Các phép toán lượng giác trên độ lệch chuẩn

Phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia các biến ngẫu nhiên bình thường được xác định rõ, nhưng còn các phép toán lượng giác thì sao?

Ví dụ, chúng ta giả sử rằng tôi đang cố gắng tìm góc của một hình nêm hình tam giác (được mô phỏng như một tam giác góc vuông) với hai catheti có kích thước và , cả hai đều được mô tả là phân phối bình thường. $d_1$ $d_2$

Cả hai trực giác và mô phỏng cho tôi biết rằng việc phân phối kết quả là bình thường, với trung bình . Nhưng có cách nào để tính toán phân phối của góc kết quả không? Tài liệu tham khảo về nơi tôi sẽ tìm thấy câu trả lời? $\arctan\left(\frac{\text{mean}(d_1)}{\text{mean}(d_2)}\right)$

(Đối với một chút bối cảnh, tôi đang làm việc với khả năng chịu thống kê của các bộ phận cơ học. Sự thôi thúc đầu tiên của tôi sẽ chỉ là mô phỏng toàn bộ quá trình, kiểm tra xem kết quả cuối cùng có bình thường hay không và tính toán độ lệch chuẩn. Nhưng tôi đang tự hỏi nếu có thể có một cách tiếp cận phân tích gọn gàng hơn.)

— Bossykena
nguồn

Bạn có thể xác nhận rằng (a) d1 và d2 là độ dài cạnh (và không phải là góc); (b) rằng bạn đang giả sử góc giữa chúng là một góc vuông (nếu không thì công thức atan là nghi ngờ); và (c) bạn có quan tâm đến việc phân phối một trong các góc khác của tam giác vuông này không? Ngoài ra, có lẽ, SD của mỗi phân phối độ dài nhỏ hơn nhiều so với dự kiến của nó vì tam giác không nên có bất kỳ xác suất đáng kể nào về độ dài cạnh âm :-).

— whuber

Chính xác. Tôi đã nói lại vấn đề để làm cho nó rõ ràng hơn một chút. Và có, SD sẽ nhỏ so với kích thước.

— Bossykena

Sử dụng các công thức để nhân và cộng, bạn có thể thử mở rộng Taylor.

Cảm ơn cả hai câu trả lời xuất sắc của bạn, điều mà (theo như tôi có thể nói với chuyên môn thống kê hạn chế của mình) cả về trực quan và âm thanh.

— Bossykena

Câu trả lời:

Trong cách giải thích này, tam giác là một hình tam giác bên phải của mặt dài và phân phối binormally với kỳ vọng và , độ lệch chuẩn và , và tương quan . Chúng tôi tìm kiếm sự phân phối của . Cuối cùng, chuẩn hóa và sao cho $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\arctan(Y/X)$ $X$ $Y$

và

X = σ_{x} ξ + μ_{x}

$X = \sigma_x \xi + \mu_x$

Y = σ_{y} η + μ_{y}

$Y = \sigma_y \eta + \mu_y$

với và variates bình thường tiêu chuẩn với tương quan . Hãy là một góc và để thuận tiện ghi . Sau đó $\xi$ $\eta$ $\rho$ $\theta$ $q = \tan(\theta)$

P [\arctan (Y / X) \leq θ] = P [Y \leq q X]

$\mathbb{P}[\arctan(Y/X) \le \theta] = \mathbb{P}[Y \le q X]$

= P [σ_{y} η + μ_{y} \leq q (σ_{x} ξ + μ_{x})

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta + \mu_y \le q \left( \sigma_x \xi + \mu_x \right)$

= P [σ_{y} η - q σ_{x} ξ \leq q μ_{x} - μ_{y}]

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta - q \sigma_x \xi \le q \mu_x - \mu_y]$

Phía bên tay trái, là một sự kết hợp tuyến tính của normals, là bình thường, với trung bình và phương sai . $\mu_y \sigma_y - q \mu_x \sigma_x$ $\sigma_y^2 + q^2 \sigma_x^2 - 2 q \rho \sigma_x \sigma_y$

Phân biệt cdf bình thường của các tham số này đối với tạo ra pdf của góc. Biểu thức khá ghê gớm, nhưng một phần quan trọng của nó là hàm mũ $\theta$

\exp (- \frac{(μ_{y} (σ_{y} + 1) - μ_{x} (σ_{x} + 1) \tan (θ))^{2}}{2 (- 2 ρ σ_{x} σ_{y} \tan (θ) + σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + \tan^{2} (θ))}),

$\exp \left(-\frac{\left(\mu _y \left(\sigma _y+1\right)-\mu _x \left(\sigma _x+1\right) \tan (\theta )\right){}^2}{2 \left(-2 \rho \sigma _x \sigma _y \tan (\theta )+\sigma _x^2+\sigma _y^2+\tan ^2(\theta )\right)}\right),$

$\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\theta$ ) của logarit của pdf (như thể hiện trong các phương trình (2.6) và (3.1) của tài liệu tham khảo). Tôi đề nghị một hệ thống đại số máy tính (như MatLab hoặc Mathicala) để thực hiện điều này!

— whuber
nguồn

[- π, π)

$[-\pi, \pi)$

P (Y / X

q) = P (Y

qX) không đúng nếu X là rv bình thường - X cũng có thể âm.

\leq

$\le$

\leq

$\le$

— ronaf

@ronaf: thực ra, vì

và

là độ dài cạnh của một tam giác vật lý, chúng ta không nên có

âm !

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— shabbychef

@ronaf: Đó là ý kiến đúng. Nếu người ta sử dụng độ dài cạnh đã ký và cũng coi góc là giá trị thực (chứ không phải giá trị modulo

), thì không có sự không nhất quán với tính quy tắc trong cả hai trường hợp. Quan điểm của bạn về sự bất bình đẳng có thể sai là tuyệt vời. Tất cả những gì tôi có thể làm để đáp lại là tuyên bố rằng phương trình là một xấp xỉ xuất sắc theo các giả định được đưa ra bởi vì khả năng X hoặc Y bị âm là không đáng kể.

2 π

$2\pi$

— whuber

@YBE Tôi đồng ý rằng "+" cuối cùng trong biểu hiện của tôi có vẻ như không thuộc về nó - nó có thể bị trượt khi tôi dọn dẹp đánh dấu TeX. Tôi không có tài liệu tham khảo vì tôi đã tự tính đạo hàm.

— whuber

Bạn đang xem thống kê vòng tròn và đặc biệt là phân phối vòng tròn được gọi là phân phối chuẩn dự kiến .

Vì một số lý do, chủ đề này có thể hơi khó với google, nhưng hai văn bản chính về thống kê vòng tròn là Phân tích thống kê dữ liệu thông tư của Fisher và Thống kê định hướng của Mardia và Jupp.

Để biết phân tích kỹ lưỡng về phân phối bình thường dự kiến, xem trang 46 của Mardia và Jupp. Có các biểu thức dạng đóng (tích phân hàm lỗi) cho phân phối và như whuber đã đề xuất, nó trông tương tự như bình thường khi 'phương sai' của nó (cẩn thận ở đây, phương sai có nghĩa gì cho một biến ngẫu nhiên trên một vòng tròn? !) là nhỏ, tức là khi phân phối khá tập trung tại một điểm (hoặc hướng hoặc góc).

— Robby McKilliam
nguồn