Đây có phải là một cách hợp lệ để xây dựng một khoảng tin cậy?

7

Quy tắc của ba trạng thái rằng, nếu chúng ta quan sát là 0, thì là khoảng tin cậy 95% cho . Tôi bối rối về sự phát sinh của quy tắc này trên Wikipedia và các nơi khác. $Y\sim \text{Bin}(n,p)$ $[0,3/n]$ $p$

Wikipedia tương đương với việc tìm khoảng tin cậy 95% để tìm tất cả sao cho . Tôi đang đấu tranh để điều hòa điều này với sự hiểu biết của riêng tôi rằng khoảng tin cậy 95% là vùng ngẫu nhiên sao cho cho tất cả . $p$ $P_p(Y=0)\geq 0.05$ $C(Y)$ $P_p(C(Y)\text{ covers }p)=0.95$ $p$

Chỉnh sửa: Tôi nhận ra rằng câu hỏi của tôi rất mơ hồ (và tôi đã xóa một dự đoán sai về logic cơ bản của Wikipedia). Câu hỏi chính của tôi là: làm thế nào là đối số Wikipedia hợp lý? Câu hỏi khác, có liên quan của tôi là: Làm thế nào để bạn xác minh xác suất bảo hiểm cho khoảng thời gian, với điều kiện là nó chỉ được xác định cho một giá trị có thể có của ? $Y$

mathematical-statistics confidence-interval

5

Hanley và Lippman-Hand (1983) đưa ra một cái gì đó giống như lập luận sau đây cung cấp động lực cho quy tắc. Lấy là cố định, . $n$ $P(X=0|p) =(1-p)^n$

Giải với chúng tôi nhận được . nhỏ nhất giữ xác suất không nhỏ hơn là . $(1-p)^n \geq \alpha\,$ $p\,$ $p\geq 1-\alpha^{\frac{1}{n}}$ $p$ $0$ $\alpha$ $1-\alpha^{\frac{1}{n}}$

Bây giờ . $\alpha^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\log{\alpha}} = 1+\frac{1}{n}\log{\alpha}+\frac12 (\frac{1}{n}\log{\alpha})^2 + ...$

Theo thứ tự đầu tiên, chúng tôi nhận được . Khi , . $p\geq -\frac{1}{n}\log{\alpha}$ $\alpha=0.05$ $-\log(0.05)/n\approx 3/n$

Jovanovic & Levy (1997) đã cải thiện điều này, dựa trên cơ sở rõ ràng hơn trong một đối số CI, bằng cách sử dụng nó như một khoảng Clopper-Pearson và có cùng bị ràng buộc, và do đó có cùng một giá trị gần đúng ràng buộc vào : $(1-p)^n=\alpha$ $p$

nếu là số lượng sự kiện được quan sát trong n thử nghiệm, thì ràng buộc 100% Clopper-Pearson (max-P) trên có thể được coi là một giải pháp cho $X = x$ $(1- \alpha)$

$\sum_{t = 0}^{x} (\binom{n}{t}) p^{t} (1 - p)^{t} = α$ $\sum_{t=0}^x {n\choose t}p^t (1-p)^t =\alpha$
Rõ ràng, khi biểu thức giảm xuống $x = 0$ $(1- p)^n = \alpha$

Họ cũng thảo luận về một số tranh luận khác.

Hanley, JA, và Lippman-Hand, A. (1983),
"Nếu không có gì sai, mọi thứ đều ổn chứ? Giải thích các tử số bằng không"
Tạp chí của Hiệp hội Y khoa Hoa Kỳ, số 249 (13), 1743-1745.

Jovanovic, BD và Levy, PS (1997),
"Nhìn vào quy tắc của ba"
Nhà thống kê người Mỹ, 51 (2), 137-139

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

Sự gần đúng có ý nghĩa nhưng tôi có đúng khi hoài nghi về logic không? Ví dụ: nếu bạn quan sát là 0, bạn có thể nói rằng là CI cho vì nó được ngụ ý bởi ?

Y \sim P o i s (λ)

$Y\sim Pois(\lambda)$

[0, - \log α]

$[0,-\log\alpha]$

1 - α

$1-\alpha$

λ

$\lambda$

P_{λ} (Y = 0) = \exp (- λ) \geq α

$P_\lambda(Y=0)=\exp(-\lambda)\geq \alpha$

Như bạn sẽ thấy từ tài liệu tham khảo thứ hai của tôi, đối số Hanley & Lippman-Hand cần hoạt động để trở thành một đối số vững chắc - đó không phải là một đối số về một khoảng - nhưng Jovanovic & Levy đưa ra một đối số dựa trên khoảng tin cậy (bây giờ tôi đã thêm chi tiết) . Tôi tin rằng bạn có thể có thể theo dõi một cuộc tranh luận dựa trên khoảng thời gian tương tự như Jovanovic và Levy đưa ra để có được sự ràng buộc mà bạn có đối với Poisson; Tôi đã không cố gắng để làm như vậy, tuy nhiên.

— Glen_b -Reinstate Monica

3

Cho thành công của thử nghiệm, khoảng tin cậy chính xác (Clopper Cài Pearson) là sao cho và $k=0$ $n$ $[p_1,p_2]$

P (K \geq k = 0 | p = p_{1}) = \frac{α}{2}

$P(K \ge k=0 \vert p=p_1)=\frac{\alpha}{2}$

P (K \leq k = 0 | p = p_{2}) = \frac{α}{2},

$P(K \le k=0 \vert p=p_2)=\frac{\alpha}{2},$

trong đó . Bạn có thể tính toán bằng cách sử dụng hàm nhị thức nghịch đảo. Tuy nhiên, cũng có thể giải quyết bằng tay cho vì nhị thức tích lũy rất đơn giản trong trường hợp đặc biệt này: . Bạn cũng có thể sử dụng xấp xỉ Poisson theo cùng một cách để có được . $K \sim Binomial(n,p)$ $[p_1,p_2]$ $p_i$ $(1−p)^n= \alpha$ $e^{-n \cdot p}=\alpha$

Dưới đây là biểu đồ xấp xỉ dưới dạng hàm của cỡ mẫu:

— Dimitriy V. Masterov
nguồn