Ý nghĩa trực quan đằng sau việc cắm một biến ngẫu nhiên vào pdf hoặc cdf của chính nó là gì?

Một pdf thường được viết là , trong đó chữ thường được coi là sự nhận biết hoặc kết quả của biến ngẫu nhiên có pdf đó. Tương tự, một cdf được viết là , có nghĩa là . Tuy nhiên, trong một số trường hợp, chẳng hạn như định nghĩa của hàm điểm và dẫn xuất này mà cdf được phân phối đồng đều , có vẻ như biến ngẫu nhiên đang được cắm vào pdf / cdf của chính nó; bằng cách đó, chúng ta có được một biến ngẫu nhiên mới hoặc $f(x|\theta)$ $x$ $X$ $F_X(x)$ $P(X<x)$ $X$ $Y=f(X|\theta)$ $Z=F_X(X)$ . Tôi không nghĩ rằng chúng ta có thể gọi đây là pdf hoặc cdf nữa vì giờ đây nó là một biến ngẫu nhiên và trong trường hợp sau, "giải thích" có vẻ như vô nghĩa đối với tôi. $F_X(X)=P(X<X)$

Ngoài ra, trong trường hợp sau, tôi không chắc mình hiểu câu "cdf của một biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối đồng đều". Cdf là một hàm, không phải là biến ngẫu nhiên và do đó không có phân phối. Thay vào đó, những gì có phân phối đồng đều là biến ngẫu nhiên được chuyển đổi bằng cách sử dụng hàm đại diện cho cdf của chính nó, nhưng tôi không hiểu tại sao phép chuyển đổi này có ý nghĩa. Điều tương tự cũng xảy ra với hàm điểm, trong đó chúng ta đang cắm một biến ngẫu nhiên vào hàm đại diện cho khả năng đăng nhập của chính nó.

Tôi đã làm suy yếu bộ não của mình trong nhiều tuần để cố gắng đưa ra một ý nghĩa trực quan đằng sau những biến đổi này, nhưng tôi bị mắc kẹt. Bất kỳ cái nhìn sâu sắc sẽ được đánh giá rất nhiều!

— mai
nguồn

Các ký hiệu có thể gây nhầm lẫn cho bạn. Ví dụ, là chính xác như ý nghĩa như việc áp dụng bất kỳ chức năng đo lường được để sẽ. Để giải thích chính xác, bạn sẽ cần phải rất rõ ràng về một biến ngẫu nhiên là gì . Đối với bất kỳ biến ngẫu nhiên chức năng cho rõ ràng là một biến ngẫu nhiên và do đó có một bản phân phối(Lưu ý hai ý nghĩa riêng biệt của ký hiệu " " trong " .") là thống nhất khi và chỉ khi có phân phối liên tục.

F_{X} (X)

$F_X(X)$

X

$X$

X : Ω \to R,

$X:\Omega\to\mathbb{R},$

Y : ω \to F_{X} (X (ω))

$Y:\omega\to F_X(X(\omega))$

ω \in Ω

$\omega\in\Omega$

F_{Y} .

$F_Y.$

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

F_{Y}

$F_Y$

X

$X$

— whuber

Đây thực sự không phải là một vấn đề lý thuyết đo lường: để hiểu nó, bạn có thể bỏ qua tất cả các tham chiếu đến "đo lường" một cách an toàn. Bạn có thể được hưởng lợi từ việc nghiên cứu một lý thuyết tập hợp nhỏ ngay từ đầu trong sự nghiệp sau đại học của mình: đó là nơi hầu hết mọi người tìm hiểu thuật ngữ và ký hiệu toán học cơ bản (và phổ biến) này thực sự có ý nghĩa gì, vì vậy tốt nhất không nên từ bỏ việc học nó.

— whuber

Có lẽ một từ về lý do tại sao một người nên làm một điều điên rồ như thế này: chèn một RV vào mật độ riêng của nó !!?! Một ví dụ: giả sử bạn muốn ước tính mật độ của X thì bạn có thể đo lường mức độ tốt của mình bằng cách tích hợp trên nhưng đây là một cách không công bằng: bạn sẽ không bao giờ đạt được xấp xỉ tốt khi bạn không có nhiều ví dụ dữ liệu (Tức là mật độ thực sự nhỏ). Do đó, một đánh giá công bằng và có thể đánh giá thuật ngữ theo mật độ thực. Điều này ít nhiều ảnh hưởng đến việc chèn RV vào mật độ của chính họ ...

f (x) - f_{X} (x)

$f(x)-f_X(x)$

— Fabian Werner

Xem thêm số liệu thống kê.stackexchange.com/questions / 324768 / Google

— Fabian Werner

Câu trả lời:

Giống như bạn nói, bất kỳ hàm (có thể đo lường) nào của một biến ngẫu nhiên đều là một biến ngẫu nhiên. Sẽ dễ dàng hơn khi chỉ nghĩ và là "bất kỳ hàm cũ" nào. Họ chỉ tình cờ có một số tài sản tốt đẹp. Chẳng hạn, nếu là RV theo cấp số nhân tiêu chuẩn, thì không có gì đặc biệt lạ về biến ngẫu nhiên Điều đó xảy ra là . Thực tế là có phân phối Uniform (cho rằng là một RV liên tục) có thể được nhìn thấy đối với trường hợp tổng quát bằng cách bắt nguồn CDF của . $f(x)$ $F(x)$ $X$

Y = 1 - e^{- X}

$Y = 1 - e^{-X}$

Y = F_{X} (X)

$Y=F_X(X)$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

\begin{aligned} F_{Y} (y) & = P (Y \leq y) \\ = P (F_{X} (X) \leq y) \\ = P (X \leq F_{X}^{- 1} (y)) \\ = F_{X} (F_{X}^{- 1} (y)) \\ = y \end{aligned}

$\begin{align*} F_Y(y) &= P(Y \leq y) \\ &= P(F_X(X) \leq y) \\ &= P(X \leq F^{-1}_X(y)) \\ &= F_X(F^{-1}_X(y)) \\ &= y \end{align*}$

Đó rõ ràng là CDF của biến ngẫu nhiên . Lưu ý: Phiên bản bằng chứng này giả định rằng đang tăng nghiêm ngặt và liên tục, nhưng không quá khó để hiển thị một phiên bản tổng quát hơn. $U(0,1)$ $F_X(x)$

— knrumsey
nguồn

Kết luận của bạn là không chính xác đối với hầu hết tăng Nghiêm : bạn đã giả là bản sắc - nhưng đó không phải luôn luôn như vậy.

F_{X}

$F_X$

F_{X} \circ F_{X}^{- 1}

$F_X\circ F_X^{-1}$

— whuber

Vâng, cảm ơn. Biến ngẫu nhiên rõ ràng phải liên tục. Bây giờ tôi có thiếu thứ gì không?

X

$X$

— knrumsey

F_{X}

$F_X$ không cần phải là tính từ. Lấy ví dụ, trường hợp tự phân phối đồng đều! Việc đóng hình ảnh của cần phải là toàn bộ khoảng Đó thực chất là định nghĩa của một phân phối liên tục.

X

$X$

F_{X}

$F_X$

[0, 1] .

$[0,1].$

— whuber

Một biến đổi của biến ngẫu nhiên theo hàm có thể đo được là một biến ngẫu nhiên khác mà phân phối được đưa ra bởi biến đổi xác suất nghịch đảo cho tất cả các bộ ví dụ mà có thể đo lường dưới sự phân bố của . $X$ $T:\mathcal{X}\longrightarrow\mathcal{Y}$ $Y=T(X)$

P (Y \in A) = P (X \in {x; T (x) \in A}) \overset{def}{=} P (X \in T^{- 1} (A))

$\mathbb{P}(Y\in A) = \mathbb{P}(X\in\{x;\,T(x)\in A\})\stackrel{\text{def}}{=} \mathbb{P}(X\in T^{-1}(A))$

A

$A$

{x; T (x) \in A}

$\{x;\,T(x)\in A\}$

X

$X$

Thuộc tính này áp dụng cho trường hợp đặc biệt khi là cdf của biến ngẫu nhiên : là một biến ngẫu nhiên mới nhận ra nó trong . Khi điều đó xảy ra, được phân phối dưới dạng Đồng phục khi liên tục. (Nếu không liên tục, phạm vi của sẽ không còn . Điều luôn xảy ra là khi là Đồng phục , thì có cùng phân phối với , trong đó $F_X:\mathcal{X}\longrightarrow[0,1]$ $X$ $Y=F_X(X)$ $[0,1]$ $Y$ $\mathcal{U}([0,1])$ $F_X$ $F_X$ $Y=F_X(X)$ $[0,1]$ $U$ $\mathcal{U}([0,1])$ $F_X^{-}(U)$ $X$ $F_X^{-}$ biểu thị nghịch đảo tổng quát của . Đó là một cách chính thức để (a) hiểu các biến ngẫu nhiên là các biến đổi có thể đo lường được của một cơ bản vì là một biến ngẫu nhiên với cdf và (b ) tạo các biến ngẫu nhiên từ một phân phối nhất định với cdf .) $F_X$ $\omega\in\Omega$ $X(\omega)=F_X^{-}(\omega)$ $F_X$ $F_X$

Để hiểu nghịch lý của , hãy lấy đại diện if là thước đo thống trị và mật độ tương ứng. Sau đó, là một biến ngẫu nhiên vì giới hạn trên của tích phân là ngẫu nhiên. (Đây là phần ngẫu nhiên duy nhất của biểu thức.) Mâu thuẫn rõ ràng trong là do sự nhầm lẫn trong các ký hiệu. Để được xác định chính xác, người ta cần hai phiên bản độc lập của biến ngẫu nhiên , và $\mathbb{P}(X\le X)$

F_{X} (x) = P (X \leq x) = \int_{0}^{x} d F_{X} (x) = \int_{0}^{x} f_{X} (x) d λ (x)

$F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\int_0^x \text{d}F_X(x) = \int_0^x f_X(x)\,\text{d}\lambda(x)$

d λ

$\text{d}\lambda$

f_{X}

$f_X$

F_{X} (X) = \int_{0}^{X} d F_{X} (x) = \int_{0}^{X} f_{X} (x) d λ (x)

$F_X(X)=\int_0^X \text{d}F_X(x) = \int_0^X f_X(x)\,\text{d}\lambda(x)$

P (X \leq X)

$\mathbb{P}(X\le X)$

X

$X$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$ , trong trường hợp đó, biến ngẫu nhiên được xác định bởi xác suất được tính cho phân phối .

F_{X} (X_{1})

$F_X(X_1)$

F_{X} (X_{1}) = P^{X_{2}} (X_{2} \leq X_{1})

$F_X(X_1)=\mathbb{P}^{X_2}(X_2\le X_1)$

X_{2}

$X_2$

Nhận xét tương tự áp dụng cho biến đổi theo mật độ (pdf), , là một biến ngẫu nhiên mới, ngoại trừ việc nó không có phân phối cố định khi thay đổi. Đó là dù sao cũng hữu ích cho mục đích thống kê khi xem xét ví dụ một tỷ lệ khả năng mà 2 x logarit là xấp xỉ một biến ngẫu nhiên dưới một số điều kiện. $f_X(X)$ $f_X$ $f_X(X|\hat{\theta}(X))/f_X(X|\theta_0)$ $\chi^2$

Và tương tự đối với hàm số điểm là một biến ngẫu nhiên sao cho kỳ vọng của nó bằng 0 khi lấy giá trị thực của tham số , tức là,

\frac{\partial \log f_{X} (X | θ)}{\partial θ}

$\dfrac{\partial \log f_X(X|\theta)}{\partial \theta}$

θ

$\theta$

E_{θ_{0}} [\frac{\partial \log f_{X} (X | θ_{0})}{\partial θ}] = \int \frac{\partial \log f_{X} (x | θ_{0})}{\partial θ} f_{X} (x | θ_{0}) d λ (x) = 0

$\mathbb{E}_{\theta_0}\left[ \dfrac{\partial \log f_X(X|\theta_0)}{\partial \theta}\right]=\int \dfrac{\partial \log f_X(x|\theta_0)}{\partial \theta}f_X(x|\theta_0)\,\text{d}\lambda(x)=0$

[Trả lời được gõ trong khi @whuber và @knrumsey đang gõ câu trả lời tương ứng của họ!]

— Tây An
nguồn

Bạn có thể giải thích bằng từ ngữ nghĩa / cách giải thích của câu lệnh gì? Đối với tôi, dường như vẫn nói rằng "cdf của rv có phân phối đồng đều" không có nghĩa gì cả.

F_{X} (X_{1}) = P (X_{2} \leq X_{1})

$F_X(X_1)=P(X_2 \leq X_1)$

— mai

rv không giống với biến đổi của rv theo cdf của rv này, cụ thể là .

F_{X}

$F_X$

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— Tây An

Vâng, tôi đồng ý rằng chúng không giống nhau. Trong trường hợp đầu tiên, nó không phải là một rv, trong khi trong trường hợp thứ hai, nó là một rv Tôi có đúng không?

— mai

Có, liên quan đến các ý nghĩa khác nhau của trong

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— Xi'an

Bạn có thể giải thích ý của bạn bằng "kỳ vọng bằng không khi được lấy ở giá trị thực của tham số ? Có vẻ như đang được coi là một biến ở đây. Điều gì thay đổi nếu không ở" giá trị thực "của nó?

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— mai