Những hình thức phân phối nào mang lại kỳ vọng của Pythagore

Đặt và là các biến ngẫu nhiên liên tục độc lập được tạo từ cùng một dạng phân phối không xác định nhưng có phụ cấp cho các giá trị tham số khác nhau. Tôi quan tâm đến việc tìm một hình thức phân phối tham số mà xác suất lấy mẫu sau giữ cho tất cả các giá trị tham số cho phép:$X \sim \text{Dist}(\theta_X)$$Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$

$$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$$

Câu hỏi của tôi: Bất cứ ai cũng có thể cho tôi biết một hình thức phân phối liên tục mà cái này giữ? Có bất kỳ điều kiện chung (không tầm thường) dẫn đến điều này?

Suy nghĩ sơ bộ của tôi: Nếu bạn nhân cả hai tham số với bất kỳ hằng số khác không thì xác suất vẫn không thay đổi, do đó, có nghĩa là là một loại tham số tỷ lệ.$\theta$

Nếu chúng ta lấy hai biến ngẫu nhiên theo cấp số nhân chúng ta sẽ nhận được và Bây giờ, nếu sau đóP ( X > Y | Y = y ) = exp { - θ X y } E Y [ exp { - θ X Y } ] = ∫ ∞ 0 exp { - θ X y

$$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$$ $$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$$ $$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$$ $$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$$ $$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$$

Một câu hỏi thú vị hơn là liệu đây có phải là trường hợp phân phối duy nhất có thể hoạt động hay không. (Ví dụ, đây là yếu tố duy nhất của họ Gamma mà nó hoạt động.) Giả sử cấu trúc gia đình tỷ lệ, cần và đủ về mật độ cơ bản của và là $f$$X$$Y$

$$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$$

Nhưng câu trả lời chung chung là không: như đã lưu ý trong câu trả lời của @soakley , điều này cũng hoạt động với Weibulls, điều này không gây ngạc nhiên vì cho tất cả (và Weibull là sức mạnh của cấp số nhân). Do đó, một lớp ví dụ tổng quát hơn được cung cấp bởi cho tất cả các hàm tăng nghiêm ngặt , trong đó là số mũ như trên, kể từ đó chúng ta có

$$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$$ $\alpha>0$ $$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$$ $\phi$$X,Y$ $$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$$

Nếu là Weibull và là một Weibull độc lập , trong đó alpha là tham số hình dạng và betas là tham số tỷ lệ, thì được biết rằng$X$$\left( \alpha,\beta_1 \right)$$Y$$\left( \alpha, \beta_2 \right)$

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$$

Điều này có thể được bắt nguồn theo cách tiếp cận tương tự được đưa ra trong câu trả lời của Xi'an.

Bây giờ hãy cho cả và . Nếu có tham số tỷ lệ và có tham số tỷ lệ chúng ta có$\alpha=2$$X$$Y$$X$$\theta_X$$Y$$\theta_Y,$

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$$