Phân phối Gaussian có phải là trường hợp cụ thể của Phân phối Beta không?

Nếu bạn xem phân phối beta với $\alpha=\beta=4$ thì nó trông rất giống với phân phối Gaussian . Nhưng nó là? Làm thế nào bạn có thể chứng minh liệu phân phối Beta (4,4) có phải là Gaussian hay không?

normal-distribution beta-distribution

— người dùng1068636
nguồn

Hỗ trợ của họ rất khác nhau.

— Sâu Bắc

@DeepNorth - vậy bạn có đề xuất các bản phân phối Gaussian không phải là một loại Phân phối Beta cụ thể không?

— dùng1068636

Nhiều hơn là gợi ý; nếu sự hỗ trợ khác nhau, họ không thể phân phối giống nhau.

— Glen_b -Reinstate Monica

Chúng đều đối xứng và có hình chuông nhiều hơn hoặc ít hơn, nhưng beta đối xứng (dù ở mức 4,4 hoặc ở bất kỳ giá trị cụ thể nào khác) không thực sự là Gaussian. Bạn có thể nói điều này ngay cả khi không nhìn vào mật độ - các bản phân phối beta được bật (0,1) trong khi tất cả các bản phân phối Gaussian đều bật $(-\infty,\infty)$

Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn một chút về so sánh. Chúng tôi sẽ chuẩn hóa beta (4,4) sao cho có nghĩa là 0 và độ lệch chuẩn 1 ( beta được chuẩn hóa ) và xem xét mật độ so với Gaussian chuẩn như thế nào:

Beta chuẩn hóa (4,4) bị hạn chế nằm giữa -3 và 3 (Gaussian tiêu chuẩn có thể nhận bất kỳ giá trị nào); nó cũng ít đạt đỉnh hơn Gaussian và có "vai" tròn hơn khoảng 1 hoặc hơn độ lệch chuẩn ở hai bên của giá trị trung bình. Kurtosis của nó là 27/11 ( 2,45, so với 3 đối với Gaussian). $\approx$

Các bản phân phối beta đối xứng với các giá trị tham số lớn hơn gần với Gaussian hơn.

Trong giới hạn khi tham số tiếp cận vô hạn, một phiên bản beta đối xứng được tiêu chuẩn hóa tiếp cận phân phối chuẩn thông thường (ví dụ bằng chứng ở đây ).

Vì vậy, không có trường hợp cụ thể nào của beta đối xứng là Gaussian, nhưng trường hợp giới hạn của beta được chuẩn hóa phù hợp là Gaussian. Chúng ta có thể thấy cách tiếp cận này dễ dàng hơn bằng cách xem xét cdf của beta, được biến đổi bởi hàm lượng tử của Gaussian. Trên thang đo này, Gaussian sẽ nằm trên dòng , trong khi họ beta đối xứng sẽ tiếp cận dòng khi tham số ngày càng lớn hơn. $y=x$ $y=x$

Trong cốt truyện bên dưới, chúng tôi xem xét các độ lệch từ dòng để thấy rõ hơn cách tiếp cận của beta ( , ) đối với Gaussian khi tăng. $y=x$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

Bạn không nhất thiết phải chuẩn hóa biến ngẫu nhiên Beta để có phương sai chính xác ; ví dụ một biến ngẫu nhiên Student không có phương sai . Nếu thay vì nói một cách hiệu quả rằng nếu thì khi tăng, bạn có thể đã giảm và nói khi tăng và bạn sẽ có sự phù hợp tốt hơn ở trung tâm phân phối

1

$1$

t

$t$

1

$1$

X_{α, α} \sim Beta (α, α)

$X_{\alpha,\alpha} \sim \text{Beta}(\alpha,\alpha)$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (4 (2 α + 1))}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(4(2\alpha+1))}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

+ 1

$+1$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (8 α)}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(8\alpha)}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

— Henry