Cạnh tranh nhị thức âm

8

Tôi đang lăn một cái chết công bằng. Phân phối xác suất của số lượng cuộn cho đến khi tôi tích lũy lần đầu tiên: 1) Năm lần 2) 20 lần xuất hiện của các khuôn mặt không phải là một?

Tôi rất vui được chia sẻ ứng dụng thực tế nếu điều đó có ích.

probability negative-binomial

— Alec Walker
nguồn

1

Điều này có một ứng dụng nào khác ngoài việc đạt điểm cao trong bài tập về nhà hoặc bài kiểm tra về nhà không?

— Mark L. Stone

3

Lấy làm tiếc. Tôi nghĩ rằng tôi đã hiểu sai bản chất của trang web. Tôi không phải là một sinh viên cũng không phải là một nhà thống kê chuyên nghiệp. Tôi đang tìm kiếm lời khuyên về một vấn đề thực tế.

— Alec Walker

Nó được chọn theo cách khiến nó trông giống như một vấn đề trong sách giáo khoa, và điều đó thường sẽ khiến mọi người nghĩ rằng bạn đang cố gắng khiến mọi người làm bài tập về nhà. Tuy nhiên, không phải vì lý do đó mà tốt hơn hết là đừng quá trừu tượng (sách giáo khoa) vấn đề - thường có những khía cạnh của vấn đề ban đầu có thể quan trọng trong việc xem xét một giải pháp mà một người đăng, không biết có thể có bất kỳ vấn đề nào vấn đề thống kê liên quan đến nó, chỉ đơn giản là trừu tượng hóa và sau đó không còn dấu vết.

— Glen_b -Reinstate Monica

11

Bạn đang thực hiện tương đương với việc ném một đồng xu với xác suất đầu cho đến khi đầu hoặc đuôi ("không phải đầu") đã xuất hiện. Nếu bạn đã ném nó lần, khả năng sự kiện này không xảy ra được phân phối theo Binomial như $p=1/6$ $a=5$ $b=20$ $n$

S (n; một, b, p) = = Σ_{k = = tối đa (0, n - b + 1)}^{tối thiểu (n, một - 1)} (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} .

$S(n;a,b,p) = \sum_{k=\max(0,n-b+1)}^{\min(n,a-1)} \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}.$

(Tổng bằng 0 bất cứ khi nào giới hạn dưới của nó vượt quá giới hạn trên của nó.)

Do đó, khả năng là cú ném khi đầu hoặc đuôi được quan sát lần đầu tiên là $n\gt 0$ $a$ $b$

f (n; một, b, p) = = S (n - 1; một, b, p) - S (n; một, b, p) .

$f(n;a,b,p) = S(n-1;a,b,p) - S(n;a,b,p).$

Rõ ràng điều này phải bằng cho hoặc . Do đó, chúng tôi có thể dễ dàng báo cáo toàn bộ phân phối: đây là biểu đồ của hàm xác suất trong khoảng từ đến như được tính theo các công thức sau: $0$ $n \lt \min(a,b)$ $n \ge a+b$ $f$ $0$ $a+b=25,$

Giải pháp đơn giản này thậm chí còn trở nên đơn giản hơn (và mang lại thông tin bổ sung về việc các ném kết thúc bằng đầu hoặc đuôi ) khi chúng ta nhận ra câu hỏi có thể được đóng khung như một bước đi ngẫu nhiên trong mặt phẳng . $a$ $b$ $(x,y)$

Bắt đầu từ gốc . Bất cứ khi nào đồng xu xuất hiện, hãy di chuyển một đơn vị lên; nếu không, di chuyển một đơn vị sang phải. Dừng lần đầu tiên một trong những rào cản hấp thụ hoặc bị tấn công. $(0,0)$ $y=a$ $x=b$

Hình dạng của tình huống này được hiển thị trong hình thứ hai. Nó vẽ các điểm có thể đạt được trên lối đi này, cho thấy các rào cản hấp thụ là các đường màu đen. Các điểm cuối có thể dọc theo các rào cản được đánh dấu bằng các chấm đen.

Số lần mỗi điểm thiết bị đầu cuối đạt được trong 1000 lần lặp của bước đi này được mô tả bằng màu sắc và kích thước của các điểm lớn hơn. Đường dẫn hiển thị màu đỏ tương ứng với một chuỗi trong đó một đuôi được quan sát, sau đó một đầu, sau đó 10 đuôi, một đầu, một đuôi, hai đầu, bốn đuôi và một đầu. Nó bao gồm 21 đồng xu tung hoàn toàn.

Mỗi đường dẫn đến bất kỳ điểm cụ thể nào trên hàng rào hấp thụ bao gồm đuôi và đầu và do đó có cơ hội . Rõ ràng, kết quả cuối cùng trong bất kỳ con đường nào chấm dứt tại là một cái đầu. Do đó, số lượng các đường dẫn như vậy là số lượng các đường dẫn riêng biệt nối từ đến , trong đó có . Do đó, cơ hội chấm dứt tại là $(x,y)$ $x$ $y$ $p^y(1-p)^x$ $(x,a)$ $(0,0)$ $(x,a-1)$ $\binom{x+a-1}{a-1}$ $(x,a)$

Pr (x, một) = = (\binom{x + một - 1}{một - 1}) p^{một} (1 - p)^{x} .

$\Pr(x,a) = \binom{x+a-1}{a-1} p^{a}(1-p)^x.$

Tương tự như cơ hội chấm dứt tại là $(b,y)$

Pr (b, y) = = (\binom{y + b - 1}{b - 1}) p^{y} (1 - p)^{b} .

$\Pr(b,y) = \binom{y+b-1}{b-1} p^y(1-p)^b.$

Cơ hội kết thúc sau bước, với , do đó là tổng của hai biểu thức như vậy (một trong số đó có thể bằng 0): $n$ $\min(a,b)\le n \lt a+b-1$

f (n; một, b, p) = = (\binom{n - 1}{một - 1}) p^{một} (1 - p)^{n - một} + (\binom{n - 1}{b - 1}) p^{n - b} (1 - p)^{b} nếu tối thiểu (một, b) \leq n < một + b .

$f(n;a,b,p) = \binom{n-1}{a-1} p^a(1-p)^{n-a} + \binom{n-1}{b-1} p^{n-b}(1-p)^b\text{ if }\min(a,b)\le n \lt a+b.$

Điều này đếm số lượng đường dẫn bước tới hàng rào hấp thụ ở trên cùng hoặc bên phải, tương ứng, làm trọng số của từng đường theo xác suất của nó. $n$

Bước nhảy vọt về xác suất đột ngột ở trong hình đầu tiên hiện được giải thích: $n=20$ lần đầu tiên (so với các giá trị nhỏ hơn của ), có thể kết thúc các cú ném ở hàng rào tay phải. Điều này xảy ra trong một số lượng lớn các trường hợp, bởi vì (rất ít) nhiều khả năng sẽ đạt được rào cản đúng trước khi rào cản trên cùng. (Cơ hội đạt được rào cản đúng trước tiên có thể dễ dàng tìm thấy bằng cách tổng hợp các xác suất liên quan đến năm điểm của nó, gần bằng .) Chúng tôi biết rằng việc kết thúc việc đi bộ ở đúng rào cản là có thể xảy ra hơn vì trung bình một con đường sẽ tăng theo một đơn vị thời gian nhưng sẽ di chuyển sang bên phải một đơn vị $n$ $63\%$ $p=1/6$ $1-p=5/6$ của thời gian, cho độ dốc trung bình . Một đường dẫn có độ dốc đó đến vùng hấp thụ tại vị trí : trên hàng rào tay phải. $1/6:5/6 = 1/5$ $(20, 20/5)=(20,4)$

— whuber
nguồn

1

Đáng yêu, cả hai giải pháp. Thứ hai trông giống như tổng của hai nhị thức âm thành phần, trong phạm vi tối thiểu (a, b) ≤n <a + b,

— Alec Walker

Nó làm. Sự kết nối càng trở nên rõ ràng hơn khi bạn diễn giải một nhị thức âm theo cách đi ngẫu nhiên với một rào cản hấp thụ tuyến tính.

— whuber

0

Đã ngủ trên đó, tôi nghĩ rằng chiến lược có thể là thế này:

Chuyển đổi từng phân phối xác suất nhị thức âm sang xác suất có điều kiện. tức là có điều kiện khi không nhận được 5 cái trong cuộn n-1, xác suất để có được cái thứ 5 trong cuộn thứ n là bao nhiêu?

Từ n = 1 đến đủ lớn,

tổng hai xác suất có điều kiện và nhân số bù với S (n-1), "tỷ lệ sống" tích lũy qua cuộn thứ (n-1).
Lấy các khác biệt liên tiếp S (n-1) -S (n) để phục hồi phân phối xác suất.

Các thiết lập là một giám sát so sánh an toàn của các sản phẩm y tế thị trường. Bạn có hai nhóm so sánh, có thể có kích thước không đồng đều, theo sau theo thời gian. Mỗi sự kiện bất lợi là một thử nghiệm nhị thức, vì sự kiện này có thể xuất phát từ thuốc A hoặc thuốc B.

— Alec Walker
nguồn

Mặc dù cách tiếp cận này được mô tả quá mơ hồ để đánh giá, nhưng có lẽ nó không đưa ra câu trả lời hoàn toàn đúng, bởi vì sự kết hợp các mục tiêu như vậy trong các thủ tục tuần tự có xu hướng liên quan đến sự tinh tế phản trực giác. Xem thống kê.stackexchange.com/questions/12174 để biết khái quát về câu hỏi của bạn.

— whuber

Không chỉ mơ hồ, mà còn sai! Cảm ơn bạn đã giải thích sáng suốt của bạn.

— Alec Walker