Sự khác biệt giữa hai rv đối xứng cũng có phân phối đối xứng?

Nếu tôi có hai phân phối đối xứng khác nhau (đối với phân phối trung bình) và , thì sự khác biệt cũng là phân phối đối xứng (đối với phân phối trung bình)? $X$ $Y$ $X-Y$

distributions median

— Alessio93
nguồn

Phân phối không phải là "sự khác biệt giữa hai phân phối", đó là phân phối của sự khác biệt giữa các biến ngẫu nhiên phân phối đối xứng; Sự khác biệt trong các bản phân phối sẽ là ; mà không phải là một bản phân phối; tương tự, sự khác biệt của pdf sẽ không phải là pdf ... vui lòng sửa đổi mô tả tiêu đề của bạn

X - Y

$X-Y$

F_{X} (t) - F_{Y} (t)

$F_X(t)-F_Y(t)$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b: Tôi đã chỉnh sửa tiêu đề của OP để nói như vậy, nhưng trong tương lai, hãy tiếp tục và tự chỉnh sửa nó. Thông thường tôi nghĩ mọi người đều hiểu OP nghĩa là gì.

— smci

@smci Trên thực tế, tôi đã chọn yêu cầu OP thực hiện thay vì tự mình làm điều đó vì một lý do (nếu bạn kiểm tra hồ sơ của tôi, bạn sẽ thấy tôi có hơn 3100 bài đăng được chỉnh sửa - Tôi hiểu các quy tắc chung về chỉnh sửa). Cảm ơn đã giúp đỡ, mặc dù. Tôi cũng nghĩ rằng một chút quan tâm hơn với việc diễn đạt những gì có nghĩa là sẽ giải quyết một phần đáng kể các câu hỏi mới làm quen trên trang web; và tôi nghĩ rằng sự rõ ràng là đặc biệt quan trọng trong một tiêu đề.

— Glen_b -Reinstate Monica

Câu trả lời:

Đặt và là các tệp PDF đối xứng về trung vị và . Miễn là và độc lập, phân phối xác suất của chênh lệch là tích chập của và , nghĩa là $X \sim f(x)$ $Y \sim g(y)$ $a$ $b$ $X$ $Y$ $Z = X - Y$ $X$ $-Y$

p (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + y) g (- y) d y,

$p(z) = \int_{-\infty}^\infty f(z + y) g(-y) dy,$

trong đó chỉ đơn giản là PDF trên với trung vị $h(y) = g(-y)$ $-Y$ $-b.$

Theo trực giác, chúng tôi hy vọng kết quả sẽ đối xứng về vì vậy hãy thử điều đó. $a - b$

\begin{aligned} p (a - b - z) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - b - z + y) g (- y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - (z + v)) g (v - b) d v \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + v) g (- v) d v \\ = p (z) . \end{aligned}

$\begin{split} p(a - b - z) &= \int_{-\infty}^\infty f(a - b - z + y) g(-y) dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(a - (z + v)) g(v-b) dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(z + v) g(-v) dv \\ &= p(z). \end{split}$

Trong dòng thứ hai tôi đã sử dụng thay thế trong tích phân. Trong dòng thứ ba, tôi đã sử dụng cả đối xứng của về và của vềĐiều này chứng tỏ rằng đối xứng về nếu đối xứng với và đối xứng với $v = b - y$ $f(x)$ $a$ $g(-y)$ $-b.$ $p(z)$ $a - b$ $f(x)$ $a$ $g(y)$ $b.$

Nếu và không độc lập và và chỉ đơn giản là phân phối biên, thì chúng ta sẽ cần biết phân phối chung,Sau đó, trong tích phân, chúng ta sẽ phải thay bằngTuy nhiên, chỉ vì các phân phối biên là đối xứng, điều đó không có nghĩa là phân phối chung là đối xứng về mỗi đối số của nó. Vì vậy, bạn không thể áp dụng lý do tương tự. $X$ $Y$ $f$ $g$ $X,Y \sim h(x,y).$ $f(z + y) g(-y)$ $h(z + y, -y).$

— Cầu quay
nguồn

Điều này sẽ phụ thuộc vào mối quan hệ giữa và , đây là một ví dụ ngược trong đó và đối xứng, nhưng thì không: $x$ $y$ $x$ $y$ $x-y$

x = [- 4, - 2, 0, 2, 4]

$x=[-4, -2, 0, 2, 4]$

y = [- 1, - 3, 0, 1, 3]

$y=[-1, -3, 0, 1, 3]$

x - y = [- 3, 1, 0, 1, 1]

$x-y = [-3, 1, 0, 1, 1]$

Vì vậy, ở đây trung vị của không giống như sự khác biệt về trung vị và không đối xứng. $x-y$ $x-y$

Biên tập

Điều này có thể rõ ràng hơn trong ký hiệu @ whuber:

Hãy xem xét phân phối thống nhất rời rạc trong đó và có liên quan với nhau sao cho bạn chỉ có thể chọn một trong các cặp sau: $x$ $y$

(x, y) = (- 4, - 1); (- 2, - 3); (0, 0); (2, 1); (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1); (-2,-3); (0,0); (2,1); (4,3)$

Nếu bạn khăng khăng suy nghĩ trong một phân phối chung đầy đủ thì hãy xem xét trường hợp có thể nhận bất kỳ giá trị nào và có thể lấy các giá trị và sự kết hợp có thể đảm nhận bất kỳ trong số 25 cặp. Nhưng xác suất của các cặp đã cho ở trên là 16% mỗi cặp và tất cả các cặp có thể khác có xác suất là 1% mỗi cặp. Phân phối biên của sẽ là thống nhất riêng biệt mà mỗi giá trị có xác suất 20% và do đó đối xứng về trung vị bằng 0, điều này cũng đúng với . Lấy một mẫu lớn từ phân phối chung và nhìn vào chỉ hoặc chỉ $x$ $(-4, -2, 0, 2, 4)$ $y$ $(-3, -1, 0, 1, 3)$ $x$ $y$ $x$ $y$ và bạn sẽ thấy phân phối biên đồng nhất (đối xứng), nhưng lấy chênh lệch và kết quả sẽ không đối xứng. $x-y$

— Greg tuyết
nguồn

Tôi hoàn toàn không hiểu ví dụ này. Nếu có thể bằng 4 và có thể bằng ví dụ 1, thì có thể là 3, nhưng bạn không liệt kê khả năng này. Có lẽ tôi hiểu nhầm ví dụ của bạn; ba vectơ này là gì?

X

$X$

Y

$Y$

X - Y

$X-Y$

— amip

x

$x$ và không độc lập trong ví dụ của mình. Hãy nghĩ về , và là các hàm của một số biến ngẫu nhiên lập chỉ mục vào mỗi vectơ. Sau đó, nếu , , và

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x - y

$x-y$

i

$i$

i = 0

$i=0$

x = - 4

$x=-4$

y = - 1

$y=-1$

x - y = - 3

$x-y=-3$

— Moormanly

Nếu bạn đang xem xét và không độc lập, thì bạn thực sự đang xem

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

(x, y) = (- 4, - 1), (- 2, - 3), (0, 0), (2, 1), (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1),(-2,-3),(0,0),(2,1),(4,3)$

X

$X$

Y

$Y$

X = 10

$X=10$

Y = 1

$Y=1$

Các ý kiến và chỉnh sửa đã làm rõ những gì bạn có ý nghĩa. Cảm ơn.

— amip

$X-Y$

— Moormanly
nguồn