Tổng kết hợp tuyến tính của sản phẩm theo cấp số nhân là cấp số nhân

Vấn đề này đã nảy sinh trong nghiên cứu của tôi: giả sử rằng là các phân phối theo cấp số nhân (ED) với trung bình và hãy cho là một số không âm. Có đúng là Điều này vượt qua kiểm tra độ tỉnh táo, vì giá trị dự kiến ​​của cả hai bên bằng và nếu chúng ta để , thì phía bên trái bằng , theo cấp số nhân. Ngoài ra, tôi không chắc cách tiếp cận vấn đề này, vì tôi không biết làm thế nào để đối phó với sản phẩm của ED.1 λ ∞ Σ k = 0 λ k e - λ V 0 ⋯ V $V_i \sim \text{ED}$$1$$\lambda$1λ=0V

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}V_{0} \cdots V_k}{k!} \sim \text{ED}?$$ $1$$\lambda = 0$$V_0$

Không phải là một câu trả lời đầy đủ, xin lỗi, nhưng một vài ý tưởng (để mong nhận xét). Lưu ý rằng những gì bạn có là một sản phẩm của IID biến ngẫu nhiên, nơi K là một biến ngẫu nhiên (rv) với một bản phân phối Poisson với tham số λ . Điều đó có thể được sử dụng cho một "kiểm tra vệ sinh" khác, một mô phỏng (sử dụng số mũ của tỷ lệ 1):$K+1$$K$$\lambda$

set.seed(7*11*13)
N <- 1000000

prods <- rep(0, N)
ks <- rpois(N, 1)+1

for (i in 1:N) {
    k  <-  ks[i]
    prods[i]  <-  prod( rexp(k, 1))
}

qqplot( qexp(ppoints(N)), prods)

Kết quả qqplot(không được hiển thị ở đây) nằm xa một đường thẳng, do đó, điều này không có vẻ là một hàm mũ của tỷ lệ 1. Giá trị trung bình là đúng, phương sai lớn, có đuôi bên phải dài hơn nhiều so với số mũ. Những gì có thể được thực hiện trên lý thuyết? Biến đổi Mellin https://en.wikipedia.org/wiki/Mellin_transform được điều chỉnh phù hợp với các sản phẩm của các biến ngẫu nhiên độc lập. Tôi sẽ chỉ tính cho mũ với tốc độ 1. Mellin biến đổi của sau đó là M 1 ( s ) = E V s 0 = ∫ ∞ 0 x s e - $V_0$ nên biến đổi Mellin của sản phẩm của k + 1 iid lũy thừa là M k + 1 ( s ) = Γ ( s + 1 ) k + 1 Vì K có phân phối poisson với tham số λ , biến đổi Mellin của sản phẩm ngẫu nhiên có số nhân ngẫu nhiên K + 1 , là M ( s ) = E M

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M_1(s) = \E V_0^s = \int_0^\infty x^s e^{-x}\; dx = \Gamma(s+1)$$ $k+1$ $$M_{k+1}(s) = \Gamma(s+1)^{k+1}$$ $K$$\lambda$$K+1$ nhưng tôi không thể tìm thấy một nghịch đảo của biến đổi này. Nhưng lưu ý rằng nếuXlà biến ngẫu nhiên không âm với biến đổi MellinMX(t), thì xác địnhY=logXchúng ta thấy rằng KY(t)=Ee $$M(s) = \E M_{K+1}(s) = \E \Gamma(s+1)^{K+1}= \Gamma(s+1)e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}\Gamma(s+1)^k=e^{-\lambda}\Gamma(s+1) e^{\lambda \Gamma(s+1)}$$ $X$$M_X(t)$$Y=\log X$ vì vậy biến đổi Mellin củaXlà hàm tạo mô men của logaritYcủa nó. Vì vậy, bằng cách sử dụng chúng ta có thể xấp xỉ phân phốiXvới các phương pháp xấp xỉ yên ngựa,Làm thế nào gần đúng yên ngựa hoạt động? và tìm kiếm trang web này. $$K_Y(t)=\E e^{tY} = \E e^{t\log X}=\E e^{\log (X^t)}=\E X^t =M_X(y)$$ $X$$Y$$X$