Có thể là 3 vectơ có tất cả các mối tương quan cặp âm?

16

Cho ba vectơ $a$ , $b$ và $c$ , có thể là mối tương quan giữa $a$ và $b$ , $a$ và $c$ , và $b$ và $c$ đều âm? Tức là điều này có thể?

\begin{aligned} corr (a, b) < 0 \\ corr (a, c) < 0 \\ corr (b, c) < 0 \end{aligned}

$\begin{align} \text{corr}(a,b) < 0\\ \text{corr}(a,c) < 0 \\ \text{corr}(b,c) < 0\\ \end{align}$

correlation correlation-matrix

— Anti A
nguồn

3

Các mối tương quan phủ định có nghĩa là về mặt hình học, các vectơ trung tâm cùng tạo ra các góc tù. Bạn sẽ không gặp vấn đề gì khi vẽ cấu hình ba vectơ trong mặt phẳng có thuộc tính này.

— whuber

Họ có thể không được hoàn toàn tương quan âm (

), nhưng nhìn chung có thể có một số tương quan tiêu cực, một lần nữa giới hạn được thiết lập bởi các mối tương quan khác.

ρ = - 1

$\rho=-1$

— karakfa

2

@whuber Nhận xét của bạn dường như mâu thuẫn với câu trả lời của Heikki Pulkkinen, người cho rằng không thể có vectơ trong máy bay. Nếu bạn đứng bên cạnh nó, bạn nên biến bình luận của bạn thành một câu trả lời.

— RM

2

@RM Không có mâu thuẫn giữa whuber và Heikki. Câu hỏi này hỏi về ma trận dữ liệu

có kích thước

. Thông thường chúng ta sẽ nói về

điểm dữ liệu theo 3 chiều, nhưng Q này đang nói về ba "vectơ" trong

chiều. Heikki nói rằng tất cả các tương quan tiêu cực không thể xảy ra nếu

(trên thực tế, hai điểm sau khi định tâm luôn hoàn hảo tương quan, vì vậy tương quan phải

và không thể là tất cả

). Whuber nói rằng 3 vectơ trong

chiều có hiệu quả có thể nằm trong không gian con 2 chiều (tức là

X

$X$

n \times 3

$n\times 3$

n

$n$

n

$n$

n = 2

$n=2$

\pm 1

$\pm 1$

- 1

$-1$

n

$n$

X

$X$ là hạng 2) và gợi ý để tưởng tượng một logo của Mercedes.

— amip nói rằng Phục hồi Monica

1

Liên quan: Giới hạn cho sự tương quan của ba biến ngẫu nhiên . (cc, @amoeba)

— gung - Tái lập Monica

19

Có thể nếu kích thước của vectơ là 3 hoặc lớn hơn. Ví dụ

\begin{aligned} a & = (- 1, 1, 1) \\ b & = (1, - 9, - 3) \\ c & = (2, 3, - 1) \end{aligned}

$\begin{align} a &= (-1, 1, 1)\\ b &= (1, -9, -3)\\ c &= (2, 3, -1)\\ \end{align}$

Các mối tương quan là

cor (a, b) = - 0.80... cor (a, c) = - 0.27... cor (b, c) = - 0.34...

$\begin{equation} \text{cor}(a,b) = -0.80...\\ \text{cor}(a,c) = -0.27...\\ \text{cor}(b,c) = -0.34... \end{equation}$

Chúng ta có thể chứng minh rằng đối với các vectơ có kích thước 2 thì điều này là không thể:

\begin{aligned} cor (a, b) & < 0 \\ 2 (\sum_{i} a_{i} b_{i}) - (\sum_{i} a_{i}) (\sum_{i} b_{i}) & < 0 \\ 2 (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}) - (a_{1} + a_{2}) (b_{1} b_{2}) & < 0 \\ 2 (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}) - (a_{1} + a_{2}) (b_{1} b_{2}) & < 0 \\ 2 (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}) - a_{1} b_{1} + a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + a_{2} b_{2} & < 0 \\ a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} - a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} & < 0 \\ a_{1} (b_{1} - b_{2}) + a_{2} (b_{2} - b_{1}) & < 0 \\ (a_{1} - a_{2}) (b_{1} - b_{2}) & < 0 \end{aligned}

$\begin{align} \text{cor}(a,b) &< 0\\[5pt] 2\Big(\sum_i a_i b_i\Big) - \Big(\sum_i a_i\Big)\Big(\sum_i b_i\Big) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - (a_1 + a_2)(b_1 b_2) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - (a_1 + a_2)(b_1 b_2) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - a_1 b_1 + a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_2 b_2 &< 0\\[5pt] a_1 b_1 + a_2 b_2 - a_1 b_2 + a_2 b_1 &< 0\\[5pt] a_1 (b_1-b_2) + a_2 (b_2-b_1) &< 0\\[5pt] (a_1-a_2)(b_1-b_2) &< 0 \end{align}$

Công thức làm cho tinh thần: nếu là lớn hơn , phải lớn hơn để thực hiện tiêu cực tương quan. $a_1$ $a_2$ $b_1$ $b_1$

Tương tự như vậy cho mối tương quan giữa (a, c) và (b, c) chúng ta nhận được

(a_{1} - a_{2}) (c_{1} - c_{2}) < 0 (b_{1} - b_{2}) (c_{1} - c_{2}) < 0

$\begin{equation} (a_1-a_2)(c_1-c_2) < 0\\ (b_1-b_2)(c_1-c_2) < 0\\ \end{equation}$

Rõ ràng, tất cả ba công thức này không thể giữ cùng một lúc.

— Heikki Pulkkinen
nguồn

3

Một ví dụ khác về những điều bất ngờ chỉ xảy ra ở chiều thứ ba trở lên.

— thứ n

1

2

$2$

\pm 1

$\pm1$

- 1

$-1$

9

Vâng, họ có thể.

Giả sử bạn có một phân phối bình thường nhiều biến số $X\in R^3, X\sim N(0,\Sigma)$ . Hạn chế duy nhất về $\Sigma$ is that it has to be positive semi-definite.

So take the following example $\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & -0.2 & -0.2 \\ -0.2 & 1 & -0.2 \\ -0.2 & -0.2 & 1 \end{pmatrix}$

Its eigenvalues are all positive (1.2, 1.2, 0.6), and you can create vectors with negative correlation.

— Kozolovska
nguồn

7

let's start with a correlation matrix for 3 variables

$\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & p & q \\ p & 1 & r \\ q & r & 1 \end{pmatrix}$

non-negative definiteness creates constraints for pairwise correlations $p,q,r$ which can be written as

p q r \geq \frac{p^{2} + q^{2} + r^{2} - 1}{2}

$pqr \ge \frac{p^2+q^2+r^2-1}2$

For example, if $p=q=-1$ , the values of $r$ is restricted by $2r \ge r^2+1$ , which forces $r=1$ . On the other hand if $p=q=-\frac12$ , $r$ can be within $\frac{2 \pm \sqrt{3}}4$ range.

Answering the interesting follow up question by @amoeba: "what is the lowest possible correlation that all three pairs can simultaneously have?"

Let $p=q=r=x < 0$ , Find the smallest root of $2x^3-3x^2+1$ , which will give you $-\frac12$ . Perhaps not surprising for some.

A stronger argument can be made if one of the correlations, say $r=-1$ . From the same equation $-2pq \ge p^2+q^2$ , we can deduce that $p=-q$ . Therefore if two correlations are $-1$ , third one should be $1$ .

— karakfa
nguồn

2

See stats.stackexchange.com/questions/72790/…, inter alia.

— whuber

2

A simple R function to explore this:

f <- function(n,trials = 10000){
  count <- 0
  for(i in 1:trials){
    a <- runif(n)
    b <- runif(n)
    c <- runif(n)
    if(cor(a,b) < 0 & cor(a,c) < 0 & cor(b,c) < 0){
      count <- count + 1
    }
  }
  count/trials
}

As a function of n, f(n) starts at 0, becomes nonzero at n = 3 (with typical values around 0.06), then increases to around 0.11 by n = 15, after which it seems to stabilize:

So, not only is it possible to have all three correlations negative, it doesn't seem to be terribly uncommon (at least for uniform distributions).

— John Coleman
nguồn