Các biến ngẫu nhiên có tuân theo các quy tắc đại số giống như các số bình thường không?

Trong các nhận xét về câu trả lời của tôi cho một câu hỏi gần đây về tổng các biến ngẫu nhiên , tôi đã bắt gặp một liên kết đến bài viết Wikipedia về phân phối tỷ lệ và nhận thấy yêu cầu đặc biệt sau đây:

Các quy tắc đại số được biết với các số bình thường không áp dụng cho đại số của các biến ngẫu nhiên. Ví dụ: nếu một sản phẩm là và tỷ lệ là thì điều đó không nhất thiết có nghĩa là các phân phối của và là như nhau. $C = AB$ $D=C/A$ $D$ $B$

Yêu cầu này đã có trong bài viết từ năm 2007 . Nó được thêm vào đó bởi cùng một biên tập viên có vẻ có uy tín, người ban đầu đã tạo ra bài báo và đóng góp nhiều nội dung ban đầu và hiện tại của nó, và dường như nó được trích dẫn trong cuốn sách Đại số biến ngẫu nhiên của Melvin D. Springer, xuất bản năm 1979 (mặc dù nó không rõ ràng 100% cho dù dấu hiệu trích dẫn xuất hiện sau đó trong cùng một đoạn có thực sự có nghĩa là bao gồm cả yêu cầu này hay không).

Rõ ràng, yêu cầu có vẻ như vô nghĩa với tôi. Tôi chỉ có thể chỉnh sửa nó ra khỏi bài viết trên Wikipedia, nhưng cho rằng nó đã tồn tại ở đó trong hơn 10 năm, tôi đoán rằng tôi nên đảm bảo rằng tôi không phải là người nhầm lẫn ở đây. Không có cuốn sách của Springer trong tay để kiểm tra trích dẫn (có thể), tôi đoán rằng tôi đã nhờ các chuyên gia ở đây giúp đỡ. Đặc biệt, vì yêu cầu như đã nêu thực sự bao gồm hai phần, nên câu hỏi của tôi cũng vậy:

Phần 1: Các biến ngẫu nhiên có tuân theo các quy tắc đại số giống như các số thông thường hay chúng (theo một nghĩa nào đó) không? Nếu họ không, làm thế nào để các quy tắc khác nhau? Có phụ thuộc vào những gì (thường được chấp nhận) chủ nghĩa hình thức thông qua?

Phần 2: Rõ ràng rằng, ngay cả đối với các số thông thường, không phải lúc nào cũng bằng , vì thậm chí không được xác định khi . Đây có phải là sự khác biệt tầm thường là cách duy nhất mà và không thể bằng nhau, ngay cả khi chúng là các biến ngẫu nhiên? Cụ thể, câu lệnh sau luôn luôn giữ các biến ngẫu nhiên (có giá trị thực hoặc phức): $D = \frac{AB}{A}$ $B$ $D$ $A = 0$ $D$ $B$

Một \neq 0 ⟹ \frac{Một B}{Một} = = B .

$A \ne 0 \implies \frac{AB}{A} = B.$

Phần 3 (phần thưởng): Cuốn sách của Springer thực sự nói gì về điều này, và có điều gì trong đó có thể được thực hiện để hỗ trợ cho yêu cầu được trích dẫn ở trên không? Có phải, như tôi nghĩ, thực sự được coi là một nguồn đáng tin cậy cho các tuyên bố về toán học và thống kê chính thống?

— Ilmari Karonen
nguồn

Một nhận xét toán học về Phần 2: Luôn luôn là trường hợp

khi nó được định nghĩa , tức là không phải phương trình là vấn đề mà chỉ là định nghĩa! Trong ý nghĩa đó, cho rằng

là một RV mà

cho tất cả

. Thì

và

có cùng phân phối đơn giản vì chúng là cùng một biến ngẫu nhiên. Một biến ngẫu nhiên chỉ đơn giản là một chức năng từ một số không gian xác suất

a b / b = a

$ab/b = a$

B

$B$

B (ω) \neq 0

$B(\omega) \neq 0$

ω

$\omega$

A B / B

$AB/B$

B

$B$

Ω

$\Omega$ vào bất cứ tập hợp nào (thực tế nếu bạn muốn thực hiện loại đại số này trong một khung cảnh tự nhiên với nó) ... Ngoài ra: Chính xác thì bạn có ý nghĩa gì với

? cho tất cả

? Chỉ dành cho một số người? ...

A \neq 0

$A \neq 0$

ω

$\omega$

— Fabian Werner

(+1) Ngôn ngữ trong bài viết Wikipedia đó kém, nhưng mục đích của nó rất rõ ràng: nó có nghĩa là để thảo luận về đại số của các bản phân phối, không phải là các biến ngẫu nhiên mỗi se. Nếu bạn chọn chỉnh sửa nó, sau đó xem xét làm rõ ngôn ngữ mà không thay đổi ý tưởng mà nó đang cố gắng truyền đạt.

— whuber

@FabianWerner: Tôi đang sử dụng (AFAIK khá chuẩn) ước rằng chúng ta có thể bỏ qua

khi viết rv

, nhưng tất nhiên có thể không được những gì bài viết Wikipedia đang làm. Bạn có thể vào một cái gì đó ở đó.

(ω)

$(\omega)$

A (ω)

$A(\omega)$

— Ilmari Karonen

@Carl: Tại sao bạn nghĩ rằng chúng sẽ là vectơ của bất kỳ loại nào? Việc phân chia theo một vectơ thường không được xác định, vì vậy để biểu thức có ý nghĩa,

phần lớn phải là một vô hướng (hay chính xác hơn là một hàm có giá trị vô hướng của không gian xác suất, nếu bạn muốn tuân thủ nghiêm ngặt hình thức chuẩn như đã lưu ý bởi Fabian Werner ở trên). Tôi cho rằng

có thể là một vectơ, mặc dù tôi không thấy lý do cụ thể nào để cho rằng đó là.

A

$A$

B

$B$

— Ilmari Karonen

@Carl: À, không. Ít nhất là không trừ khi bạn đang làm việc trong một không gian xác suất ba yếu tố (thường, các yếu tố hoặc thậm chí kích thước của không gian xác suất

không được chỉ định một cách rõ ràng, vì nó thực sự chỉ là một công cụ chính thức để làm việc với các biến có giá trị không chắc chắn) và đang sử dụng một ký hiệu vui cho các chức năng trên không gian đó.

Ω

$\Omega$

— Ilmari Karonen

Đại số của các biến ngẫu nhiên (ARV) là một phần mở rộng của đại số thông thường của các số "đại số trung học". Điều này phải như vậy bởi vì các số có thể được nhúng trong ARV là rv bằng hằng số với xác suất 1. Vì vậy, không thể có bất kỳ sự mâu thuẫn nào, nhưng nó cũng có thể là các thuộc tính mới không nói gì về các số. Trong đẳng thức ARV là sự bình đẳng trong phân phối , vì vậy nó thực sự là một đại số của phân phối. Nhưng đối với hằng số rv với xác suất 1, đây là phần mở rộng của đẳng thức số theo nghĩa thông thường.

$X$ $X^{-1}$ $-1$ $X$ $X$ $1/X$

— kjetil b halvorsen
nguồn