Phương sai của điện trở song song

10

Giả sử bạn có một bộ điện trở R, tất cả đều được phân phối với giá trị trung bình μ và phương sai.

Xét một phần của mạch có bố cục sau: (r) || (r + r) | | (r + r + r). Điện trở tương đương của mỗi phần là r, 2r và 3r. Phương sai của mỗi phần sau đó sẽ là $σ^2$ , $2σ^2$ , $3σ^2$ .

Phương sai trong điện trở của toàn bộ mạch là gì?

Sau khi lấy mẫu vài triệu điểm, chúng tôi thấy rằng phương sai xấp xỉ $.10286\sigma^2$ .

Làm thế nào chúng ta sẽ đi đến kết luận này một cách phân tích?

Chỉnh sửa: Các giá trị điện trở được giả sử là được phân phối bình thường với một số điện trở trung bình r và phương sai $σ^2$ .

probability sampling variance

— lrAndroid
nguồn

1

Tôi không tin đây là một mô hình thích hợp để bắt đầu. Bạn có quen thuộc với lý thuyết Nyquist-Johnson về nhiễu mạch nhiệt không? Nếu bạn cố tình làm điều gì đó khác biệt, sẽ rất thú vị khi thấy động lực. Mặt khác, nó có thể là giá trị nó để xem xét một mô hình tiêu chuẩn hơn. :)

— Đức hồng y

Vâng, trong khi tôi đang viết một nỗ lực của mình để trả lời, tôi cũng nhận ra rằng mô hình rõ ràng là không thể điều chỉnh được như nó đã được đặt ra. Tuy nhiên, tôi nghĩ rằng điều này giống như một vấn đề học thuật hơn là một vấn đề thực tế (rốt cuộc họ đang thực hiện mô phỏng).

— Néstor

Tôi xin lỗi vì có sigma là phương sai, ban đầu tôi đã sử dụng VAR và ai đó đã chỉnh sửa nó thành sigma.

— lrAndroid

Cảm ơn các cập nhật. Tôi vẫn quan tâm đến động lực đằng sau câu hỏi này, nếu bạn sẵn sàng thêm một chút vào câu hỏi đó. :)

— Đức hồng y

9

Điện trở tương đương của toàn bộ mạch giải quyết Người ta giả sử rằng , đối với một số biến ngẫu nhiên độc lập , có tâm và có phương sai . $R$

\frac{1}{R} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{R_{i}} .

$\frac1R=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{R_i}.$

R_{i} = i μ + σ \sqrt{i} Z_{i}

$R_i=i\mu+\sigma\sqrt{i}Z_i$

Z_{i}

$Z_i$

1

$1$

Nếu không có chỉ dẫn thêm, người ta không thể tính toán phương sai của , do đó, để đi xa hơn, chúng tôi xem xét chế độ trong đó Sau đó, do đó trong đó Người ta thấy rằng Hơn nữa, đó, trong giới hạn $R$

σ ≪ μ .

$\color{red}{\sigma\ll\mu}.$

\frac{1}{R_{i}} = \frac{1}{i μ} - \frac{σ}{μ^{2}} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} + higher order terms,

$\frac{1}{R_i}=\frac1{i\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}+\text{higher order terms},$

\frac{1}{R} = \frac{a}{μ} - \frac{σ}{μ^{2}} Z + higher order terms,

$\frac{1}{R}=\frac{a}{\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}Z+\text{higher order terms},$

a = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i} = \frac{11}{6}, Z = \sum_{i = 1}^{3} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} .

$a=\sum_{i=1}^{3}\frac1{i}=\frac{11}6,\qquad Z=\sum_{i=1}^{3}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}.$

E (Z) = 0, E (Z^{2}) = b, b = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i^{3}} = \frac{251}{216} .

$\mathrm E(Z)=0,\qquad\mathrm E(Z^2)=b,\qquad b=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac1{i^3}=\frac{251}{216}.$

R = \frac{μ}{a} - \frac{σ}{a^{2}} Z + higher order terms,

$R=\frac{\mu}a-\frac{\sigma}{a^2}Z+\text{higher order terms},$

σ \to 0

$\sigma\to0$ , và Những bất đối xứng này của và có thể được khái quát hóa cho bất kỳ số điện trở nào song song, mỗi điện trở là kết quả của điện trở sơ cấp trong chuỗi, các điện trở cơ bản là độc lập và mỗi điện trở có nghĩa là và phương sai . Sau đó, khi , ở đâu

E (R) \approx \frac{μ}{a} = \frac{6}{11} μ,

$\mathrm E(R)\approx\frac{\mu}a=\frac6{11}\mu,$

Var (R) \approx σ^{2} \cdot \frac{b}{a^{4}} = σ^{2} \cdot {(\frac{6}{11})}^{4} \cdot \frac{251}{216} = σ^{2} \cdot 0.10286 \dots

$\text{Var}(R)\approx\sigma^2\cdot\frac{b}{a^4}=\sigma^2\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^4\cdot\frac{251}{216}=\sigma^2\cdot0.10286\ldots$

E (R)

$\mathrm E(R)$

Var (R)

$\text{Var}(R)$

n_{i}

$n_i$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ \to 0

$\sigma\to0$

E (R) \to \frac{μ}{a}, σ^{- 2} Var (R) \to \frac{b}{a^{4}},

$\mathrm E(R)\to\frac{\mu}a,\quad \sigma^{-2}\text{Var}(R)\to\frac{b}{a^4},$

a = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}}, b = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}^{3}} .

$a=\sum_i\frac1{n_i},\quad b=\sum_i\frac1{n_i^3}.$

— Đã làm
nguồn

8

Tôi không nghĩ câu trả lời chính xác chỉ phụ thuộc vào và . Khi bạn lấy mẫu, tôi cho rằng bạn phải sử dụng một số phân phối cụ thể - có thể là phân phối bình thường? Trong mọi trường hợp, chúng ta có thể tính giá trị trung bình và phương sai của điện trở của mạch theo phương pháp gần đúng tuyến tính, và sau đó dạng chính xác của phân phối là không liên quan. $\mu$ $\sigma^2$

Điện trở của mạch là . Trong xấp xỉ tuyến tính, giá trị trung bình và phương sai của nghịch đảo của một biến ngẫu nhiên có trung bình và phương sai là và . Do đó, chúng tôi có tổng các thuật ngữ có nghĩa là , và và phương sai , và , tương ứng với giá trị trung bình của và phương sai của $\left(R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}\right)^{-1}$ $\mu$ $\sigma^2$ $1/\mu$ $\sigma^2/\mu^4$ $1/\mu$ $1/(2\mu)$ $1/(3\mu)$ $\sigma^2/\mu^4$ $\sigma^2/(8\mu^4)$ $\sigma^2/(27\mu^4)$ $\frac{11}6/\mu$ $\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4$ . Sau đó, lấy đối ứng của nó mang lại giá trị trung bình của và phương sai của , phù hợp với kết quả của bạn. $\frac6{11}\mu$ $\left(\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4\right)/\left(\frac{11}6/\mu\right)^4=\frac{1506}{14641}\sigma^2\approx0.10286\sigma^2$

— joriki
nguồn

Tất nhiên, điều này là giả sử rằng các điện trở là các biến ngẫu nhiên độc lập.

@Robert: Có (các điện trở, đúng hơn). Điều đó đã được giả định trong tính toán phương sai , và trong câu hỏi, và nó có ý nghĩa vật lý (mặc dù nếu chúng ta lấy tất cả các điện trở từ cùng một đợt sản xuất, thì điện trở của chúng sẽ tương quan với nhau ).

σ

$\sigma$

2 σ

$2\sigma$

3 σ

$3\sigma$

— joriki

Trong một thiết kế thực tế, tất nhiên, các điện trở khác xa các rvs độc lập. Trên thực tế, nhiều công việc đi vào bố cục để làm cho một số nhóm yếu tố theo dõi nhau (được gọi là '' khớp ', không có gì đáng ngạc nhiên).

1

Bạn có đang sử dụng không? Tôi quen với việc này được viết là .

σ = E (X - E X)^{2}

$\sigma = E (X-EX)^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

@ đồng.hat: Bạn hoàn toàn đúng về , tất nhiên - Tôi đã sử dụng ký hiệu được sử dụng trong câu hỏi mà không cần suy nghĩ.

σ^{2}

$\sigma^2$

— joriki

5

Điều này phụ thuộc vào hình dạng của phân phối cho điện trở. Không biết phân phối, tôi thậm chí không thể nói mức kháng cự trung bình, mặc dù tôi nghĩ rằng có những hạn chế.

Vì vậy, hãy chọn một phân phối có thể kéo được: Gọi độ lệch chuẩn của điện trở của một điện trở. Đặt điện trở là , với mỗi dấu xảy ra với xác suất . Điều này cho chúng ta trường hợp để xem xét hoặc nếu chúng ta kết hợp một số trường hợp. Tất nhiên chúng ta sẽ cho rằng các điện trở là độc lập. $s$ $\mu \pm s$ $1/2$ $2^6 = 64$ $2 \times 3 \times 4=24$

Nếu chúng ta chọn và thì giá trị trung bình là (thấp hơn một chút so với ) và phương sai là . Nếu chúng ta chọn và , thì phương sai là . $\mu = 100$ $s=1$ $54.543291$ $100 \times \frac{6}{11}$ $0.102864$ $\mu = 5$ $s=1$ $0.103693$

Dưới đây là mở rộng chuỗi lũy thừa cho các tỷ lệ giữa các phương sai khi giá trị trung bình là và phương sai là : . Khi nhỏ, thuật ngữ trội là . $1$ $x$ $\frac{1506}{14641} + \frac{36000}{1771561}x + \frac{218016}{19487171}x^2 + O(x^3)$ $x$ $\frac{1506}{14641} = 0.102862$

Mặc dù câu hỏi bạn hỏi về mặt kỹ thuật phụ thuộc vào phân phối, nhưng bạn có thể quan tâm đến các tình huống có độ lệch chuẩn nhỏ so với giá trị trung bình và tôi nghĩ có giới hạn được xác định rõ không phụ thuộc vào phân phối. Tuyến tính hóa sự phụ thuộc của điện trở của mạch như là một hàm của điện trở của mỗi phần:

C = \frac{1}{1 / R_{1} + 1 / (R_{2} + R_{3}) + 1 / (R_{4} + R_{5} + R_{6})}

$C = \frac {1}{1/R_1 + 1/(R_2+R_3) + 1/(R_4 + R_5 + R_6)}$

\approx \frac{6}{11} μ + \sum_{i = 1}^{6} (R_{i} - μ) \frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ)

$\approx \frac{6}{11} \mu + \sum_{i=1}^6 (R_i - \mu)\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)$

∴ Var (C) \approx \sum_{i = 1}^{6} Var (R_{i}) (\frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ))^{2}

$\therefore \text{Var}(C) \approx \sum_{i=1}^6 \text{Var}(R_i)\bigg(\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)\bigg)^2$

Với mạch cụ thể này, các đạo hàm riêng được chia tỷ lệ là và $\frac {36}{121}, \frac{9}{121} ,\frac{9}{121}, \frac{4}{121},\frac{4}{121},\frac{4}{121}$

(\frac{36}{121})^{2} + 2 (\frac{9}{121})^{2} + 3 (\frac{4}{121})^{2} = \frac{1506}{14641} = 0.102862

$\bigg(\frac{36}{121}\bigg)^2 + 2\bigg(\frac{9}{121}\bigg)^2 + 3\bigg(\frac{4}{121}\bigg)^2 = \frac{1506}{14641} = 0.102862$

— Douglas Zare
nguồn

1

Điều này làm tôi nhớ đến định lý delta đa biến, tức là có nghĩa là và variance , sau đó nên có phương sai tiệm cận là , trong đó và . Câu trả lời cuối cùng giống như @Doumund Zare và OP, đó là 0.1028 .

R_{1}, R_{2}, R_{3}

$R_1,R_2,R_3$

μ, 2 μ, 3 μ

$\mu,2\mu,3\mu$

σ^{2}, 2 σ^{2}, 3 σ^{2}

$\sigma^2, 2\sigma^2, 3\sigma^2$

g (R_{1}, R_{2}, R_{3}) = ((1 / R_{1}) + (1 / R_{2}) + (1 / R_{3}))^{- 1}

$g(R_1,R_2,R_3) = ((1/R_1)+(1/R_2)+(1/R_3))^{-1}$

\nabla g (μ) Σ \nabla g (μ)^{'}

$\nabla g(\mu)\Sigma\nabla g(\mu)'$

\nabla g (μ) = (\frac{36}{121}, \frac{9}{121}, \frac{4}{121})

$\nabla g(\mu) = (\frac{36}{121},\frac{9}{121},\frac{4}{121})$

Σ = \[(\begin{array}{ccc} . σ^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 2 σ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 σ^{2} \end{array}) \]

$\Sigma = \[ \left( \begin{array}{ccc}. \sigma^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sigma^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\sigma^2 \end{array} \right)\]$

σ^{2}

$\sigma^2$

— VitalStatistix

1

Tôi cảnh báo rằng, như tôi đã lý luận, đây là một câu trả lời dài , nhưng có lẽ ai đó có thể đưa ra một cái gì đó tốt hơn bắt đầu từ nỗ lực của tôi (có thể không tối ưu). Ngoài ra, tôi đã đọc sai câu hỏi OP ban đầu và nghĩ rằng nó nói rằng các điện trở thường được phân phối. Dù sao tôi cũng sẽ để lại câu trả lời, nhưng đó là một giả định cơ bản.

1. Lý luận vật lý của vấn đề

Lý do của tôi là như sau: nhắc lại rằng, đối với các điện trở nằm song song, điện trở tương đương được đưa ra bởi: $R_{eq}$

R_{e q}^{- 1} = \sum_{i}^{N} \frac{1}{R_{i}},

$R_{eq}^{-1}=\sum_{i}^{N}\frac{1}{R_i},$

Trong đó là điện trở của từng phần của mạch. Trong trường hợp của bạn, điều này mang lại cho chúng tôi $R_i$

R_{e q} = {(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}})}^{- 1}, (*)

$R_{eq}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)^{-1},\ \ \ (*)$ trong đó là một phần của mạch có 1 điện trở và do đó có phân phối bình thường với trung bình và phương sai và với cùng lý do là điện trở tương đương của một phần của mạch có hai điện trở và cuối cùng, là điện trở tương đương của phần của mạch có ba điện trở. Bạn nên tìm phân phối của và từ đó có được phương sai của nó.

R_{1}

$R_1$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

R_{2} \sim N (2 μ, 2 σ^{2})

$R_2\sim N(2\mu,2\sigma^2)$

R_{3} \sim N (3 μ, 3 σ^{2})

$R_3\sim N(3\mu,3\sigma^2)$

R_{e q}

$R_{eq}$

2. Lấy phân phối của $R_{eq}$

Một cách để tìm phân phối là bằng cách lưu ý rằng: Từ đây, chúng tôi cũng lưu ý rằng chúng tôi có thể viết (được lấy thông qua Định lý Bayes), giả sử tính độc lập giữa , và (có thể hợp lý về mặt vật lý), có thể được viết là Thay thế điều này trong và lưu ý rằng một hậu quả khác của sự độc lập giữa ba điện trở là

p (R_{e q}) = \int p (R_{e q}, R_{1}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} . (1)

$p(R_{eq})=\int p(R_{eq},R_1,R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)p(R_{eq},R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3.\ \ \ (1)$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3})

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq},R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq}|R_3)p(R_3)$

R_{1}

$R_1$

R_{2}

$R_2$

R_{3}

$R_3$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) .

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3).$

(1)

$(1)$

p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{1} | R_{e q})

$p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)=p(R_1|R_{eq})$ , chúng tôi nhận được: Vấn đề cuối cùng của chúng tôi là tìm , tức là phân phối của rv . Vấn đề này tương tự như vấn đề chúng tôi tìm thấy ở đây, ngoại trừ việc bây giờ bạn thay thế trong eq. bởi một hằng số, giả sử, . Theo các đối số tương tự như trên, bạn có thể thấy rằng Rõ ràng phần còn lại là thay thế các bản phân phối đã biết, ngoại trừ một vấn đề nhỏ: phân phối có thể được lấy từ bằng cách lưu ý rằng

p (R_{e q}) = \int p (R_{1} | R_{e q}) p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{3} . (2)

$p(R_{eq})=\int p(R_1|R_{eq})p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_3.\ \ \ (2)$

p (R_{e q} | R_{3})

$p(R_{eq}|R_3)$

R_{e q} | R_{3}

$R_{eq}|R_3$

R_{3}

$R_3$

(*)

$(*)$

r_{3}

$r_3$

p (R_{e q} | R_{3}) = \int p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) p (R_{2}) d R_{2} . (3)

$p(R_{eq}|R_3)=\int p(R_{eq}|R_2,R_3)p(R_2)dR_2.\ \ \ (3)$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

(*)

$(*)$

X_{1}

$X_1$ là gaussian, vì vậy, về cơ bản, bạn cần tìm phân phối của biến ngẫu nhiên trong đó và là hằng số, và là gaussian với trung bình và phương sai . Nếu tính toán của tôi là chính xác, phân phối này là: trong đó, vì vậy phân phối của sẽ là

W = {(\frac{1}{X} + a + b)}^{- 1},

$W=\left(\frac{1}{X}+a+b\right)^{-1},$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

p (W) = \frac{1}{[1 - W (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (W) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(W)=\frac{1}{[1-W(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(W)-\mu}{2\sigma^2}\right),$

X (W) = \frac{1}{W^{- 1} - a - b},

$X(W)=\frac{1}{W^{-1}-a-b},$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) = \frac{1}{[1 - R_{e q} (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (R_{e q}) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(R_{eq}|R_2,R_3)=\frac{1}{[1-R_{eq}(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(R_{eq})-\mu}{2\sigma^2}\right),$ trong đó và . Có một điều là tôi không biết liệu điều này có thể phân tích được để giải tích phân trong phương trình , điều này sẽ dẫn chúng ta giải quyết poblem bằng cách thay thế kết quả của nó trong phương trình . Ít nhất với tôi vào thời điểm này trong đêm thì không.

a = 1 / R_{2}

$a=1/R_2$

b = 1 / R_{3}

$b=1/R_3$

(3)

$(3)$

(2)

$(2)$

— Néstor
nguồn

Bạn đang giả sử một phân phối bình thường, mặc dù sức đề kháng không thể âm? Tôi đoán là điều này sẽ làm cho phương sai của mạch phân kỳ.

— Douglas Zare

1

Tôi biết, điều đó cũng làm tôi bối rối, nhưng trong thực tế, nó thực sự phụ thuộc vào các giá trị của và . Nếu và , thì chúng ta có thể "lưu" mô hình. Trong điều kiện bình thường, độ phân tán của điện trở không cao lắm, do đó, giả định cuối cùng được đáp ứng rõ ràng. Đây là điều ban đầu làm phiền tôi khi mọi người mô hình chiều cao như một biến ngẫu nhiên bình thường, nhưng với cùng lý do mà tôi đưa ra ở đây, một số người ở đây tại Stack-exchange khiến tôi cảm thấy ổn với nó :-).

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ >> 0

$\mu>>0$

μ >> σ

$\mu>>\sigma$

— Néstor

Hmm, tôi nghĩ rằng mô hình chiều cao như bình thường là xấu đến mức tôi sử dụng nó như một ví dụ về phân phối rõ ràng là không bình thường. Tôi cho rằng nó có thể không khủng khiếp nếu bạn có một quần thể đàn ông trưởng thành khỏe mạnh từ cùng một nền tảng di truyền. Tuy nhiên, tôi muốn nghe từ một nhà sinh vật học rằng điều này là ổn. Lý do tôi thường nghe nói rằng kích thước của mỗi xương là độc lập là vô nghĩa.

— Douglas Zare

Tôi chỉ nhận ra rằng các điện trở không được phân phối bình thường (tôi có thể thề rằng tôi đã đọc chúng ở đâu trên câu trả lời OP ban đầu, nhưng tôi nghĩ đó chỉ là trí tưởng tượng của tôi).

— Néstor