quả bóng nào vào lúc 12 giờ tối, điều này thực sự có thể đo lường được như là sự bổ sung của một tập hợp có thể đo lường được. Chúng tôi kết luận rằng tất cả các bộ kết quả mong muốn đều có thể đo lường được và chúng tôi có thể chuyển sang tính toán xác suất của chúng, như Ross đã làm. E = ∪ ∞ i = 1 E i E Ohm ∖ $E_i$$E = \cup_{i = 1}^\infty E_i$$E$$\Omega \setminus E$

Tính xác suất$P(\Omega \setminus E)$

Chúng tôi lưu ý đầu tiên vì họ các sự kiện là có thể đếm được, chúng tôi có tính phụ thuộc của các biện pháp có thể đếm được$E_i, i = 1, 2, \dots$

P ( E i ) = một i i P ( E ) = 0 Σ N i = 1 một i = 0 N một i = 0

$$P(E) \leq \sum_{i = 1}^\infty P(E_i) = \lim_{N\to \infty}\sum_{i = 1}^N P(E_i).$$ Để dễ ghi chú, hãy biểu thị số thực cho tất cả . Rõ ràng, để chứng minh rằng nó cũng đủ để chứng minh rằng cho tất cả . Điều này tương đương với việc hiển thị rằng cho mọi , mà chúng ta sẽ làm ngay bây giờ.$P(E_i) = a_i$$i$$P(E) = 0$$\sum_{i = 1}^N a_i = 0$$N$$a_i = 0$$i$

Cuối cùng, lưu ý rằng với tất cả sao cho bóng đã được thêm vào urn, tức là , . Điều này là như vậy bởi vì nếu bóng nằm trong urn ở bước , thì nó cũng nằm trong urn ở bước . Nói cách khác, các tập hợp , tạo thành một chuỗi giảm cho tất cả sao cho . Để dễ ghi chú, hãy để . Ross chứng minh rằng là và nói rằng điều này cũng có thể được hiển thị cho tất cả các kháci 10 n ≥ i E i n ⊇ E i ( n + 1 ) i n + 1 n E i n n 10 n ≥ i a i n = P ( E i n ) a 1 n → 0 n → ∞ i a i n = ∏ n k = i [ 9 $n$$i$$10n \geq i$$E_{in} \supseteq E_{i(n + 1)}$$i$$n + 1$$n$$E_{in}$$n$$10n \geq i$$a_{in} = P(E_{in})$$a_{1n} \to 0$$n \to \infty$$i$, mà tôi sẽ coi là sự thật. Bằng chứng bao gồm cho thấy và cho tất cả , an tính toán sơ cấp nhưng dài dòng tôi sẽ không nhắc lại ở đây. Được trang bị kết quả này và thực tế là gia đình của các sự kiện , có thể đếm được cho mọi i , tính liên tục của các biện pháp mang lạilim n → ∞ một i n = 0 i E i n 10 n > $a_{in} = \prod_{k = i}^n[9k / (9k + 1)]$$\lim_{n \to \infty}a_{in} = 0$$i$$E_{in}$$10n > i$

$$a_i = P(\cap_{n: 10n > i}E_{in}) = \lim_{n \to \infty} P(E_{in}) = \lim_{n \to \infty}a_{in} = 0.$$

Chúng tôi kết luận rằng và do đó như đã tuyên bố. QED.P ( Ohm ∖ E ) = $P(E) = 0$$P(\Omega\setminus E) = 1$

---

Một số hiểu lầm phổ biến:

1. Một câu trả lời liên quan đến thực tế là (theo ký hiệu của tôi) . Tuy nhiên, điều này không ảnh hưởng đến tính hợp lệ của giải pháp vì số lượng ở phía bên tay phải không phải là lợi ích của mỗi đối số được cung cấp.$\lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N \lim_{n \to \infty }a_{in} \neq \lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N a_{iN}$
2. Đã có một số lo ngại rằng giới hạn không thể được di chuyển bên trong tổng hoặc nói cách khác không thể thay thế được với tổng theo nghĩa đó có thể là trường hợp . Giống như nhận xét trước đây, điều này không liên quan đến giải pháp vì số lượng ở phía bên tay phải không phải là một lợi ích.$\sum_{i = 1}^\infty \lim_{n \to \infty}a_{in} \neq \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^\infty a_{in}$

Một mặt, bạn có thể cố gắng giải thích nó như sau: "hãy nghĩ đến xác suất của bất kỳ quả bóng nào tôi đang ném vào lúc 12 giờ tối. Trong các lần rút ngẫu nhiên vô hạn, cuối cùng nó sẽ bị loại bỏ. cuối cùng họ có thể ở đó ".

Tôi không thấy lập luận này thuyết phục. Nếu đối số này hoạt động, thì đối số sau sẽ hoạt động: Mỗi năm, một số người được sinh ra (giả sử một phần không đổi trong tổng dân số) và một số người chết (giả sử một phần không đổi). Sau đó, vì trong giới hạn, bất kỳ người cụ thể nào cũng gần như chắc chắn đã chết, thì loài người phải tuyệt chủng! Bây giờ, loài người có thể bị tuyệt chủng vì những lý do khác, nhưng lập luận này là rác rưởi.

Không có ý nghĩa gì cho vấn đề này để có một giải pháp khi các quả bóng được đánh số và để nó có một câu trả lời hoàn toàn khác khi các quả bóng được ẩn danh. Bằng cách đối xứng, nhãn tùy ý không ảnh hưởng đến giải pháp. Jaynes gọi lập luận này là nguyên tắc thờ ơ , mà tôi chấp nhận.

Nói cách khác, nếu ai đó nói với bạn rằng họ đặt mười quả bóng vào một cái bình và loại bỏ một quả liên tục, và cái bình đầy đủ trong giới hạn, câu trả lời của bạn có phải là "Điều đó phụ thuộc vào việc các quả bóng được đánh số" không? Dĩ nhiên là không. Nội dung của chiếc bình đó phân kỳ giống như chiếc bình trong vấn đề này.

Do đó, tôi nghĩ giải pháp nằm ở cách chúng ta chính thức hóa vấn đề. Từ định nghĩa thông thường về giới hạn lý thuyết tập hợp , chúng ta có

lim sup n → ∞ S n = ⋂ n ≥ 1 ⋃ j ≥ n S

$$\liminf_{n \to \infty} S_n = \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{j \geq n} S_j.$$ $$\limsup_{n \to \infty} S_n = \bigcap_{n \ge 1} \bigcup_{j \geq n} S_j$$

Đặt giới hạn của số lượng của tập hợp là

$$k\triangleq \lim_{n\to\infty}|S_n|$$

và tính chính xác của của tập hợp là$\liminf$

$$l \triangleq \left|\liminf_{n\to\infty} (S_n)\right|.$$

Tôi đề nghị giới hạn lý thuyết tập hợp được xác định lại để:

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} S_n &\triangleq \begin{cases} \liminf_{n\to\infty} (S_n) &\text{if } \liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k \text{ exists, and }k=l \\ \alpha_k &\text{if }\liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k\text{ exists, and }k \ne l \\ \text{undefined} &\text{otherwise.} \end{cases} \end{align}$$

Bộ nặc danh đặc biệt này có tên là mô tả những gì xảy ra ở vô cực. Cũng giống như đại diện cho hành vi giới hạn của các số, đại diện cho hành vi giới hạn của các tập hợp. Cụ thể, chúng tôi có và . Lợi ích của chủ nghĩa hình thức này là nó mang lại cho chúng ta sự liên tục của tính đồng nhất và tính nhất quán với nguyên tắc thờ ơ . ∞ α i ∉ α k ∀ i | α k | = $\alpha_k$$\infty$$\alpha$$i \notin \alpha_k \forall i$$|\alpha_k| = k$

Đối với bài toán urn, chúng ta có là tập hợp các quả bóng trong bình. Và Do đó, các yếu tố không "rơi xuống một vách đá" ở vô cực, điều này không có ý nghĩa gì hơn là nó có ý nghĩa đối với loài người bị tuyệt chủng chỉ vì không có con người là bất tử.lim n → ∞ S n = alpha ∞$S_n = \{n+1, \dotsc, 10n\}$

$$\lim_{n\to\infty} S_n = \alpha_{\infty}.$$

Tương tự, giả sử chúng ta sửa đổi vấn đề để ở mỗi bước một quả bóng được thêm vào và quả bóng được đánh số thấp nhất sẽ bị loại bỏ. Sau đó, có bao nhiêu quả bóng trong bình trong giới hạn? Các bộ ẩn danh đưa ra câu trả lời trực quan:

$$\lim_{n\to\infty}\{n\} = \alpha_1.$$

Tôi nhận ra rằng các nhà toán học có thể không đồng ý về các độ phân giải cho nghịch lý này, nhưng với tôi, đây là độ phân giải trực quan nhất.

Vấn đề là không đúng hoặc không theo logic thứ nhất.

Nguyên nhân gốc rễ: thực hiện bước "cuối cùng" sẽ ghi vô số chữ số trên một quả bóng, khiến bước đó tự mất một thời gian vô hạn để thực hiện.

Khả năng thực hiện một quá trình vô hạn với một bước vô hạn ngụ ý khả năng giải quyết tất cả các vấn đề logic bậc nhất ( do đó, Godel là sai) bằng cách thực hiện chuỗi H sau (đối với định lý X):

Z = asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem X
      THEN
        OUTPUT "yes" and HALT
) + asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem ¬X
      THEN
        OUTPUT "no" and HALT
)
IF Z = "" 
THEN Z = "independent"
IF Z = "yesno" ∨ Z = "noyes"
THEN Z = "paradox"
OUTPUT Z

trong đó bước vô hạn là giải mã đầu ra

Chương trình bên trong asymptotic_coroutine chỉ là một tìm kiếm toàn diện cho một định lý chứng minh (hoặc từ chối) X. Chuyển đổi P thành S dẫn đến "aa", "ab", "ac", ... "a∨", ... trong đó mọi ký hiệu có thể xuất hiện trong một định lý được tạo ra. Điều này dẫn đến việc tạo ra tất cả các định lý về ký _tự độ dài N lần lượt. Vì N phát triển không giới hạn trong vòng lặp bên ngoài nên cuối cùng sẽ tạo ra tất cả các định lý.

Mặt sai sẽ không bao giờ chấm dứt nhưng chúng ta không phải quan tâm đến điều đó bởi vì chúng ta được phép thực hiện các bước vô hạn. Trong thực tế, chúng tôi phụ thuộc vào việc có thể làm điều này để phát hiện sự độc lập vì cả hai bên sẽ không bao giờ kết thúc. Ngoại trừ một điều. Chúng tôi đã cho phép vô số bước thực hiện trong một thời gian hữu hạn bằng cách tăng tốc độ thực thi không triệu chứng. Đây là phần đáng ngạc nhiên. Asymptotic_coroutine không bao giờ kết thúc và không bao giờ tạo đầu ra đã "kết thúc" * sau thời gian tiệm cận và vẫn chưa bao giờ tạo ra bất kỳ đầu ra nào.

* Nếu chúng tôi đặt OUTPUT sau FOR N = 1 ... nó sẽ không đạt được nhưng chúng tôi sẽ không làm điều đó.

Hình thức mạnh mẽ của Định lý bất toàn của Gôdel có thể được nêu rõ "Đối với mọi hệ thống logic bậc nhất F, có một tuyên bố G _F đúng trong F nhưng không thể được chứng minh là đúng ở F." Nhưng phương pháp chứng minh H không thể không chứng minh tất cả các câu lệnh phải đúng trong F (H).

Tiến thoái lưỡng nan: Gödel (cho phép các bước vô hạn)
Do đó
: Tiến thoái lưỡng nan: ¬Gödel (315502 được hình thành tốt trong logic thứ tự đầu tiên)

Gọi x là số lượng bóng đã bị loại bỏ và y là số lượng bóng còn lại. Sau mỗi chu kỳ y = 9x. Như x> 0, y> 0. Sẽ có vô số quả bóng trong chiếc bình vào lúc 12 giờ tối.

Lý do mà các giải pháp dựa trên xác suất dẫn đến khó khăn là xác suất từ ​​chuỗi vô hạn là khó khăn. ET Jaynes đã viết về một vài nghịch lý rõ ràng khác nhau về xác suất, như thế này, trong cuốn sách Lý thuyết xác suất: Logic của khoa học . Tôi không có bản sao của mình trong tay, nhưng phần đầu tiên của cuốn sách có sẵn trực tuyến từ Larry Bretthorst ở đây . Các trích dẫn sau đây là từ lời nói đầu.

Tuy nhiên, khi tất cả được nói và thực hiện, chúng tôi thấy, với sự ngạc nhiên của chúng tôi, rằng ít hơn một thỏa thuận triết học lỏng lẻo vẫn còn; về nhiều vấn đề kỹ thuật, chúng tôi không đồng ý mạnh mẽ với de Finetti. Chúng ta thấy rằng cách đối xử của anh ta với các bộ vô hạn đã mở ra một hộp nghịch lý vô dụng và không cần thiết của Pandora; tính không co giãn và tính hữu hạn là những ví dụ được thảo luận trong Chương 15.

Nghịch lý vô hạn đã trở thành một bệnh nhiễm trùng bệnh hoạn ngày nay đang lan rộng theo cách đe dọa đến chính cuộc sống của lý thuyết xác suất, và cần phải phẫu thuật cắt bỏ ngay lập tức. Trong hệ thống của chúng tôi, sau cuộc phẫu thuật này, những nghịch lý như vậy được tránh tự động; chúng không thể phát sinh từ việc áp dụng đúng các quy tắc cơ bản của chúng tôi, bởi vì các quy tắc đó chỉ chấp nhận các tập hữu hạn và các tập vô hạn phát sinh theo các giới hạn được xác định rõ và được xử lý tốt của các tập hữu hạn. Nghịch lý xảy ra là do (1) nhảy trực tiếp vào một tập hợp vô hạn mà không chỉ định bất kỳ quy trình giới hạn nào để xác định các thuộc tính của nó; và sau đó (2) đặt câu hỏi có câu trả lời phụ thuộc vào cách giới hạn được tiếp cận.

Ví dụ: câu hỏi: Có xác suất nào là một số nguyên chẵn không? Có thể có bất kỳ câu trả lời nào chúng tôi xin vui lòng trong (0, 1), tùy thuộc vào quy trình giới hạn nào để xác định tập hợp của tất cả các số nguyên. chuỗi hội tụ có điều kiện có thể được thực hiện để hội tụ đến bất kỳ số nào chúng tôi muốn, tùy thuộc vào thứ tự chúng tôi sắp xếp các điều khoản).

Theo quan điểm của chúng tôi, một tập hợp vô hạn không thể nói là sở hữu bất kỳ sự tồn tại của người nào và các hoạt động toán học ít nhất, theo lý thuyết xác suất, cho đến khi chúng tôi chỉ định quy trình giới hạn tạo ra nó từ một tập hợp hữu hạn. Nói cách khác, chúng tôi đi theo biểu ngữ của Gauss, Kronecker và Poincar ́e chứ không phải Cantor, Hilbert và Bourbaki. Chúng tôi hy vọng rằng những độc giả bị sốc bởi điều này sẽ nghiên cứu bản cáo trạng của chủ nghĩa Bourbak của nhà toán học Morris Kline (1980), và sau đó chịu đựng chúng tôi đủ lâu để thấy những lợi thế của phương pháp của chúng tôi. Các ví dụ xuất hiện trong hầu hết các Chương.

Việc sử dụng các giới hạn trong câu trả lời của @enumaris (+1) cung cấp một cách xoay quanh sự khó khăn của tính vô hạn trong xác suất.

Lời giải thích tốt nhất chúng ta có thể đưa ra cho họ để giải quyết những trực giác mâu thuẫn này là gì?

Đây là câu trả lời tốt nhất và nó có rất ít liên quan đến xác suất. Tất cả các quả bóng có số, hãy gọi chúng là số sinh. Các số sinh bắt đầu từ B1, B2, B3 ... và đi đến vô tận, bởi vì chúng tôi thực sự không bao giờ dừng lại. Chúng tôi tiến gần hơn đến 12:00 AM nhưng tiếp tục thêm và loại bỏ các quả bóng, đó là lý do tại sao không có số bóng cuối cùng. Đây là một xem xét rất quan trọng, btw.

Chúng tôi đặt các quả bóng vào một hộp trong 10 lô bóng, chẳng hạn như lô số 7: B71, B72, ..., B80. Hãy quên những thứ này trong một phút và tập trung vào những quả bóng được lấy ra khỏi hộp. Họ đến theo thứ tự ngẫu nhiên . Tôi sẽ giải thích tại sao tính ngẫu nhiên lại quan trọng sau này, nhưng bây giờ tất cả điều đó có nghĩa là bất kỳ quả bóng nào có số thứ tự từ B1 đến B10k vẫn còn trong hộp ở bước K có thể được rút ra. Chúng tôi sẽ lập chỉ mục các quả bóng mà chúng tôi loại bỏ theo thứ tự chúng bị loại bỏ, hãy gọi chúng là các số tử vong: D1, D2, D3 ... DK.

Đến 12:00 sáng, chúng tôi đặt vô số quả bóng vào một hộp, và chắc chắn chúng tôi không bao giờ hết bóng để lấy ra khỏi nó. Tại sao? Bởi vì trước tiên chúng tôi đặt 10 quả bóng, THÌ CHỈ loại bỏ một quả. Vì vậy, luôn có một quả bóng để loại bỏ. Điều này có nghĩa là chúng tôi cũng đã loại bỏ số lượng bóng vô hạn vào 12:00 AM.

Điều này cũng có nghĩa là mỗi quả bóng bị loại bỏ được lập chỉ mục từ 1 đến vô cùng, nghĩa là chúng ta có thể ghép từng quả bóng bị loại bỏ với một quả bóng được đặt trong hộp: B1 đến D1, B2 đến D2, v.v. Điều này có nghĩa là chúng ta đã loại bỏ nhiều bóng như chúng tôi đưa vào, bởi vì mỗi số sinh được ghép với mỗi số chết.

Bây giờ đó là giải pháp. Tại sao nó đánh bại trực giác của chúng ta? Đó là tiểu học, Tiến sĩ Watson. Lý do là bởi vì chúng tôi chắc chắn biết rằng với tất cả K, điều này giữ: Đó là lý do sau khi K bước, chúng tôi không thể loại bỏ tất cả bóng khỏi hộp, vì chúng tôi đặt bóng 10K và chỉ loại bỏ K trong số chúng. Đúng?

$$K<10K$$

Có một vấn đề nhỏ. Vấn đề là khi , điều này không còn đúng nữa: Đó là lý do tại sao trực giác bị phá vỡ.$K=\infty$

$$10\times\infty\nless\infty$$

Bây giờ, nếu các quả bóng không được loại bỏ ngẫu nhiên. Hai điều có thể xảy ra như trong câu trả lời kinh điển của @ amoeba. Đầu tiên, giả sử chúng ta đã đặt 10 quả bóng sau đó loại bỏ quả bóng cuối cùng ngay lập tức. Như thể chúng ta chỉ đặt chín quả bóng. Điều này sẽ phù hợp với trực giác của chúng ta và vào lúc 12:00 sáng sẽ có vô số quả bóng. Làm thế nào mà? Vì chúng tôi không loại bỏ các quả bóng một cách ngẫu nhiên, chúng tôi đã theo thuật toán trong đó các số sinh được ghép với các số chết là tại thời điểm loại bỏ . Vì vậy, chúng tôi ghép từng quả bóng đã loại bỏ với một trong những quả bóng mà chúng tôi đặt vào: , điều này có nghĩa là một tấn bóng chưa bao giờ được ghép B1, B2 ,. .., B9, B11, ...$B10K=DK$ $B10\to D1,B20\to D2,B30\to D3,\dots$

Điều thứ hai có thể xảy ra với việc loại bỏ bóng không ngẫu nhiên cũng liên quan đến việc ghép đôi khi loại bỏ: chúng tôi tương quan BK = DK. Chúng ta có thể làm điều này bằng cách loại bỏ một quả bóng với BK ở mỗi bước K, điều này đảm bảo rằng BK được ghép nối với DK. Bằng cách này, mỗi quả bóng bị loại bỏ được ghép với mỗi quả bóng mà chúng ta đặt vào, tức là kết quả cuối cùng giống như trong lần rút ngẫu nhiên các quả bóng bị loại bỏ. Rõ ràng, điều này có nghĩa là không còn bóng trong hộp sau 12:00 AM.

Tôi chỉ cho thấy rằng vấn đề có rất ít liên quan đến xác suất mỗi lần. Nó có mọi thứ để làm với sức mạnh của các tập hợp vô hạn (?). Vấn đề thực sự duy nhất mà tôi tránh thảo luận là liệu các bộ có thực sự có thể đếm được hay không. Bạn thấy rằng khi bạn đến gần hơn 12:00 AM thì tốc độ chèn bóng của bạn tăng lên khá nhanh, để nói một cách nhẹ nhàng. Vì vậy, sẽ không quá tầm thường khi nghĩ ra số lượng bóng mà chúng ta bỏ vào hộp có thực sự đếm được hay không.

Làm sáng tỏ

Bây giờ, tôi sẽ làm sáng tỏ giải pháp kinh điển này của nghịch lý, và trở lại với trực giác của chúng tôi.

Làm thế nào có thể là chúng ta đặt 10 quả bóng vào, loại bỏ một quả bóng và vẫn hết bóng sau 12 giờ? Đây là những gì thực sự đang xảy ra. 12 giờ là không thể truy cập .

Hãy để cải cách vấn đề. Chúng ta không giảm một nửa khoảng thời gian nữa. Chúng tôi đặt và loại bỏ bóng mỗi phút. Đây không phải là chính xác như trong vấn đề ban đầu? Có và không.

Vâng, bởi vì không nơi nào trong giải trình của tôi ở trên, tôi đã đề cập rõ ràng đến thời gian nhưng cuối cùng. Tôi đang đếm các bước k. Vì vậy, chúng ta có thể tiếp tục đếm các bước và bóng chết bằng k.

Không, bởi vì bây giờ chúng tôi sẽ không bao giờ dừng lại . Chúng tôi sẽ tiếp tục thêm và loại bỏ các quả bóng cho đến hết thời gian, điều không bao giờ đến. Trong khi trong vấn đề ban đầu, kết thúc là 12 giờ.

Điều này giải thích làm thế nào trực giác của chúng ta thất bại. Mặc dù chúng tôi đặt bóng với tốc độ loại bỏ 9 lần, bởi vì thời gian không bao giờ kết thúc, mọi quả bóng mà chúng tôi đặt vào cuối cùng sẽ bị xóa! Có thể mất vô số phút, nhưng không sao, vì chúng tôi còn vô số phút. Đó là giải pháp thực sự của vấn đề.

Trong công thức này, bạn sẽ hỏi "có bao nhiêu quả bóng trong hộp sau khi vô cực kết thúc?" Không! Bởi vì đó là một câu hỏi vô nghĩa. Đó là lý do tại sao câu hỏi ban đầu là vô nghĩa. Hoặc bạn có thể gọi nó là đặt ra.

Bây giờ, nếu bạn quay trở lại vấn đề ban đầu, thì thời gian kết thúc rõ ràng sẽ xảy ra. Đó là lúc 12. Thực tế là chúng tôi đã ngừng đưa bóng vào có nghĩa là thời gian đã kết thúc, và chúng tôi đã vượt quá kết thúc của nó. Vì vậy, câu trả lời thực sự cho câu hỏi là 12 giờ không bao giờ nên xảy ra. Nó không thể truy cập được.

Thật đáng để đọc câu trả lời của amip rất tuyệt vời và làm rõ vấn đề rất nhiều. Tôi không hoàn toàn không đồng ý với câu trả lời của anh ấy nhưng muốn chỉ ra rằng giải pháp của vấn đề dựa trên một quy ước nhất định. Điều thú vị là loại vấn đề này cho thấy quy ước này, trong khi thường được sử dụng, là nghi vấn.

Như ông nói, có một điểm kỹ thuật về việc chứng minh rằng với mỗi quả bóng, xác suất ở lại bình mãi là 0. Ngoài thời điểm này, vấn đề không nằm ở xác suất. Một tương đương xác định có thể được đưa ra. Nó dễ hiểu hơn nhiều. Ý tưởng chính là: vì mọi quả bóng đều vắng mặt trong một khoảng thời gian, nên chiếc bình ở cuối là trống rỗng. Nếu bạn biểu thị sự hiện diện trong bình của mỗi quả bóng bằng một chuỗi số 0 và số một, thì mỗi chuỗi là 0 từ một phạm vi nhất định, do đó giới hạn của nó là 0.

Bây giờ vấn đề có thể được đơn giản hóa hơn nữa. Tôi gọi các khoảnh khắc 1, 2, 3 .... để đơn giản:

• Khoảnh khắc 1: đưa bóng 1 vào bình
• Khoảnh khắc 2: xóa nó
• Khoảnh khắc 3: đưa bóng 2 vào bình
• Khoảnh khắc 4: loại bỏ nó
• Khoảnh khắc 5: đưa bóng 3 vào trong bình
• ...

Quả bóng nào vào cuối (buổi trưa)? Với cùng một ý tưởng, cùng một câu trả lời: không có.

Nhưng về cơ bản, không có cách nào để biết, vì vấn đề không nói lên điều gì xảy ra vào buổi trưa. Thật ra, có thể vào cuối thời gian, Pikachu bất ngờ xuất hiện. Hoặc có thể tất cả các quả bóng đột nhiên sụp đổ và hợp nhất thành một quả bóng lớn. Không có nghĩa là điều này có nghĩa là thực tế, nó chỉ không được chỉ định.

Vấn đề chỉ có thể được trả lời nếu một quy ước nhất định cho chúng ta biết làm thế nào để đi đến giới hạn: một giả định liên tục. Trạng thái của chiếc bình vào buổi trưa là giới hạn của các trạng thái trước đó. Chúng ta nên tìm kiếm một giả định liên tục ở đâu để giúp chúng ta trả lời câu hỏi?

Trong quy luật vật lý? Quy luật vật lý đảm bảo một sự liên tục nhất định. Tôi nghĩ về một mô hình cổ điển đơn giản, không kêu gọi vật lý hiện đại thực sự. Nhưng về cơ bản, các định luật vật lý sẽ mang lại chính xác các câu hỏi giống như các câu hỏi toán học: cách chúng ta chọn để mô tả tính liên tục cho các định luật vật lý dựa vào việc đặt câu hỏi một cách toán học: liên tục là gì, như thế nào?

Chúng ta phải tìm kiếm một giả định liên tục theo một cách trừu tượng hơn. Ý tưởng thông thường là xác định trạng thái của urn là một hàm từ tập hợp các quả bóng thành . 0 có nghĩa là vắng mặt, 1 có nghĩa là hiện tại. Và để xác định tính liên tục, chúng tôi sử dụng cấu trúc liên kết sản phẩm, hay còn gọi là hội tụ theo chiều. Chúng tôi nói rằng trạng thái vào buổi trưa, là giới hạn của các trạng thái trước buổi trưa theo cấu trúc liên kết này. Với cấu trúc liên kết này, có một giới hạn và nó là 0: một chiếc bình rỗng.$\{0;1\}$

Nhưng bây giờ chúng tôi sửa đổi vấn đề một chút để thách thức cấu trúc liên kết này:

• Khoảnh khắc 1: đưa bóng 1 vào bình
• Khoảnh khắc 2: xóa nó
• Khoảnh khắc 3: đưa bóng 1 vào bình
• Khoảnh khắc 4: loại bỏ nó
• Khoảnh khắc 5: đưa bóng 1 vào bình
• ...

Đối với cùng một cấu trúc liên kết, chuỗi các trạng thái không có giới hạn. Đó là nơi tôi bắt đầu thấy nghịch lý là một nghịch lý thực sự. Đối với tôi vấn đề sửa đổi này về cơ bản là giống nhau. Hãy tưởng tượng bạn là chiếc bình. Bạn thấy những quả bóng đến và đi. Nếu bạn không thể đọc số trên đó, cho dù đó là cùng một quả bóng hay một quả bóng khác không thay đổi những gì đang xảy ra với bạn. Thay vì xem các quả bóng là các yếu tố riêng biệt, bạn xem chúng như một lượng vật chất ra vào. Tính liên tục tự nhiên có thể được xác định bằng cách xem xét các biến thể của số lượng vật chất. Và thực sự không có giới hạn. Theo một cách nào đó, vấn đề này giống như vấn đề ban đầu khi bạn quyết định bỏ qua nhận dạng bóng, do đó dẫn đến một số liệu khác nhau và một khái niệm khác về sự hội tụ. Và ngay cả khi bạn có thể nhìn thấy số trên các quả bóng,

Trong một trường hợp, giới hạn của chuỗi trạng thái của bạn là "trống", trong trường hợp khác, giới hạn không được xác định.

Việc chính thức hóa vấn đề với cấu trúc liên kết sản phẩm về cơ bản dựa vào việc tách biệt những gì xảy ra với từng quả bóng khác nhau, và do đó tạo ra một số liệu phản ánh "phân biệt". Chỉ vì sự tách biệt này, một giới hạn có thể được xác định. Thực tế là sự tách biệt này rất cơ bản cho câu trả lời nhưng không phải là cơ bản để mô tả "chuyện gì đang xảy ra" trong bình (một điểm không thể tranh cãi), khiến tôi nghĩ rằng giải pháp là hệ quả của một quy ước chứ không phải là một sự thật cơ bản.

Đối với tôi, vấn đề, khi được coi là hoàn toàn trừu tượng có một giải pháp miễn là thông tin còn thiếu được cung cấp: rằng trạng thái vào buổi trưa là giới hạn của các trạng thái trước đó và giới hạn theo nghĩa nào. Tuy nhiên, khi nghĩ về vấn đề này bằng trực giác, giới hạn của chuỗi trạng thái không phải là điều bạn có thể nghĩ theo một cách duy nhất. Về cơ bản, tôi nghĩ không có cách nào để trả lời.

Tôi muốn thực hiện một phép cải cách dễ dàng nhất có thể để làm cho câu trả lời bằng 0 trực quan hơn, bắt đầu từ ví dụ đơn giản rằng các quả bóng không bị loại bỏ ngẫu nhiên, nhưng bóng được loại bỏ ở bước thứ .$n$$n$

Xem xét điều này: Tôi đặt tất cả các quả bóng vào bình lúc đầu. Ở bước 1, tôi lấy bóng ra 1. Ở bước 2, tôi lấy ra bóng 2, vân vân. Bất kỳ nghi ngờ rằng chiếc bình sẽ trống rỗng sau các bước vô hạn?

Được chứ. Nhưng nếu ban đầu tôi không đặt tất cả các quả bóng vào trong bình, nhưng chỉ có một số quả bóng, thì cuối cùng thì cái bình có thể đầy hơn không?

Mục đích của bài này là để tranh luận cho lựa chọn cuối cùng của OP rằng chúng ta cần một công thức tốt hơn. Hoặc ít nhất, bằng chứng Ross không rõ ràng như lúc đầu, và chắc chắn, bằng chứng này không trực quan đến mức có thể tham gia khóa học giới thiệu về lý thuyết xác suất. Nó đòi hỏi nhiều lời giải thích cả trong việc tìm hiểu các khía cạnh nghịch lý, và một khi đã được giải thích rõ ràng tại những điểm mà bằng chứng của Ross vượt qua rất nhanh, khiến cho việc xem các tiên đề, định lý và giải thích ngầm mà chứng minh phụ thuộc rất khó.

Liên quan đến khía cạnh này, thật thú vị khi đọc những từ cuối cùng của Teun Koetsier trong "Didactiek đã gặp ai đó veel pingpongballen?"

Als we niet oppassen dan wordt het 'Nghịch lý một cửa sổ để nhầm lẫn'.

Đã dịch "Nếu chúng ta không quan tâm thì nó sẽ trở thành 'Nghịch lý một cửa sổ cho sự nhầm lẫn'"

Dưới đây là một mô tả về các đối số "thông thường" có thể vượt qua trong các cuộc thảo luận về các nhiệm vụ, và cụ thể hơn là nghịch lý xác định Ross - Littlewood. Sau này, khi chúng ta gạt tất cả cuộc thảo luận này sang một bên, một quan điểm được đưa ra về trường hợp đặc biệt của nghịch lý xác suất Ross-Littlewood khi cung cấp các yếu tố bổ sung , tuy nhiên bị lạc và khó hiểu trong bối cảnh rộng hơn với các nhiệm vụ.

Ba trường hợp xác định và thảo luận về các nhiệm vụ

Nghịch lý Ross-Littlewood biết nhiều kết quả khác nhau tùy thuộc vào cách các quả bóng được di chuyển từ chiếc bình. Để điều tra những điều này, hãy khởi động bằng cách sử dụng mô tả vấn đề chính xác như Littlewood mô tả là vấn đề thứ 5 trong bản thảo năm 1953 của ông

Phiên bản 1 Bộ bóng còn lại trong bình còn trống

Nghịch lý Ross-Littlewood, hay nghịch lý Littlewood-Ross, lần đầu tiên xuất hiện như là vấn đề thứ 5 trong bản thảo năm 1953 của Littlewood "một nhà toán học sai lầm"

Một nghịch lý vô cùng. Các quả bóng được đánh số 1, 2, ... (hoặc cho một nhà toán học, chính các số đó) được đặt vào một hộp như sau. Vào lúc 1 phút đến trưa, các số từ 1 đến 10 được đưa vào và số 1 được lấy ra. Vào lúc 1/2 phút đến trưa, số 11 đến 20 được đưa vào và số 2 được lấy ra và cứ thế. Có bao nhiêu trong hộp vào buổi trưa?

Littlewood nói ngắn gọn về vấn đề này, nhưng đưa ra một đại diện tốt đẹp như tập hợp các điểm:

$P_{1} + P_{2}+ ... + P_{10} - P_1 + P_{11} + ... + P_{20} - P_2 + ...$

mà nó dễ dàng nhận thấy rằng nó là 'null'.

Phiên bản 2 Tập hợp các quả bóng còn lại trong chiếc bình có kích thước vô hạn

Ross (1976) thêm hai phiên bản nữa cho nghịch lý này. Đầu tiên chúng ta nhìn vào phần bổ sung đầu tiên:

Giả sử rằng chúng ta sở hữu một chiếc bình lớn vô hạn và một bộ sưu tập vô hạn các quả bóng được dán nhãn bóng số 1, số 2, số 3, v.v. Hãy xem xét một thí nghiệm được thực hiện như sau: Vào lúc 1 phút đến 12 giờ tối, các quả bóng được đánh số từ 1 đến 10 được đặt trong bình và quả bóng số 10 được rút ra. (Giả sử rằng việc rút tiền không mất thời gian.) Vào lúc 12 phút đến 12 giờ tối, các quả bóng được đánh số từ 11 đến 20 được đặt trong bình và quả bóng số 20 được rút. Vào lúc 14 phút đến 12 giờ tối, các quả bóng được đánh số từ 21 đến 30 được đặt trong bình và quả bóng số 30 được rút ra. Lúc 18 phút đến 12 giờ tối, vân vân. Câu hỏi quan tâm là, có bao nhiêu quả bóng trong bình lúc 12 giờ tối?

Rõ ràng câu trả lời là vô cùng vì quy trình này để lại tất cả các quả bóng có số trong bình, rất nhiều.$x \mod 10 \neq 0$

Trước khi chúng tôi chuyển sang bổ sung thứ hai của Ross, bao gồm xác suất, chúng tôi chuyển sang trường hợp khác.

Phiên bản 3 Tập hợp các quả bóng còn lại trong bình là một tập hợp hữu hạn có kích thước tùy ý

Chiếc bình có thể có bất kỳ số lượng bóng vào lúc 12 giờ đêm tùy thuộc vào thủ tục thay thế các quả bóng. Biến thể này đã được mô tả trong Tymoczko và Henle (1995) là vấn đề bóng tennis.

Tom ở trong một cái hộp lớn, trống rỗng, ngoại trừ chính mình. Jim đang đứng ngoài hộp với vô số quả bóng tennis (được đánh số 1, 2, 3, ....). Jim ném quả bóng 1 và 2 vào hộp. Tom nhặt một quả bóng tennis và ném nó ra ngoài. Tiếp theo Jim ném vào bóng 3 và 4. Tom nhặt một quả bóng và ném nó ra. Tiếp theo Jim ném vào quả bóng 5 và 6. Tom nhặt một quả bóng và ném nó ra. Quá trình này diễn ra vô số lần cho đến khi Jim ném tất cả các quả bóng vào. Một lần nữa, chúng tôi yêu cầu bạn chấp nhận hoàn thành vô số nhiệm vụ trong một khoảng thời gian hữu hạn. Đây là câu hỏi: Có bao nhiêu quả bóng trong hộp với Tom khi hành động kết thúc?

Câu trả lời có phần đáng lo ngại: Nó phụ thuộc. Không đủ thông tin đã được đưa ra để trả lời câu hỏi. Có thể có vô số bóng còn lại, hoặc có thể không có.

Trong ví dụ trong sách giáo khoa họ tranh luận về hai trường hợp, vô hạn hoặc hữu hạn (Tymoczko và Henle, để lại trường hợp trung gian như một bài tập), tuy nhiên vấn đề được đưa ra thêm trong một số bài báo trong đó vấn đề được khái quát hóa để chúng ta có thể nhận được bất kỳ số nào tùy thuộc vào thủ tục theo sau.

Đặc biệt thú vị là các bài viết về các khía cạnh kết hợp của vấn đề (tuy nhiên, trọng tâm là, không phải về các khía cạnh ở vô cực). Ví dụ, đếm số lượng bộ có thể có mà chúng ta có thể có bất cứ lúc nào. Trong trường hợp thêm 2 quả bóng và loại bỏ 1 mỗi bước, kết quả rất đơn giản và có số lượng tập hợp có thể có trong bước thứ n là số số n + 1-th. Ví dụ: 2 possibilties {1}, {2} trong bước đầu tiên, 5 khả năng {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} và {3,4} trong bước thứ hai, 14 trong thứ ba, 42 trong thứ tư , vân vân (xem Merlin, Sprugnoli và Verri 2002, Vấn đề bóng tennis ). Kết quả này đã được tổng quát thành các số khác nhau của các bóng thêm và trừ nhưng điều này đi quá xa cho bài viết này bây giờ.

Các đối số dựa trên khái niệm về các nhiệm vụ

Trước khi đi đến lý thuyết xác suất, nhiều lập luận đã có thể được đưa ra đối với các trường hợp xác định và khả năng hoàn thành supertask. Ngoài ra, người ta có thể đặt câu hỏi liệu điều trị lý thuyết tập hợp có phải là một biểu diễn hợp lệ của biểu diễn động học của supertask không. Tôi không muốn tranh luận liệu những lập luận này là tốt hay xấu. Tôi đề cập đến chúng để làm nổi bật rằng trường hợp xác suất có thể tương phản với các đối số 'supertask' này và có thể được xem là có chứa các phần tử bổ sung không liên quan gì đến các siêu nhiệm vụ. Trường hợp xác suất có một yếu tố duy nhất và riêng biệt (lý luận với lý thuyết xác suất) không được chứng minh hoặc bác bỏ bằng cách lập luận chống lại hoặc cho trường hợp của các nhiệm vụ.

• Đối số liên tục : Những đối số này thường mang tính khái niệm nhiều hơn. Chẳng hạn, ý tưởng rằng các siêu tàu không thể kết thúc như Aksakal và Joshua tranh luận trong câu trả lời của họ, và một minh chứng rõ ràng cho những khái niệm này là đèn của Thomson , trong trường hợp nghịch lý Ross Littlewood sẽ giống như hỏi, đã bị loại bỏ lần cuối số lẻ hay chẵn?

• Các đối số vật lý: Cũng tồn tại các đối số thách thức việc xây dựng toán học có liên quan đến việc thực hiện vật lý của vấn đề. Chúng ta có thể có một cách xử lý toán học nghiêm ngặt cho một vấn đề, nhưng một câu hỏi vẫn là liệu điều này có thực sự mang lại sự thực thi cơ học cho nhiệm vụ hay không (vượt ra ngoài các khái niệm đơn giản như phá vỡ các rào cản nhất định của thế giới vật lý như giới hạn tốc độ hoặc yêu cầu năng lượng / không gian) .

  • Một lập luận có thể là giới hạn lý thuyết tập hợp là một khái niệm toán học không nhất thiết mô tả thực tế vật lý

    Ví dụ, hãy xem xét vấn đề khác nhau sau đây: Chiếc bình có một quả bóng bên trong mà chúng ta không di chuyển. Mỗi bước chúng ta xóa số trước đó được ghi trên quả bóng và viết lại một số mới, thấp hơn, trên đó. Chiếc bình sẽ trống sau vô số bước? Trong trường hợp này có vẻ hơi vô lý hơn khi sử dụng giới hạn lý thuyết tập hợp, đó là tập hợp trống. Giới hạn này là tốt đẹp như một lý luận toán học, nhưng nó đại diện cho bản chất vật lý của vấn đề? Nếu chúng ta cho phép các quả bóng biến mất khỏi bình vì lý do toán học trừu tượng (mà, có lẽ nên được coi là một vấn đề khác ) thì chúng ta có thể làm cho toàn bộ chiếc bình biến mất không?

  • Ngoài ra, sự khác biệt của các quả bóng và gán cho chúng một thứ tự có vẻ "phi vật lý" (nó có liên quan đến việc xử lý toán học của các bộ, nhưng các quả bóng trong chiếc bình có hoạt động giống như các bộ đó không?). Nếu chúng ta sắp xếp lại các quả bóng ở mỗi bước (ví dụ: mỗi bước sẽ chuyển ngẫu nhiên một quả bóng từ đống bị loại bỏ với một quả bóng từ đống bóng vô hạn còn lại), do đó, quên đánh số dựa trên khi chúng vào bình hoặc số chúng nhận được ngay từ đầu, sau đó các đối số dựa trên các giới hạn lý thuyết tập hợp sẽ không còn ý nghĩa nữa vì các tập hợp không hội tụ (không có giải pháp ổn định nào khi một quả bóng đã bị loại bỏ khỏi bình, nó có thể quay trở lại).

    Từ quan điểm thực hiện các nhiệm vụ vật lý của việc đổ đầy và làm trống bình, có vẻ như không quan trọng việc chúng ta có số trên các quả bóng hay không. Điều này làm cho lý luận tập hợp giống như một suy nghĩ toán học về các tập hợp vô hạn hơn là quá trình thực tế.

Dù sao, nếu chúng ta khăng khăng sử dụng những nghịch lý vô hạn này cho mục đích giáo huấn, và do đó, trước khi chúng ta đi đến lý thuyết xác suất, trước tiên chúng ta cần đấu tranh để có được một ý tưởng chấp nhận được (nhất định) được chấp nhận bởi những kẻ đa nghi / bướng bỉnh nhất các nhà tư tưởng, sau đó có thể thú vị khi sử dụng sự tương ứng giữa nghịch lý của Zeno và nghịch lý Ross - Littlewood được mô tả bởi Allis và Koetsier (1995) và được mô tả ngắn gọn dưới đây.

Tương tự như vậy, Achilles đang cố đuổi kịp con rùa trong khi cả hai đều cắm cờ được đặt theo cách như vậy, với khoảng cách sao cho khoảng cách của Achilles với cờ gấp đôi khoảng cách của rùa với cờ , cụ thể là . Sau đó đến 12 giờ đêm. sự khác biệt trong những lá cờ mà rùa và Achilles sẽ có trong quá khứ đang tăng lên . Nhưng, cuối cùng , vào lúc 12 giờ đêm, không ai ngoại trừ Eleatics sẽ tranh luận rằng họ Achilles và con rùa đã đạt đến cùng một điểm và (do đó) không có cờ nào ở giữa chúng.

$$F(n)=2^{-10 \log n}$$ $n$$10n$$F(n) = 2 F(10n)$

Các trường hợp xác suất và làm thế nào nó thêm các khía cạnh mới cho vấn đề.

Phiên bản thứ hai được thêm bởi Ross (trong sách giáo khoa của anh ấy), loại bỏ các quả bóng dựa trên lựa chọn ngẫu nhiên

Bây giờ chúng ta hãy giả sử rằng bất cứ khi nào một quả bóng được rút, quả bóng đó được chọn ngẫu nhiên trong số những người có mặt. Đó là, giả sử rằng vào lúc 1 phút đến 12 giờ, các quả bóng được đánh số từ 1 đến 10 được đặt trong bình và một quả bóng được chọn và rút ngẫu nhiên, v.v. Trong trường hợp này, có bao nhiêu quả bóng trong bình lúc 12 giờ tối?

Giải pháp Ross là xác suất là 1 cho chiếc bình rỗng. Tuy nhiên, trong khi lập luận của Ross có vẻ hợp lý và nghiêm ngặt, người ta có thể tự hỏi loại tiên đề nào là cần thiết cho điều này và định lý nào được sử dụng có thể bị đặt dưới áp lực bởi các giả định ngầm có thể không được thiết lập trong các tiên đề đó (ví dụ như giả định rằng các sự kiện vào buổi trưa có thể được chỉ định xác suất).

Tính toán của Ross nói ngắn gọn là sự kết hợp của hai yếu tố phân chia sự kiện của một chiếc bình không rỗng thành nhiều tập hợp / sự kiện và chứng minh rằng với mỗi sự kiện này, xác suất bằng không:

1. Đối với, , sự kiện bóng số ra vào lúc 12 giờ tối, chúng ta có$F_i$$i$$P(F_1) = 0$

2. Đối với, , xác suất chiếc bình không trống vào lúc 12 giờ đêm$P(\bigcup_1^\infty F_i)$

   $P(\bigcup_1^\infty F_i) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$

Trường hợp xác suất của nghịch lý Ross-Littlewood, mà không cần lý do về các nhiệm vụ

Ở dạng nghịch lý trần trụi nhất, tước nó khỏi mọi vấn đề với hiệu suất của các nhiệm vụ, chúng ta có thể tự hỏi về vấn đề "đơn giản hơn" của việc trừ các tập hợp vô hạn. Chẳng hạn, trong ba phiên bản chúng tôi nhận được:

$$\begin{array} \\ S_{added} &= \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \rbrace + \lbrace10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,1} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,2} &= \lbrace 10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,3} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \setminus \lbrace a_1,a_2,a_3,... \text{ with } a_i \in \mathbb{N} \rbrace \end{array}$$

và vấn đề giảm xuống một phép trừ được đặt như .$S_{added}-S_{removed,1} = \emptyset$

Bất kỳ chuỗi vô hạn nào, , là một chuỗi (bằng nhau) có thể mô tả thứ tự các quả bóng có thể được loại bỏ trong việc thực hiện xác suất của Ross Vấn đề -Littlewood. Hãy gọi các chuỗi vô hạn RL-sequences.$S_{RL} =\lbrace a_k \text{ without repetitions and } a_k < 10k \rbrace$

Bây giờ, câu hỏi chung hơn, không có lý luận nghịch lý về các siêu nhiệm vụ, là về mật độ của các chuỗi RL không chứa toàn bộ tập$\mathbb{N}$

Một cái nhìn đồ họa của vấn đề.

lồng nhau, fractal, cấu trúc

Trước phiên bản chỉnh sửa của câu trả lời này, tôi đã đưa ra một lập luận sử dụng sự tồn tại của bản đồ tiêm chích từ 'các chuỗi vô hạn làm trống urn' thành 'các chuỗi vô hạn không chứa số 1'.

Đó không phải là một đối số hợp lệ. So sánh ví dụ với mật độ của tập hợp các hình vuông. Có vô số hình vuông (và có mối quan hệ và ), tuy nhiên tập hợp các hình vuông có mật độ bằng 0 trong .$n \mapsto n^2$$n^2 \mapsto n$$\mathbb{N}$

Hình ảnh bên dưới tạo ra một cái nhìn tốt hơn như thế nào, với mỗi bước thêm, xác suất bóng 1 trong chiếc bình bị giảm (và chúng ta có thể tranh luận tương tự cho tất cả các quả bóng khác). Mặc dù phần chính của tập hợp con của tất cả các chuỗi RL (chuỗi của các quả bóng bị dịch chuyển) bằng với số lượng của tất cả các chuỗi RL (hình ảnh hiển thị một loại cấu trúc fractal và cây chứa vô số bản sao của nó).

tăng trưởng không gian mẫu, số lượng đường dẫn

Hình ảnh cho thấy tất cả các nhận thức có thể có trong năm bước đầu tiên, với sơ đồ cho vấn đề bóng tennis (vấn đề bóng tennis, mỗi bước: thêm 2 loại bỏ 1, phát triển nhanh hơn và dễ hiển thị hơn). Các đường màu ngọc lam và màu tím hiển thị tất cả các đường dẫn có thể mở ra (hãy tưởng tượng ở mỗi bước chúng ta sẽ ném một viên xí ngầu có kích thước và dựa trên kết quả của nó, chúng ta chọn một trong các đường dẫn , hay nói cách khác dựa trên kết quả chúng tôi loại bỏ một trong những quả bóng trong bình).$n$$n+1$$n+1$$n+1$

Số lượng các thành phần urn có thể (các hộp) tăng lên khi số Catalan thứ và tổng số đường dẫn tăng theo giai thừa. Đối với trường hợp các chế phẩm bình có bóng số 1 bên trong (màu xám đậm) và các đường dẫn đến các ô này (màu tím), các số mở ra giống hệt nhau tuy nhiên lần này là số n-th và tố.$C_{n+1}$$(n+1)!$$n!$

mật độ của các đường dẫn để lại bóng bên trong$n$

Vì vậy, đối với các đường dẫn đến một quả bóng có quả bóng số 1 bên trong, mật độ là Và giảm khi trở nên lớn hơn. Mặc dù có nhiều nhận thức dẫn đến việc tìm thấy bóng số trong hộp, xác suất gần bằng 0 (tôi cho rằng điều này không làm được, nhưng gần như chắc chắn không xảy ra, và mẹo chính trong lập luận của Ross là sự kết hợp của nhiều sự kiện null cũng là một sự kiện null).$\frac{(n)!}{(n+1)!}$$n$$n$

Ví dụ về các đường dẫn cho năm bước đầu tiên trong bài toán bóng tennis (mỗi bước: thêm 2 xóa 1)

Lập luận của Ross cho một chiếc bình chắc chắn trống rỗng.

Ross định nghĩa các sự kiện (tập hợp con của không gian mẫu), , rằng một quả bóng được đánh số nằm trong bình ở bước . (trong sách giáo khoa của mình, anh ta thực sự bỏ ra chỉ số và lập luận cho bóng 1).$E_{in}$$i$$n$$i$

Bằng chứng bước 1)

Ross sử dụng mệnh đề 6.1 của mình. để tăng hoặc giảm chuỗi sự kiện (ví dụ: giảm tương đương với ).$E_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset E_4 \supset ...$

Mệnh đề 6.1: Nếu là một chuỗi các sự kiện tăng hoặc giảm, thì$\lbrace E_n, n\geq 1 \rbrace$

$$\lim_{n \to \infty} P(E_n) = P(\lim_{n \to \infty} E_n)$$

Sử dụng mệnh đề này Ross tuyên bố rằng xác suất quan sát bóng lúc 12 giờ đêm (đó là sự kiện ) bằng$i$$lim_{n \to \infty} E_{in}$

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in})$$

Allis và Koetsier cho rằng đây là một trong những giả định ngầm. Supertask của nó không (về mặt logic) ngụ ý những gì xảy ra vào lúc 12 giờ đêm và các giải pháp cho vấn đề phải đưa ra các giả định ngầm, trong trường hợp này chúng ta có thể sử dụng nguyên tắc liên tục trên tập hợp các quả bóng bên trong quả bóng để nói lên điều gì xảy ra ở vô cực. Nếu giới hạn (lý thuyết tập hợp) ở vô cực là một giá trị cụ thể, thì ở vô cực chúng ta sẽ có giá trị cụ thể đó (không thể có bước nhảy đột ngột).

Một biến thể thú vị của nghịch lý Ross-Littlewood là khi chúng ta cũng trả lại ngẫu nhiên những quả bóng đã bị loại bỏ trước đó. Trong đó sẽ không có sự hội tụ (như đèn của Thomson) và chúng ta không thể dễ dàng xác định giới hạn của các chuỗi (không giảm nữa).$E_{in}$

Bằng chứng bước 2)

Giới hạn được tính toán. Đây là một bước đại số đơn giản.

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in}) = \prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = 0$$

Bằng chứng bước 3)

Có ý kiến ​​cho rằng bước 1 và 2 hoạt động cho tất cả bằng một câu lệnh đơn giản$i$

"Tương tự, chúng tôi có thể chỉ ra rằng cho tất cả "$P(F_i)=0$$i$

Trong đó là sự kiện mà quả bóng đã được đưa ra khỏi chiếc bình khi chúng tôi đã đến 12 giờ đêm$F_i$$i$

Mặc dù điều này có thể đúng, chúng tôi có thể tự hỏi về biểu thức sản phẩm có chỉ số thấp hơn hiện tại là vô cùng:

$$lim_{i \to \infty}(lim_{n \to \infty} P (E_{in})) = lim_{i \to \infty}\prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = ... ?$$

Tôi không có quá nhiều điều để nói về nó ngoại trừ việc tôi hy vọng rằng ai đó có thể giải thích cho tôi liệu nó có hoạt động không.

Cũng rất tốt để có được các ví dụ trực quan tốt hơn về khái niệm rằng các chuỗi giảm , được yêu cầu cho mệnh đề 6.1, không thể tất cả bắt đầu với chỉ số số bước, , bằng 1. Chỉ số này sẽ tăng lên vô cùng (không chỉ là số bước trở thành vô hạn, mà còn là lựa chọn ngẫu nhiên của quả bóng bị loại bỏ trở thành vô hạn và số lượng bóng mà chúng ta quan sát giới hạn trở thành vô hạn). Mặc dù kỹ thuật này có thể được khắc phục (và có thể đã được thực hiện trong các câu trả lời khác, dù là ngầm hay rõ ràng), một lời giải thích kỹ lưỡng và trực quan có thể rất hữu ích.$E_{in}, E_{in+1}, E_{in+2}, ...$$n$

Trong bước 3 này, nó trở nên khá kỹ thuật, trong khi Ross rất ngắn về nó. Ross giả định sự tồn tại của một không gian xác suất (hoặc ít nhất là không rõ ràng về nó) trong đó chúng ta có thể áp dụng các hoạt động này ở vô cực, giống như cách chúng ta có thể áp dụng các hoạt động trong không gian con hữu hạn.

Câu trả lời của ekvall cung cấp một cấu trúc, sử dụng định lý mở rộng do Ionescu-Tulcea , dẫn đến một không gian sản phẩm vô hạn trong đó chúng ta có thể biểu thị các sự kiện bằng tích vô hạn của các hạt xác suất, dẫn đến .$\sum_{k=0}^\infty \Omega_i \bigotimes_{k=0}^\infty \mathcal{A}_i$$P(E_i)$$P=0$

Tuy nhiên nó không được đánh vần theo nghĩa trực quan. Làm thế nào chúng ta có thể hiển thị trực quan rằng không gian sự kiện hoạt động? Đó là phần bổ sung là tập hợp rỗng (và không phải là số 1 với nhiều số không, chẳng hạn như giải pháp trong phiên bản điều chỉnh của bài toán Ross-Littlewood của Allis và Koetsier) và đó có phải là không gian xác suất không?$E_{i}$

Bằng chứng bước 4)

Bất đẳng thức của Boole được sử dụng để hoàn thiện bằng chứng.

$$P\left( \bigcup_1^\infty F_i \right) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$$

Sự bất bình đẳng được chứng minh cho các tập hợp các sự kiện là hữu hạn hoặc vô hạn có thể đếm được. Điều này đúng với người .$F_i$

Bằng chứng này của Ross không phải là một bằng chứng theo nghĩa lập hiến. Thay vì chứng minh rằng xác suất gần như là 1 cho chiếc bình rỗng vào lúc 12 giờ đêm, điều đó chứng tỏ rằng xác suất gần như bằng 0 cho chiếc bình chứa đầy bất kỳ quả bóng nào có số hữu hạn trên đó.

Hồi ức

Nghịch lý Ross-Littlewood xác định chứa rõ ràng tập hợp trống (đây là cách bài đăng này bắt đầu). Điều này làm cho ít ngạc nhiên hơn khi phiên bản xác suất kết thúc với tập hợp trống và kết quả (dù có đúng hay không) không nghịch lý hơn nhiều so với các phiên bản RL không có xác suất. Một thử nghiệm suy nghĩ thú vị là phiên bản sau của vấn đề RL:

• Hãy tưởng tượng bắt đầu với một chiếc bình chứa đầy vô số quả bóng và bắt đầu loại bỏ ngẫu nhiên những quả bóng từ nó. Supertask này, nếu nó kết thúc, phải làm trống một cách hợp lý chiếc bình. Vì, nếu nó không trống, chúng tôi có thể tiếp tục. (Tuy nhiên, thí nghiệm suy nghĩ này đã kéo dài khái niệm về một supertask và có một kết thúc mơ hồ được xác định. Có phải khi chiếc bình rỗng hoặc khi chúng ta đạt đến 12 giờ đêm?)

Có điều gì đó không thỏa mãn về kỹ thuật chứng minh của Ross, hoặc ít nhất là một số trực giác và giải thích tốt hơn với các ví dụ khác có thể cần thiết để có thể đánh giá đầy đủ vẻ đẹp của bằng chứng. Cả 4 bước cùng nhau tạo thành một cơ chế có thể khái quát hóa và có thể áp dụng để tạo ra nhiều nghịch lý khác (Mặc dù tôi đã thử nhưng tôi đã không thành công).

Chúng ta có thể tạo ra một định lý sao cho bất kỳ không gian mẫu thích hợp nào khác tăng kích thước về vô cực (không gian mẫu của bài toán RL có ). Nếu chúng ta có thể định nghĩa một tập hợp các sự kiện có thể đếm được là một chuỗi giảm dần có giới hạn 0 khi bước tăng, thì xác suất của sự kiện đó là sự kết hợp của các sự kiện đó bằng không khi chúng ta tiến đến vô cùng. Nếu chúng ta có thể biến liên kết của các sự kiện thành toàn bộ không gian (trong ví dụ RL, chiếc bình rỗng không được bao gồm trong liên minh có xác suất bằng 0, do đó không có nghịch lý nghiêm trọng nào xảy ra) thì chúng ta có thể tạo ra một nghịch lý nghiêm trọng hơn thách thức tính nhất quán của các tiên đề kết hợp với suy luận xuyên.$card(2^\mathbb{N})$$E_{ij}$$j$

• Một ví dụ như vậy (hoặc một nỗ lực để tạo ra) là việc thường xuyên chia bánh mì thành các phần nhỏ hơn (để đáp ứng các điều kiện toán học, giả sử chúng ta chỉ chia thành các phần có kích thước của một số hữu tỷ dương). Trong ví dụ này, chúng ta có thể định nghĩa các sự kiện (ở bước x chúng ta có một phần kích thước x), đó là các chuỗi giảm dần và giới hạn xác suất cho các sự kiện giảm về 0 (tương tự như nghịch lý RL, các chuỗi giảm chỉ xảy ra thêm và hơn nữa trong thời gian, và có sự hội tụ theo chiều nhưng không và đồng nhất).

  Chúng ta sẽ phải kết luận rằng khi chúng ta hoàn thành chiếc supertask này thì bánh mì đã biến mất . Chúng ta có thể đi vào các hướng khác nhau ở đây. 1) Chúng ta có thể nói rằng giải pháp là tập hợp trống (mặc dù giải pháp này ít dễ chịu hơn so với nghịch lý RL, vì tập hợp trống không phải là một phần của không gian mẫu) 2) Chúng ta có thể nói có vô số phần không xác định ( ví dụ: kích thước nhỏ vô hạn) 3) hoặc có thể chúng ta sẽ phải kết luận (sau khi thực hiện bằng chứng của Ross và tìm thấy sản phẩm nào) rằng đây không phải là một siêu tàu có thể hoàn thành? Rằng khái niệm hoàn thiện một chiếc supertask như vậy có thể được tạo ra nhưng không nhất thiết phải "tồn tại" (một loại nghịch lý của Russell).

---

Một trích dẫn từ Besicovitch được in bằng chữ sai của Littlewood:

"Danh tiếng của một nhà toán học dựa trên số lượng bằng chứng xấu mà anh ta đã đưa ra".

---

Allis, V., Koetsier, T. (1995), Về một số nghịch lý của Vô hạn II , Tạp chí Triết học Khoa học Anh , trang 235-247

Koetsier, T. (2012), Didactiek đã gặp oneindig veel pingpongballen, Nieuw Archief voor Wiskunde , 5/13 nr4, trang 258-261 ( bản gốc tiếng Hà Lan , có thể dịch qua google và các phương pháp khác)

Littlewood, JE (1953), Miscellany của nhà toán học , trang 5 ( liên kết miễn phí qua archive.org )

Merlin, D., Sprugnoli, R. và Verri MC (2002), Vấn đề bóng tennis , Tạp chí Lý thuyết kết hợp , trang 307-344

Ross, SM (1976), Một khóa học đầu tiên về xác suất , (phần 2.7)

Tymoczko, T. và Henle, J. (bản gốc năm 1995) ( Tài liệu tham khảo phiên bản 2 năm 1999 trên google ), Sweet Reason: hướng dẫn trường về logic hiện đại

OK, tôi sẽ thử lại.

Câu trả lời là nghịch lý hoàn toàn là toán học. Câu trả lời của Enumaris và cmaster cho biết điều gì đang xảy ra theo một cách, nhưng đây là một cách khác để nhìn nhận vấn đề. Vấn đề là làm thế nào chúng ta đối phó với xác suất với vô số, như Jaynes đã viết (xem câu trả lời cố gắng khác của tôi để biết chi tiết).

Một chuỗi vô hạn thường được xử lý như thể nó không có kết thúc, nhưng trong vấn đề này có thời gian kết thúc (12pm) và do đó, về mặt logic, ngay cả khi không phải là toán học, có một chu kỳ bổ sung và loại bỏ bóng cuối cùng: đó là điều xảy ra vô hạn trước 12 giờ tối. Sự tồn tại của chu kỳ 'cuối cùng' cho phép chúng ta xem xét các xác suất ngược cũng như chuyển tiếp theo thời gian.

Hãy xem xét mười quả bóng cuối cùng được thêm vào. Đối với mỗi người trong số họ xác suất bị loại bỏ là 0 bởi vì mỗi người chỉ là một trong những quả bóng vô cực có thể bị loại bỏ. Do đó, xác suất sẽ có ít nhất mười quả bóng còn lại vào lúc 12 giờ tối là sự thống nhất.

QED. Một lập luận xác suất không dẫn đến vô nghĩa.

Gần đây, một số ý kiến ​​của Wilhelm, Wolfgang Mückenheim, khiến tôi phải xem xét lại các công thức nhất định trong câu trả lời của mình. Tôi đăng bài này như một câu trả lời mới chủ yếu vì cách tiếp cận khác nhau của câu trả lời này, không tranh luận về việc giảng dạy vấn đề này, mà thay vào đó là về nghịch lý không hợp lệ.

Wilhelm thảo luận trong bản thảo dài của mình rằng

Giao dịch chỉ có thể thực hiện ở các bước hữu hạn (không có hành động nào khả thi "giữa tất cả và ").$n$$n$$\omega$

Điều này nhắc nhở tôi về thuật ngữ

$$\sum_{k=1}^\infty \prod_{n=k}^\infty \left( \frac{9n}{9n+1} \right)$$

bắt nguồn từ công việc của Ross. Thuật ngữ này không xác định khi đường dẫn đến vô cực không được xác định cho giới hạn sau.

$$\lim_\limits{(l,m)\to(\infty,\infty)}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^m\left(\frac{9n}{9n+1}\right)$$

Điều này có vẻ giống với điểm mà Wilhelm thảo luận và cũng được đề cập trong câu trả lời của aksakal. Các bước trong thời gian trở nên vô cùng nhỏ, vì vậy chúng tôi sẽ có thể đạt được 12 giờ đêm theo nghĩa đó, nhưng đồng thời chúng tôi sẽ cần phải thêm và loại bỏ một số lượng bóng vô cực (phi vật lý). Việc gắn chiếc supertask này vào một quy trình như mũi tên của Zeno là một ý tưởng sai lầm, giống như công tắc của chiếc đèn nghịch lý của Thompson không thể có một vị trí xác định ở cuối chiếc supertask.

Xét về giới hạn chúng ta có thể nói rằng con đường vật lý đến vô cùng mà chúng ta đi là

$$\lim_\limits{l\to \infty}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^l\left(\frac{9n}{9n+1}\right) = \lim_\limits{l\to \infty} \frac{9l}{10}$$

vì vậy không phải không nhưng vô hạn.

Tôi tin rằng ví dụ này hỗ trợ "nếu tiền đề là sai thì điều kiện là đúng"

Trong vũ trụ này, không có chiếc bình vô hạn và không có bộ sưu tập bóng vô hạn. Không thể phân chia thời gian thành các phần nhỏ tùy ý.

Do đó, Sheldon Ross đã đúng khi nói rằng chiếc bình rỗng lúc 12:00. Những sinh viên nói rằng chiếc bình có những quả bóng vô hạn vào lúc 12:00 là hoàn toàn đúng.

Nếu bạn trả lời chiếc bình có 50 quả bóng thì bạn cũng đúng.

Tôi đã không chứng minh một cách nghiêm túc rằng vũ trụ này không chứa những chiếc bình vô hạn và những quả bóng vô hạn và thời gian đó không phải là nguyên tử - tôi chỉ tin những điều đó. Nếu bạn tin rằng ba khẳng định đó là sai, thì bạn tin rằng vấn đề của Ross là sai lệch về mặt thực nghiệm. Tôi đang chờ kết quả thử nghiệm của bạn.

Tôi ủng hộ ý kiến ​​cho rằng vấn đề không được đặt ra. Khi chúng ta xem xét một cái gì đó vô hạn, chúng ta thường phải sử dụng một giới hạn. Dường như đây là cách duy nhất. Vì chúng tôi phân biệt các quả bóng khác nhau, chúng tôi có một quá trình vô hạn trong đó là viết tắt của thời gian, nếu có bóng tại thời điểm và nếu không.

$$(X_{t,1}, X_{t,2},...),$$ $t=-1,-1/2,-1/4,...$$X_{t,j}=1$$j$$t+0$$X_{t,j}=0$

Bây giờ, tùy ý mỗi người nên sử dụng hội tụ nào: thống nhất, thành phần, , v.v. Không cần phải nói, câu trả lời phụ thuộc vào sự lựa chọn.$l_p$

Sự hiểu lầm trong vấn đề này xuất phát từ việc bỏ qua thực tế rằng các vấn đề số liệu là rất quan trọng khi chúng ta xem xét sự hội tụ của các vectơ vô hạn. Không chọn loại hội tụ, không có câu trả lời đúng có thể được đưa ra.

(Có sự hội tụ thành phần theo vectơ không. Trong khi định mức đếm số lượng bóng, vì vậy trong định mức này, quá trình này đang bùng nổ.)$l_1$

Trực giác hơn giáo dục chính quy, nhưng:

Nếu khoảng thời gian đến nửa đêm là một nửa, chúng ta không bao giờ đến nửa đêm ... chúng ta chỉ tiếp cận một cách không có triệu chứng; vì vậy người ta có thể tranh luận rằng có là không có giải pháp.

Ngoài ra, tùy thuộc vào cụm từ:

• vì có vô số khoảng +10 quả bóng, câu trả lời là vô hạn
• vì có các khoảng vô hạn của (+10 quả bóng - 1) câu trả lời là 10 * vô hạn -1 * vô hạn = 0?
• vì có vô số khoảng (+9 quả bóng) +1 câu trả lời là vô hạn + 1

Viết lại: ngày 16 tháng 1 năm 2018

Mục 1: Đề cương

Các kết quả cơ bản bài này như sau:

• Quả bóng nửa chừng có xác suất khoảng còn lại trong giới hạn khi bước chuyển sang - đây vừa là quan sát thế giới thực vừa có nguồn gốc toán học. Hàm dẫn xuất có một miền của các tỷ lệ hợp lý trong . Ví dụ: xác suất trong giới hạn của bóng nửa đường còn lại tương ứng với giá trị miền . Hàm này có thể tính xác suất còn lại cho bất kỳ phần nào của kích thước bước.$0.91$$\infty$
  $(0,1]$$1/2$
• Phân tích của Ross không sai nhưng không đầy đủ vì nó cố gắng lặp lại các tỷ lệ hợp lý theo thứ tự độ lớn . Các tỷ lệ hợp lý không thể được lặp lại theo thứ tự độ lớn. Do đó, phân tích của Ross không thể truy cập vào toàn bộ miền và chỉ có thể đưa ra một cái nhìn hạn chế về toàn bộ hành vi.$\left(i,\infty\right), i=1..\infty$
  
• Tuy nhiên, phân tích của Ross không tính đến một hành vi cụ thể có thể quan sát được: trong giới hạn, không thể thực hiện được thông qua việc lặp lại nối tiếp từ 1 để đạt được bộ bóng đầu tiên còn lại.
• Trình tự giới hạn của Ross có một số tính chất thuyết phục tốt đẹp có vẻ độc đáo bằng trực giác.
  Tuy nhiên, chúng tôi hiển thị một tập hợp các chuỗi giới hạn khác thỏa mãn các thuộc tính đẹp tương tự và đưa ra các giá trị cho hàm của chúng tôi.

Phần 2 "Ký hiệu và thuật ngữ" bao gồm ký hiệu và thuật ngữ được sử dụng trong bài này.

Phần 3 "The Halfway Ballset" giới thiệu một quan sát thế giới thực - sự hội tụ trong giới hạn xác suất còn lại của một quả bóng có chỉ số là một nửa trong tất cả các quả bóng được chèn. Giá trị giới hạn này là khoảng 91%. Trường hợp của ballset nửa chừng được khái quát cho bất kỳ tỷ lệ hợp lý nào trong , tất cả đều có giá trị giới hạn khác không. $(0,1]$

Phần 4 "Giải quyết nghịch lý" trình bày một khung thống nhất bao gồm cả kết quả của Ross và kết quả 'miền hợp lý' (được mô tả trong tài liệu này). Như đã lưu ý, phân tích của Ross chỉ đưa ra một cái nhìn hạn chế về tổng hành vi. Do đó, nguồn gốc của nghịch lý được xác định và giải quyết.

Trong phần phụ lục, một số kết quả khác ít quan trọng hơn được thảo luận:

• "Kỳ vọng trong giới hạn" tính toán số lượng bóng dự kiến ​​còn lại lên đến và bao gồm bất kỳ phần nào của kích thước bước.
• Một hệ quả của kết quả này là xác định chỉ số của quả bóng đầu tiên có kỳ vọng còn lại lớn hơn một.

Phần 2: Ký hiệu và thuật ngữ

• Chúng tôi gắn nhãn các chỉ số bóng được chèn ở bước là và gọi đây là "ballset" thứ . Ballset là một từ, được tạo ra cho bài đăng này. Thuật ngữ này đáng tiếc đi lệch khỏi thuật ngữ của Ross, nhưng nó cũng làm cho văn bản rõ ràng và ngắn gọn hơn nhiều.$n$$\{n.1, n.2, n.3, ..... n.10\}$$n$
  
• Ký hiệu đề cập đến sự kiện bóng trong bộ bi vẫn ở bước , bỏ qua các quả bóng khác trong bộ bi.$E(a,b)$$a.1$$a$$b$
• Ký hiệu là tên viết tắt của và nó đề cập đến xác suất của . Lưu ý rằng tất cả các quả bóng trong ballset có cùng xác suất còn lại. - Giá trị của là .$P(a,b)$$P(E(a,b))$$E(a,b)$
  $a.i$$a$
  $P(E(a,b))$$\prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)}$
• Giới hạn Ross là xác suất khi đi đến vô cùng: -$P(a)$$P(a,b)$$b$
  $P_{lim1}(a) = \lim_{b\rightarrow\infty} P(a,b)$
• Giới hạn hợp lý được định nghĩa là giới hạn khi cả hai chỉ số bóng và bước đi đến vô cùng trong khi duy trì tỷ lệ không đổi: -$a$$b$$P_{lim2}(a,b) = \lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb)$

Phần 3: Ballset nửa chừng

Ở mỗi bước chẵn, ballset nửa chừng được định nghĩa là ballset thứ . Ở mỗi bước chẵn , xác suất nửa chừng còn lại được xác định là . Do đó, trong giới hạn là , do đó xác suất nửa chừng còn lại là . Định lý 1 dưới đây đưa ra một giá trị số cho xác suất nửa chừng còn lại.$2n$$n$$2n$$P(n,2n)$
$n\rightarrow\infty$$\lim_{n\rightarrow\infty} P(1*n,2*n)$

Định lý 1 - Giới hạn xác suất của các phần tử trong chuỗi miền bảo toàn tỷ lệ

$$\begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty} P(a*n,b*n) = (\frac{a}{b})^\frac{1}{9} \end{equation}$$ Các bằng chứng được đưa ra dưới đây ngay trước khi phụ lục.

Theo Định lý 1, xác suất nửa chừng còn lại trong giới hạn là ước tính giá trị thập phân xấp xỉ .$(\frac{1}{2})^\frac{1}{9}$$0.925875$

Kiểm tra vệ sinh Hãy thực hiện kiểm tra độ tỉnh táo để xem liệu giới hạn số cho xác suất nửa chừng có "đúng" hay không.

$$\begin{array}{|l|rcl|} \hline n & P(n/2,n) &=& \text{trunc decimal val} \\ \hline 1000 & P(500,1000) &=& 0.92572614082 \\ \hline 10000 & P(5000,10000) &=& 0.9258598528 \\ \hline 100000 & P(50000,100000) &=& 0.925873226 \\ \hline 1000000 & P(500000,1000000) &=& 0.92587456 \\ \hline \hline \infty & \lim_{n\rightarrow\infty} P(n,2n) &=& 0.925875 \\ \hline \end{array}$$

4 hàng đầu tiên là xác suất nửa chừng còn lại cho các giá trị số bước tương ứng là , , và . Hàng cuối cùng là giới hạn. Có vẻ như xác suất nửa chừng thực sự hội tụ đến giới hạn dự đoán. Quan sát thế giới thực này, không phù hợp với khuôn khổ của Ross, cần được giải thích. $10^3$$10^4$$10^5$$10^6$

** Phần 4 "Giải quyết nghịch lý" **

Phần này giải thích một khung thống nhất cho cả phân tích của Ross và phân tích miền hợp lý, bằng cách xem chúng cùng nhau, nghịch lý được giải quyết.

Giới hạn hợp lý có thể rút gọn thành một hàm từ số hữu tỷ thành số thực : trong đó và . Ở đây biểu thị ước số chung lớn nhất. Các câu lệnh tương đương là " và là lẫn nhau nguyên tố "và" là phần giảm của . $P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$(0,1]$

$$\begin{array}{rcl} P_{lim2}(a,b) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb) \\ &=& (\frac{a'}{b'})^\frac{1}{9} \end{array}$$ $gcd(a',b')=1$$\frac{a'}{b'} = \frac{a}{b}$$gcd()$$a'$$b'$$\frac{a'}{b'}$$\frac{a}{b}$

Giới hạn Ross có thể được viết dưới dạng giới hạn của một chuỗi các giới hạn hợp lý: Tuple không phải là thành viên của các tỷ lệ hợp lý trong ; nó thuộc về . Do đó, giới hạn Ross là đẳng cấu với hàm trên miền và hình ảnh của nó luôn là thực duy nhất .

$$\begin{array}{rclr} P_{lim1}(a) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(a,k) & \\ &=& lim_{i,k\rightarrow\infty} P(ka/i,kb) & \text{for some } b \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(a/i,b) & \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(0,b) & \end{array}$$ $(0,b)$$(0,1]$$[0,0]$$P_{lim2}(a,b)$$[0,0]$$0$

Giới hạn Ross và giới hạn hợp lý là cùng một chức năng trên hai miền tách rời và . Giới hạn Ross chỉ xem xét trường hợp các chỉ số ballset bị hạ cấp là vô cùng nhỏ so với cỡ bước chân. $[0,0]$$(0,1]$

Phân tích giới hạn Ross dự đoán rằng trong giới hạn, việc truy cập các giá trị tuần tự cho sẽ không bao giờ đạt đến giá trị khác không. Đây là một chính xác và tương ứng với quan sát thế giới thực.$P_{lim1}(i)$$i=1,2,...\infty$

Các phân tích giới hạn hợp lý chiếm các quan sát trong thế giới thực, chẳng hạn như ballset nửa chừng mà giới hạn Ross không tính đến. Hàm này giống nhưng miền là thay vì$P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$[0,0]$

Biểu đồ dưới đây mô tả cả trình tự giới hạn Ross và trình tự giới hạn hợp lý.

Có lẽ công bằng khi nói rằng phân tích của Ross bao gồm một giả định ngầm định rằng giới hạn Ross và miền của nó là toàn bộ miền quan tâm. Trực giác ngầm ẩn bên dưới giả định của Ross giống như do bốn điều kiện dưới đây ngay cả khi chúng không được công nhận rõ ràng:

Đặt là chuỗi giới hạn thứ . Đặt là liên kết của các chuỗi giới hạn Roth. $S_i = P(i,n), n=1,...,\infty$$i$$S = \cup_{i=(1...\infty)} S_i$

• (1) Các chuỗi khác nhau và mỗi chuỗi hội tụ.$S_i$
• (2) Liên hợp các yếu tố của tất cả các chuỗi bao gồm chính xác bộ tất cả các bộ (bóng, bước) sắp ra mắt:$S$$\{ (i,n)\ |\ i\leq n\ \land \ i,n\in Q \}$
• (3) Tất cả các chuỗi là vô hạn trong , chỉ số bước, vì vậy chúng không chấm dứt "sớm".$S_i$$n$
• (4) Các chuỗi tự tạo thành một siêu chuỗi . Do đó, siêu chuỗi có thể được "tạo" lặp đi lặp lại, i, e ,, chúng có thể đếm được.$S_i$$\{ S_i \}_{i_in (1...\infty) }$

Không rõ ràng ngay lập tức rằng một hệ thống trình tự giới hạn khác có thể thỏa mãn các điểm trên (1) - (4).

Tuy nhiên, bây giờ chúng ta sẽ thảo luận về một hệ thống các chuỗi giới hạn khác thực sự thỏa mãn các điểm trên (1) - (4).

Đặt , trong đó , biểu diễn chuỗi giới hạn hợp lý Đặt là các bộ nguyên tố chung của : = . Đặt là liên kết của các chuỗi giới hạn hợp lý đã nói: $S_{p,q}$$gcd(p,q)=1$

$$\begin{equation} S_{p,q} = \{ (kp,kq) \}_{k\in (1...\infty)} \end{equation}$$ $D^*$$D$$D^* =\{ (p,q)\in D \land gcd(p,q)=1 \}$$S^*$$S^* = \cup_{d\in D^*} S_{p,q}$

Rõ ràng các chuỗi có liên kết là thỏa mãn các tính chất trên (1) - (3). Các chỉ số chính xác là các tỷ lệ hợp lý trên . Để thỏa mãn điều kiện (4), chúng ta cần chỉ ra rằng các tỷ lệ hợp lý trên là có thể đếm được. $S_{p,q}$$S^*$
$(p,q)$$(0,1]$$(0,1]$

(Chuỗi Farey) 2 của thứ tự là chuỗi các phân số giảm hoàn toàn giữa 0 và 1 mà khi ở các số hạng thấp nhất có mẫu số nhỏ hơn hoặc bằng , được sắp xếp theo thứ tự tăng kích thước. Dưới đây là tám chuỗi Farey đầu tiên:$n$$n$

 F1 = {0/1,                                                                                                          1/1}
 F2 = {0/1,                                                   1/2,                                                   1/1}
 F3 = {0/1,                               1/3,                1/2,                2/3,                               1/1}
 F4 = {0/1,                     1/4,      1/3,                1/2,                2/3,      3/4,                     1/1}
 F5 = {0/1,                1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5,                1/1}
 F6 = {0/1,           1/6, 1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5, 5/6,           1/1}
 F7 = {0/1,      1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3,      2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5,      2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7,      1/1}
 F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

Đặt đại diện cho chuỗi Farey thứ mà không có phần tử đầu tiên .$F^*_n$$n$$0/1$

Đặt là sự kết hợp của các chuỗi giới hạn hợp lý có ít nhất một phần tử lên đến và bao gồm bước : $S^*_n$$n$

$$\begin{equation} S^*_n = \{ S_{p,q}\ |\ \exists (a,b) \} \end{equation}$$

Các phần tử của chỉ mục , được chuyển đổi từ phân số sang bộ dữ liệu, lập chỉ mục chính xác các phần tử của . Bảng sau đây so sánh việc phân nhóm các chuỗi giới hạn trong phân tích Ross và phân tích giới hạn hợp lý:$F^*_n$$S^*_n$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Ross} & \text{rational} \\ \hline \text{num new seq per step } & 1 & \text{multiple (generally)} \\ \hline \text{new seq at step } n & S_n & F^*_n - F^*_{n-1} \\ \hline \text{tot num seq up to step }n & n & \| F^*_n \| \\ \hline \text{super-seq up to step }n & \{ S_m \}_{m=1}^{n} & F^*_n \\ \hline \end{array}$$

Cuối cùng, do các phương thức tồn tại [ 3 ], [ 4 ] để lặp lại siêu chuỗi , điều kiện (4) cũng được thỏa mãn.$F^*_n$

Một trong những phương pháp đó, một biến thể của cây Stern-Brocot, như sau:

Phương tiện truyền thông của hai và được định nghĩa là$a/c$$b/d$$\frac{a+b}{c+d}$

• Đặt$F*_n = \emptyset$
• Nối vào$1/n$$F*_n$

• Lặp lại cho trong$i$$1...(\|F*_{n-1}\|-1)$

  • Nối vào F * _n $$F*_{n-1}[i]$

  • Đặt$x = mediant(F*_{n-1}[i], F*_{n-1}[i+1])$

  • Nếu nối x vào$denom(x) \leq n$$F*_n$
  • tiếp tục vòng lặp
• Nối vào$F*_{n-1}[n]$$F*_n$

Nghịch lý đã được giải quyết.

Chứng minh Định lý 1 Lưu ý đầu tiên rằng: trong đó phép biến đổi cuối cùng là phép biến đổi Sterling.

$$\begin{eqnarray} P(E_{a,b}) &=& \prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)} \\ &=& \frac{\Gamma \left(a+\frac{1}{9}\right) \Gamma (b+1)}{\Gamma (a) \Gamma\left(b+\frac{10}{9}\right)} \\ &=& (a-1)^{\frac{1}{2}-a} \left(a-\frac{8}{9}\right)^{a-\frac{7}{18}} b^{b+\frac{1}{2}} \left(b+\frac{1}{9}\right)^{-b-\frac{11}{18}} \end{eqnarray}$$

Sau đó, về mặt cú pháp thay thế và vào phương trình (dạng Sterling) cuối cùng, chúng ta sẽ có $a\rightarrow a*n$$b\rightarrow b*n$

$$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty} P(E_{a,b}) &=& \lim_{n\rightarrow\infty} (a M-1)^{\frac{1}{2}-a M} \left(a M-\frac{8}{9}\right)^{a M-\frac{7}{18}} (b M)^{b M+\frac{1}{2}} \left(b M+\frac{1}{9}\right)^{-b M-\frac{11}{18}} \\ &=& \left(\frac{a}{b}\right)^\frac{1}{9} \end{eqnarray}$$

Phụ lục: Kết quả khác

Kỳ vọng trong giới hạn

Phần này đưa ra biểu thức đóng cho số lượng bóng dự kiến ​​còn lại lên đến và bao gồm bất kỳ phần nào của kích thước bước.
Một hệ quả của kết quả này là một xấp xỉ bằng số của chỉ số của quả bóng đầu tiên có kỳ vọng còn lại lớn hơn một.

( Còn tiếp )

Chỉnh sửa Chỉnh sửa

Mẩu chuyện dài. Cái gọi là nghịch lý là một lỗi dạng không xác định, lỗi của người mới bắt đầu với kết quả tương tự như chia cho sai số 0 chứng tỏ rằng . Các lỗi như vậy, trong trường hợp này để đếm số, tự nhiên tạo ra các câu trả lời có thể là 0, hoặc .$1=2$$n$$\infty$

BTW, khi thêm một số lượng xác suất vô hạn, người ta sẽ tạo ra , một hình thức không xác định và bằng chứng của Ross là không chính xác. Để có câu trả lời đúng, hãy sử dụng Quy tắc của L'hopital. vô cực không phải là số . Đối xử vô cùng như thể đó là một con số dẫn đến sai sót.$\frac{1}{\infty}\infty$