Phân phối chung 3D có thể được xây dựng lại bằng các lề 2D không?

Giả sử chúng ta biết p (x, y), p (x, z) và p (y, z), có đúng là phân phối chung p (x, y, z) có thể xác định được không? Tức là, chỉ có một p (x, y, z) có thể có biên trên?

distributions mathematical-statistics

— người dùng1466742
nguồn

Liên quan: Có thể có một cặp biến ngẫu nhiên Gaussian mà phân phối chung không phải là Gaussian? (Điều đó liên quan đến mối quan hệ 2D và tỷ lệ 1D, nhưng câu trả lời & trực giác cuối cùng là giống nhau, cộng với những hình ảnh trong câu trả lời của @ Cardinal rất đẹp.)

— gung - Tái lập Monica

@gung Mối quan hệ có phần xa vời. Sự tinh tế đằng sau câu hỏi này là suy nghĩ rằng một copula chỉ cho chúng ta làm thế nào để phát triển các phân phối bivariate với các lề đã cho. Nhưng nếu chúng ta chỉ định ba biên hai biến cho phân phối tầm thường, thì phải có các ràng buộc bổ sung khá nghiêm trọng đối với phân phối tầm thường đó: các biên đơn biến phải nhất quán. Câu hỏi sau đó là liệu những ràng buộc này có đủ để xác định phân phối tầm thường hay không. Điều này làm cho nó một câu hỏi vốn có nhiều hơn hai chiều.

— whuber

@whuber, tôi hiểu bạn nói rằng lề 2D có nhiều ràng buộc hơn so với lề 1D, điều này là hợp lý. Quan điểm của tôi là trong cả hai câu trả lời là các biên không thể đủ hạn chế phân phối chung, và câu trả lời của Đức Hồng Y ở đó làm cho vấn đề rất dễ thấy. Nếu bạn nghĩ rằng điều này là quá nhiều gây xao lãng, tôi có thể xóa những bình luận này.

— gung - Phục hồi Monica

@gung Tôi đang cố gắng nói điều gì đó hoàn toàn khác biệt và không dễ để thấy (trừ khi bạn rất giỏi trong việc trực quan hóa 3D). Bạn có nhớ hình ảnh bìa của Godstad, Escher, Bach không? (Nó dễ dàng được tìm thấy bởi Googling; có lẽ tôi sẽ mở rộng câu trả lời của mình để đưa nó vào.) Sự tồn tại của hai chất rắn khác nhau với các hình chiếu giống hệt nhau trên các trục tọa độ là khá tuyệt vời. Điều này ghi lại ý tưởng rằng một tập hợp đầy đủ các "khung nhìn" 2D trực giao của một đối tượng 3D không nhất thiết phải xác định đối tượng. Đó là mấu chốt của vấn đề.

— whuber

@Gung cho phép tôi thử thêm một lần nữa. Có, ý tưởng rằng các biên không xác định đầy đủ phân phối là phổ biến cho cả hai trường hợp. Sự phức tạp trong cái này - cái mà tôi tin rằng nó làm cho nó khác với cái kia - là các lề trong tình huống hiện tại không có nghĩa là độc lập: mỗi lề 2D xác định hai lề 1D cũng như mối quan hệ mạnh mẽ giữa chúng lề. Về mặt khái niệm, sau đó, câu hỏi này có thể được gọi lại là "tại sao không phải là sự phụ thuộc trong các biên 2D '' bắc cầu 'hoặc' tích lũy 'theo nghĩa xác định phân phối 3D đầy đủ?"

— whuber

Câu trả lời:

Số Có lẽ những mối quan tâm phản ví dụ đơn giản nhất sự phân bố của ba độc lập biến , mà tất cả tám kết quả có thể từ thông qua là đều có khả năng. Điều này làm cho tất cả bốn phân phối biên đồng nhất trên $\text{Bernoulli}(1/2)$ $X_i$ $(0,0,0)$ $(1,1,1)$ . $\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$

Hãy xem xét các biến ngẫu nhiên được phân phối đồng đều trên tập . Những cái này có cùng lề với $(Y_1,Y_2,Y_3)$ $\{(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,1,1)\}$ . $(X_1,X_2,X_3)$

Trang bìa của Godel, Escher, Bach gợi ý về các khả năng của Douglas Hofstadter .

Ba hình chiếu trực giao (bóng) của mỗi chất rắn này trên các mặt phẳng tọa độ là như nhau, nhưng chất rắn rõ ràng là khác nhau. Mặc dù bóng không hoàn toàn giống với phân phối cận biên, chúng hoạt động theo cách tương tự để hạn chế, nhưng không hoàn toàn xác định , đối tượng 3D tạo ra chúng.

— whuber
nguồn

Tất nhiên là +1, nhưng nếu tôi nhớ chính xác,

quay trở lại Bernstein và thậm chí có thể sớm hơn. Tôi đã sử dụng nó rộng rãi trong quá khứ để thảo luận về cổng logic Exclusive-OR trong đó các sự kiện mà đầu vào là 1 và đầu ra là 1 là các sự kiện độc lập theo cặp (đối với các đầu vào có khả năng bằng 0 hoặc 1) nhưng chúng không độc lập lẫn nhau sự kiện

Y 1, Y 2, Y 3

$Y1,Y2,Y3$

— Dilip Sarwate

Trong cùng một tinh thần như câu trả lời của whuber,

Hãy xem xét các biến cùng nhau liên tục ngẫu nhiên với hàm mật độ khớp $U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

$U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ are pairwise independent random variables: in fact, independent standard normal random variables (and thus pairwise jointly normal random variables). In short, $U,V,W$ are an example of pairwise independent but not mutually independent standard normal random variables. See this answer of mine for more details.

In contrast, if $X,Y,Z$ are mutually independent standard normal random variables, then they are also pairwise independent random variables but their joint density is

\begin{matrix} (2) & f_{X, Y, Z} (u, v, w) = ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w), u, v, w \in R \end{matrix}

$f_{X,Y,Z}(u,v,w) = \phi(u)\phi(v)\phi(w), ~~u,v,w \in \mathbb R \tag{2}$ which is not the same as the joint density in

(1)

$(1)$ . So, NO, we cannot deduce the trivariate joint pdf from the bivariate pdfs even in the case when the marginal univariate distributions are standard normal and the random variables are pairwise independent.

— Dilip Sarwate
nguồn

You're basically asking if CAT reconstruction is possible using only images along the 3 main axes.

It is not... otherwise that's what they would do. :-) See the Radon transform for more literature.

— user541686
nguồn

I like the analogy. Two aspects are troubling, though. One is the logic: just because the Radon transform (or some other technique) uses more data than the three marginals does not logically imply it really needs all those data. Another problem is that CT scans are inherently two-dimensional: they reconstruct a solid body slice by slice. (It's true that the Radon transform is defined in three and higher dimensions.) Thus they don't really get to the heart of the matter: we already know the univariate marginals aren't enough to reconstruct a 2D distribution.

— whuber

@whuber: I think you misunderstood what I was saying... and the 2D vs 3D is a red herring. I was trying to say that the inverse of the Radon transform requires the full integral for its inversion (i.e. if you literally just look at the inversion formula, you see the inversion requires an integral over all angles, not a sum over d angles). The CAT scan was just to help the OP see it's the same problem as CT.

— user541686

That's where the logic breaks down: it's not the same problem as the CT. Your argument sounds like an analog of "every vehicle I see on the road uses at least four wheels. Therefore ground transportation with fewer than four wheels is impossible, for if it were possible, then people would be using fewer wheels to save tire costs. If you doubt this, just look at the blueprints for a car." Incidentally, the transform as implemented in a CT scanner does not integrate over all angles--the measure of the set of angles it uses is zero!

— whuber

@whuber: Forget the CT thing for a moment. Do you agree with the rest of the logic?

— user541686