Phân phối tỷ lệ Gaussian: Công cụ phái sinh nằm bên dưới 's và s

Tôi đang làm việc với hai bản phân phối bình thường $X$ và , với các phương tiện và và phương sai và .$Y$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

Tôi quan tâm đến việc phân phối tỷ lệ . Cả và đều không có giá trị trung bình bằng 0, vì vậy không được phân phối dưới dạng Cauchy.$Z=X/Y$$X$$Y$$Z$

Tôi cần tìm CDF của và sau đó lấy đạo hàm của CDF đối với ,$Z$$\mu_x$$\mu_y$ , $\sigma^2_x$ và $\sigma^2_y$ .

Có ai biết một bài báo đã được tính toán không? Hay làm thế nào để tự làm điều này?

Tôi đã tìm thấy công thức cho CDF trong một bài báo năm 1969 , nhưng việc sử dụng các dẫn xuất này chắc chắn sẽ là một nỗi đau rất lớn. Có lẽ ai đó đã làm nó hoặc biết làm thế nào để dễ dàng? Tôi chủ yếu cần biết các dấu hiệu của các dẫn xuất này.

Bài viết này cũng chứa một xấp xỉ đơn giản hơn về mặt phân tích nếu chủ yếu là dương tính. Tôi không thể có hạn chế đó. Tuy nhiên, có thể phép tính gần đúng có cùng dấu với đạo hàm thực ngay cả ngoài phạm vi tham số?$Y$

Một số giấy tờ liên quan:

Wiki: ` http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

1. http://www.jstatsoft.org/v16/i04/

2. http://link.springer.com/article/10.1007/s00362-012-0429-2

3. http://mrvar.fdv.uni-lj.si/pub/mz/mz1.1/cedilnik.pdf

Cân nhắc sử dụng gói toán học tượng trưng như Mathematica, nếu bạn có giấy phép hoặc Sage nếu bạn không có.

Nếu bạn chỉ làm công việc số, bạn cũng có thể chỉ xem xét phân biệt số.

Trong khi tẻ nhạt, nó nhìn thẳng về phía trước. Đó là, tất cả các hàm liên quan đều dễ dàng tính toán các dẫn xuất. Bạn có thể sử dụng phân biệt số để kiểm tra kết quả của mình khi hoàn thành để đảm bảo bạn có công thức đúng.

$\mu_x$

pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    sd_x <- sqrt(var_x)
    sd_y <- sqrt(var_y)

    a <- function(z) {
        sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
    }

    b <- function(z) {
        mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
    }

    c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y

    d <- function(z) {
        exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
    }


    t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
    t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
    t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
    t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
    t5 <- exp(-c/2.0)
    return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}

# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))

cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)}, 
        lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
} 

# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
    left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
    right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
    return((left - right)/(2*eps))
}