Giới hạn phân phối nhị thức beta là nhị thức

Tôi đang cố gắng tìm hiểu mối quan hệ giữa phân phối nhị thức beta và nhị thức. Cụ thể hơn, tôi đang cố gắng chỉ ra rằng giới hạn của phân phối nhị thức beta, với là nhị thức khi đi đến vô cùng. Tôi gặp khó khăn khi hiển thị nó. Bất kỳ gợi ý hữu ích sẽ rất hữu ích.$p=a/(a+b)$$a+b$

Đối với điều này, tôi tin rằng tôi nên đưa giới hạn của hàm $\text{beta}(a,b)$ là $a+b$ đi đến vô cùng. Điều này có tồn tại? Theo một câu trả lời dưới đây không tồn tại. Tôi cũng ngần ngại sử dụng MGF vì nó có vẻ khó chịu.

Có ít nhất hai cách để thấy điều này.

---

Việc giải thích urn của phân phối có thể được hiển thị là

Phân phối nhị thức beta cũng có thể được thúc đẩy thông qua mô hình urn cho các giá trị nguyên dương của và , được gọi là mô hình urn Polya. Cụ thể, hãy tưởng tượng một chiếc bình chứa bóng đỏ và bóng đen , trong đó rút thăm ngẫu nhiên. Nếu quan sát thấy một quả bóng màu đỏ, thì hai quả bóng màu đỏ được đưa trở lại bình. Tương tự như vậy, nếu một quả bóng đen được rút ra, thì hai quả bóng đen được trả lại cho chiếc bình. Nếu điều này được lặp lại lần, thì xác suất quan sát k quả bóng màu đỏ tuân theo phân phối nhị thức beta với các tham số , và .$\alpha$$\beta$$\alpha$$\beta$$n$$n$$\alpha$$\beta$

Tuy nhiên, nếu không đáng kể so với số lượng bóng trong bình, việc thêm một vài quả bóng trở lại bình sẽ tạo ra sự khác biệt không đáng kể cho lần rút tiếp theo. Theo sau đó, phân phối chỉ đơn giản là bản vẽ với sự thay thế, đó là nhị thức.$n$

---

Từ quan điểm đại số, phân phối là

$${n \choose k} \frac{B(k + \alpha, n - k + \beta)}{B(\alpha, \beta)} .$$

Theo tính chất của hàm Beta

$$B(x + 1, y) = B(x, y) \frac{x}{x + y}, \\ B(x, y + 1) = B(x, y) \frac{y}{x + y}$$

Đặc biệt,

$$B(i + \alpha, n - k + \beta) = B(i - 1 + \alpha, n - k + \beta) \frac{i - 1 + \alpha}{i - 1 + n - k + \alpha + \beta},$$

và đối với , có tính đến chuỗi Taylor của :$\alpha, \beta$$\frac{1}{1 + x}$

$$\frac{i - 1 + \alpha}{i - 1 + n - k + \alpha + \beta} = \frac{i - 1 + \alpha}{\alpha} \frac{\alpha}{(\alpha + \beta) \left(1 + \frac{i - 1 + n - k}{\alpha + \beta}\right)} \sim \frac{i - 1 + \alpha}{\alpha} \frac{\alpha}{(\alpha + \beta)} \left(1 - \frac{i - 1 + n - k}{\alpha + \beta}\right) \sim \frac{\alpha}{(\alpha + \beta)} .$$

Tiếp tục điều này,

$$\frac{B(k + \alpha, n - k + \beta)}{B(\alpha, \beta)} \sim \frac{B(\alpha, \beta)}{B(\alpha, \beta)} \left( \frac{\alpha}{\alpha + \beta}\right)^k \left( \frac{\beta}{\alpha + \beta} \right)^{n - k} ,$$ và phân phối xấp xỉ nhị thức.