Làm cách nào để tạo dữ liệu với ma trận tương quan được chỉ định trước?

Tôi đang cố gắng tạo chuỗi ngẫu nhiên tương quan với mean = $0$ , variance = , hệ số tương quan = . Trong mã dưới đây, tôi sử dụng & làm độ lệch chuẩn và & làm phương tiện.$1$$0.8$s1s2m1m2

p = 0.8 
u = randn(1, n)
v = randn(1, n)
x = s1 * u + m1
y = s2 * (p * u + sqrt(1 - p^2) * v) + m2

Điều này cho tôi đúng corrcoef()0,8 giữa xvà y. Câu hỏi của tôi là làm thế nào tôi có thể tạo ra một chuỗi có nghĩa là nếu tôi muốn znó cũng tương quan với y(có cùng tương quan ), nhưng không phải với . Có một công thức cụ thể tôi cần biết? Tôi đã tìm thấy một nhưng không thể hiểu nó.$r=0.8$x

Có vẻ như bạn đang hỏi cách tạo dữ liệu với ma trận tương quan cụ thể.

Một thực tế hữu ích ở đây là nếu bạn có một véc tơ ngẫu nhiên với hiệp phương sai ma trận Σ , thì ngẫu nhiên vector Một x có nghĩa là A E ( x ) và ma trận hiệp phương sai${\bf x}$$\Sigma$${\bf Ax}$${\bf A} E({\bf x})$ . Vì vậy, nếu bạn bắt đầu với dữ liệu có nghĩa là 0, nhân với A sẽ không thay đổi điều đó, vì vậy yêu cầu đầu tiên của bạn dễ dàng được thỏa mãn. $\Omega = {\bf A} \Sigma {\bf A}^{T}$${\bf A}$

Hãy nói rằng bạn bắt đầu với (zero bình) dữ liệu không tương quan (tức là ma trận hiệp phương sai là đường chéo) - kể từ khi chúng ta đang nói về ma trận tương quan, chúng ta hãy chỉ mất . Bạn có thể chuyển đổi dữ liệu này thành dữ liệu với ma trận hiệp phương sai đã cho bằng cách chọn $\Sigma = I$${\bf A}$ là căn bậc hai Cholesky của - sau đó A x sẽ có mong muốn hiệp phương sai ma trận Ω .$\Omega$${\bf Ax}$$\Omega$

Trong ví dụ của bạn, bạn dường như muốn một cái gì đó như thế này:

$$\Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & .8 & 0 \\ .8 & 1 & .8 \\ 0 & .8 & 1 \\ \end{array} \right)$$

Thật không may, ma trận không xác định dương, vì vậy nó không thể là ma trận hiệp phương sai - bạn có thể kiểm tra điều này bằng cách thấy rằng định thức là âm. Có lẽ, thay vào đó

$$\Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & .8 & .3 \\ .8 & 1 & .8 \\ .3 & .8 & 1 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2/3 & 0 \\ 2/3 & 1 & 2/3 \\ 0 & 2/3 & 1 \\ \end{array} \right)$$

sẽ đủ. Tôi không chắc làm thế nào để tính toán căn bậc hai cholesky trong matlab (dường như là những gì bạn đang sử dụng) nhưng trong Rbạn có thể sử dụng chol()hàm.

Trong ví dụ này, cho hai s liệt kê ở trên các bội số ma trận thích hợp (tương ứng) sẽ là$\Omega$

$${\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ .8 & .6 & 0 \\ .3 & .933 & .1972 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ {\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2/3 & .7453 & 0 \\ 0 & .8944 & .4472 \\ \end{array} \right)$$

Các Rmã được sử dụng để đi đến được điều này:

x = matrix(0,3,3)
x[1,]=c(1,.8,.3)
x[2,]=c(.8,1,.8)
x[3,]=c(.3,.8,1)
t(chol(x))

     [,1]      [,2]      [,3]
[1,]  1.0 0.0000000 0.0000000
[2,]  0.8 0.6000000 0.0000000
[3,]  0.3 0.9333333 0.1972027

x[1,]=c(1,2/3,0)
x[2,]=c(2/3,1,2/3)
x[3,]=c(0,2/3,1)
t(chol(x))

      [,1]      [,2]      [,3]
[1,] 1.0000000 0.0000000 0.0000000
[2,] 0.6666667 0.7453560 0.0000000
[3,] 0.0000000 0.8944272 0.4472136

Nếu bạn đang sử dụng R, bạn cũng có thể sử dụng hàm mvrnorm từ gói MASS, giả sử bạn muốn các biến được phân phối bình thường. Việc triển khai tương tự như mô tả của Macro ở trên, nhưng sử dụng các hàm riêng của ma trận tương quan thay vì phân rã chunkky và chia tỷ lệ với phân rã giá trị số ít (nếu tùy chọn theo kinh nghiệm được đặt thành đúng).

$X$$\Sigma$$\gamma$$\lambda$$\Sigma$

$X' = \gamma\lambda X^{T}$

$\Sigma$$X$

Lưu ý rằng ma trận tương quan phải có giá trị xác định dương, nhưng chuyển đổi nó bằng hàm nearPD từ gói Matrix trong R sẽ hữu ích.

$\Sigma_y$$x$$\Sigma_x = I$$\Sigma_y$$\Lambda$$V$ ma trận của vector riêng cột.

$\Sigma_y = V \Lambda V^T = ( V \sqrt{\Lambda} ) (\sqrt{\Lambda}^T V^T ) = A A^T$ .

$y=Ax$