Nếu và là các biến Bình thường độc lập, mỗi biến có giá trị trung bình bằng 0, thì cũng là một biến Bình thường

Tôi đang cố gắng chứng minh tuyên bố:

Nếu và là các biến ngẫu nhiên độc lập, $X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$ $Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$

thì cũng là một biến ngẫu nhiên bình thường. $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

Đối với trường hợp đặc biệt (giả sử), chúng tôi có kết quả nổi tiếng rằng bất cứ khi nào và là các biến độc lập . Trên thực tế, người ta thường biết rằng là các biến độc lập . $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$ $X$ $Y$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ $\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$

Bằng chứng về kết quả cuối cùng theo sau bằng cách sử dụng phép biến đổi trong đó và . Thật vậy, ở đây và . Tôi đã cố gắng bắt chước bằng chứng này cho vấn đề trong tay nhưng nó dường như trở nên lộn xộn. $(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)$ $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ $u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)$ $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$ $V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$

Nếu tôi không mắc lỗi nào, thì với Tôi kết thúc với mật độ khớp của là $(u,v)\in\mathbb{R}^2$ $(U,V)$

f_{U, V} (u, v) = \frac{2}{σ_{1} σ_{2} π} \exp [- \sqrt{u^{2} + v^{2}} (\frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} + v}{σ_{1}^{2}} + \frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} - v}{σ_{2}^{2}})]

$f_{U,V}(u,v)=\frac{2}{\sigma_1\sigma_2\pi}\exp\left[-\sqrt{u^2+v^2}\left(\frac{\sqrt{u^2+v^2}+v}{\sigma_1^2}+\frac{\sqrt{u^2+v^2}-v}{\sigma_2^2}\right)\right]$

Tôi có hệ số nhân ở trên vì phép biến đổi không phải là một. $2$

Vì vậy, mật độ của sẽ được cung cấp bởi , không được đánh giá dễ dàng. $U$ $\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v$

Bây giờ tôi muốn biết liệu có bằng chứng nào mà tôi chỉ có thể làm việc với và phải xem xét một số để cho thấy rằng là Bình thường. Việc tìm kiếm CDF của hiện tại không có vẻ hứa hẹn với tôi. Tôi cũng muốn làm tương tự cho trường hợp . $U$ $V$ $U$ $U$ $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$

Đó là, nếu và là các biến độc lập thì tôi muốn chỉ ra rằng mà không sử dụng thay đổi biến. Nếu bằng cách nào đó tôi có thể lập luận rằng , thì tôi đã hoàn thành. Vì vậy, hai câu hỏi ở đây, trường hợp chung và sau đó là trường hợp cụ thể. $X$ $Y$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $Z\stackrel{d}{=}X$

Bài viết liên quan trên Math.SE:

$X^2-Y^2/ \sqrt{X^2+Y^2}\sim N(0,1)$ khi độc lập $X,Y\sim N(0,1)$ .

Cho rằng là iid , cho thấy là i $X,Y$ $N(0,1)$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ $N(0,\frac{1}{4})$ .

Biên tập.

Vấn đề này thực tế là do L. Shepp như tôi đã tìm thấy trong các bài tập Giới thiệu về Lý thuyết Xác suất và Ứng dụng của nó (Tập II) của Feller, cùng với một gợi ý có thể:

Chắc chắn, và tôi có mật độ trong tay. $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}$ $\frac{1}{X^2}$

Hãy xem những gì tôi có thể làm bây giờ. Ngoài ra, một chút giúp đỡ với tích phân ở trên cũng được hoan nghênh.

— Bướng bỉnh
nguồn

Mặc dù tương tự, cách tiếp cận MGF cho khớp dễ dàng hơn một chút. Xem câu trả lời cuối cùng của: math.stackexchange.com/a/2665178/22064 và: math.stackexchange.com/questions/2664469/ Lỗi

(U, V)

$(U,V)$

— Alex R.

@AlexR. Có, tôi đã thấy cách tiếp cận mgf chung, hoạt động khá tốt nếu tôi tìm phân phối chung cho trường hợp phương sai bằng nhau. Nhưng tôi đã có bằng chứng bằng cách thay đổi các biến trong trường hợp đó, điều này trong tâm trí tôi dễ dàng hơn. Những gì tôi đang cố gắng làm là làm việc với một mình, vì đó là phân phối mà tôi đang theo đuổi.

U

$U$

— StubbornAtom

Thủ thuật là tổng của và , được phân chia tỷ lệ nghịch đảo bình phương, cũng là một phân phối nghịch đảo chi bình phương tỷ lệ (đó là tài sản của phân phối ổn định). Vì vậy, phép thuật xảy ra trong phương trình thứ ba sau:

\frac{1}{X^{2}}

$\frac{1}{X^2}$

\frac{1}{Y^{2}}

$\frac{1}{Y^2}$

U = \frac{X Y}{X^{2} + Y^{2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^{2}} + \frac{1}{Y^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Z^{2}}}} = Z

$U = \frac{XY}{X^2+Y^2} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Z^2}}} = Z$

— Sextus Empiricus

@MartijnWeterings Rõ ràng đó là bằng chứng ban đầu được đưa ra bởi Shepp.

— StubbornAtom

Tôi sẽ không tự mình nghĩ ra điều này nếu bạn không đề cập đến bình luận của Shepp. Nhưng, tôi có ý tưởng rằng bạn không có được bằng chứng này. Hoặc ít nhất điều này không rõ liệu đây có phải là trường hợp không.

— Sextus Empiricus 15/03/18

Câu trả lời:

Giải pháp ban đầu cho vấn đề của Shepp sử dụng khái niệm tài sản luật ổn định, có vẻ hơi tiên tiến đối với tôi vào lúc này. Vì vậy, tôi không thể hiểu được gợi ý được đưa ra trong bài tập tôi đã trích dẫn trong bài viết của mình. Tôi đoán một bằng chứng chỉ liên quan đến biến duy nhất và không sử dụng thay đổi biến là khó khăn. Vì vậy, tôi chia sẻ ba giấy tờ truy cập mở mà tôi thấy cung cấp giải pháp thay thế cho vấn đề: $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

Người đầu tiên đã thuyết phục tôi đừng đi xuống con đường hội nhập Tôi đem theo rằng sự lựa chọn của biến để lấy được mật độ của . Đây là bài báo thứ ba trông giống như một cái gì đó tôi có thể theo dõi. Tôi đưa ra một bản phác thảo ngắn gọn về bằng chứng ở đây: $V$ $U$

Chúng tôi giả sử không mất tính tổng quát và đặt . Bây giờ lưu ý rằng và là độc lập, chúng tôi có mật độ khớp là . Chúng tôi biểu thị nó bằng . $\sigma_1^2=1$ $\sigma_2^2=\sigma^2$ $X^2\sim\chi^2_1$ $\frac{Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_1$ $(X^2,Y^2)$ $f_{X^2,Y^2}$

Hãy xem xét phép biến đổi sao cho và . Vì vậy, chúng ta có mật độ khớp của . Hãy để chúng tôi biểu thị nó bằng . Sau khi thủ tục tiêu chuẩn, chúng tôi tích hợp wrt để để có được mật độ biên của . $(X^2,Y^2)\to(W,Z)$ $W=\frac{X^2Y^2}{X^2+Y^2}$ $Z=\frac{X^2+Y^2}{Y^2}$ $(W,Z)$ $f_{W,Z}$ $f_{W,Z}$ $z$ $f_W$ $W$

Chúng tôi thấy rằng là một biến thể Gamma với các tham số và , do đó . Chúng tôi lưu ý rằng mật độ của đối xứng khoảng . Điều này ngụ ý rằng và do đó . $W=U^2$ $\frac{1}{2}$ $2(1+\frac{1}{\sigma})^{-2}$ $(1+\frac{1}{\sigma})^2\,W\sim\chi^2_1$ $U$ $0$ $(1+\frac{1}{\sigma})U\sim\mathcal{N}(0,1)$ $U\sim\mathcal{N}\left(0,\left(\frac{\sigma}{\sigma+1}\right)^2\right)$

— Bướng bỉnh
nguồn

theo điều này

Biến đổi hai biến ngẫu nhiên bình thường

$X=r\cos(\theta) \hspace{.5cm} Y=r\sin(\theta) \hspace{.5cm} X,Y \sim normal(0,1) \Leftrightarrow \theta \sim Uniform(0,2\pi) \hspace{.5cm} r^2\sim chi(2)$ . và là độc lập và là độc lập.
$X$ $Y$ $\Leftrightarrow$ $\theta$ $r$

cũng rằng kể từ $\sin(\theta) \sim \cos(\theta) \sim \sin(2\theta) \sim 2\sin(\theta) \cos(\theta) \sim \cos(2\theta) \sim \cos(2\theta) \sim f$ $f(z) =\frac{1}{\pi \sqrt(1-z^2)} I_{[-1,1]}(z)$ $z=\sin(\theta) \Rightarrow f(z)=|\frac{d}{dz} \sin^{-1}(z)| f_{\theta}(\sin^{-1}(z)) + |\frac{d}{dz} (\pi-\sin^{-1}(z))| f_{\theta}(\pi -\sin^{-1}(z)) =\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} +\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} =\frac{1}{\pi\sqrt(1-z^2)}$

tương tự cho những người khác.

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r}=2r \cos(\theta) \sin(\theta) =r \sin(2\theta) \sim r \sin(\theta) \sim N(0,1)$

để chúng tôi có thể hiển thị:

$X= \sigma r \cos(\theta)$ và $Y=\sigma r \sin(\theta)$

vì thế

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \sigma \sigma \cos(\theta) \sin(\theta)}{r \sigma}=2\sigma r \cos(\theta) \sin(\theta) =\sigma r \sin(2\theta)\sim \sigma r \sin(\theta)\sim \sigma N(0,1)=N(0,\sigma^2)$

thể hiện sự độc lập

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}= \sigma r \sin(\theta)$

$\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{r^2 \sigma^2 (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))}{2r\sigma} =\frac{1}{2} r \sigma (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)) \sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(2\theta)\sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(\theta)$ và dễ dàng nói rằng chúng độc lập.

— masoud
nguồn

Nếu thì sao?

σ_{X} \neq σ_{Y}

$\sigma_X \neq \sigma_Y$

— Sextus Empiricus

tôi đã không nghĩ về nó. nhưng một số vấn đề tính toán xảy ra trong

s q r t (X^{2} + Y^{2})

$sqrt(X^2+Y^2)$

— masoud