Nếu tôi tạo ra một ma trận đối xứng ngẫu nhiên, cơ hội nào là tích cực xác định?

Tôi nhận được một câu hỏi kỳ lạ khi tôi đang thử nghiệm một số tối ưu hóa lồi. Câu hỏi là:

Giả sử tôi một cách ngẫu nhiên (nói phân phối chuẩn chuẩn) tạo ra một ma trận đối xứng, (ví dụ, tôi tạo ra ma trận trên hình tam giác, và điền vào nửa dưới để chắc chắn rằng nó là đối xứng), cơ hội là những gì nó là một ma trận xác định dương ? Có cách nào để tính xác suất không? $N \times N$

— Haitao Du
nguồn

Hãy thử mô phỏng ...

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen cảm ơn, nhưng tôi tự hỏi cơ hội của tất cả các giá trị bản địa lớn hơn 0. hoặc chúng ta thậm chí có thể làm điều đó để phân tích.

— Haitao Du

Câu trả lời phụ thuộc vào cách bạn tạo ma trận. Chẳng hạn, một cách tạo ra

giá trị thực theo một số phân phối và sau đó liên hợp ma trận đường chéo đó bằng một ma trận trực giao ngẫu nhiên. Kết quả sẽ là xác định dương nếu và chỉ khi tất cả các giá trị riêng đó là dương. Nếu bạn tạo các giá trị riêng một cách độc lập theo đối xứng phân phối về 0 , thì cơ hội đó rõ ràng là nhiều nhất là

. Để tạo ma trận PD, sau đó, chọn giá trị riêng của bạn! (Để làm việc nhanh chóng, tôi tạo các ma trận như hiệp phương sai của dữ liệu Thông thường nhiều biến số.)

n

$n$

2^{- n}

$2^{-n}$

— whuber

Không phải là câu trả lời cho câu hỏi được hỏi, nhưng lưu ý rằng nếu lần đầu tiên mô phỏng ma trận

với mỗi mục nhập iid bình thường và cùng kích thước của

, thì

đối xứng và xác định dương với xác suất 1.

L

$L$

N

$N$

N = L L^{T}

$N = LL^T$

— Cliff AB

Nếu ma trận của bạn được rút ra từ mục iid tiêu chuẩn bình thường, xác suất là dương tính-định là xấp xỉ $p_N\approx 3^{-N^2/4}$ , vì vậy ví dụ nếu $N=5$ , cơ hội là 1/1000, và đi xuống khá nhanh sau đó Bạn có thể tìm thấy một cuộc thảo luận mở rộng về câu hỏi này ở đây .

Bạn có thể phần nào hiểu được câu trả lời này bằng cách chấp nhận rằng phân phối eigenvalue của ma trận của bạn sẽ xấp xỉ hình bán nguyệt Wigner , đối xứng bằng không. Nếu giá trị riêng đều độc lập, bạn muốn có một $(1/2)^N$ cơ hội tích cực-tính xác định bởi logic này. Trong thực tế, bạn có hành vi $N^2$ , cả hai do mối tương quan giữa giá trị bản địa và các luật điều chỉnh độ lệch lớn của giá trị riêng, cụ thể là nhỏ nhất và lớn nhất. Cụ thể, giá trị riêng ngẫu nhiên rất nhiều giống như hạt mang điện tích, và không thích để được gần gũi với nhau, vì thế họ đẩy lùi mỗi khác (lạ đủ với các lĩnh vực tiềm năng giống như các hạt tích điện, $\propto 1/r$ , trong đó $r$ là khoảng cách giữa các giá trị riêng liền kề). Do đó, yêu cầu họ phải tích cực sẽ là một yêu cầu rất cao.

Ngoài ra, do các quy luật phổ quát trong lý thuyết ma trận ngẫu nhiên, tôi rất nghi ngờ xác suất $p_N$ ở trên có thể sẽ giống nhau về cơ bản đối với bất kỳ ma trận ngẫu nhiên "hợp lý" nào, với các mục iid có giá trị trung bình và độ lệch chuẩn.

— Alex R.
nguồn

Thật tốt khi biết nó rất thấp. Vì vậy, tôi sẽ không sử dụng lấy mẫu từ chối để tạo ma trận SPD trong tương lai.

— Haitao Du

@ hxd1011: nếu bạn đang cố gắng lấy mẫu ma trận SPD, tôi đề xuất phương pháp tôi đã mô tả trong các ý kiến trên. Ngoài ra, có thể hữu ích khi đọc về phân tách Cholesky

— Cliff AB

@CliffAB cảm ơn. Tôi thường tạo SPD dạng ma trận ma trận hiệp biến của một số dữ liệu hoặc từ

tương tự như những gì bạn đề nghị. Tôi đã có thời gian cố gắng tự đặt một số số vào một ma trận nhỏ có nghĩa là

và hy vọng nó là ma trận PD.

A^{'} A

$A'A$

2 \times 2

$2 \times 2$

— Haitao Du