Là lý thuyết xác suất nghiên cứu các hàm không âm tích hợp / tổng hợp thành một?

Đây có lẽ là một câu hỏi ngớ ngẩn, nhưng liệu lý thuyết xác suất có phải là nghiên cứu về các hàm tích hợp / tổng hợp thành một không?

CHỈNH SỬA. Tôi quên mất tiêu cực. Vì vậy, lý thuyết xác suất là nghiên cứu về các hàm không âm tích hợp / tổng hợp thành một?

Ở cấp độ hoàn toàn chính thức, người ta có thể gọi lý thuyết xác suất là nghiên cứu về không gian đo với tổng số đo một, nhưng điều đó sẽ giống như gọi lý thuyết số là nghiên cứu về các chuỗi chữ số chấm dứt

- từ chủ đề của Terry Tao trong lý thuyết ma trận ngẫu nhiên .

Tôi nghĩ rằng đây là điều thực sự cơ bản. Nếu chúng ta có một không gian xác suất và một biến ngẫu nhiên với số đo đẩy , thì lý do mật độ tích hợp với một là vì . Và đó là cơ bản hơn so với pdf so với pmfs.X : Ω → R P X : = P ∘ X - 1 f = d P $(\Omega, \mathscr F, P)$$X : \Omega \to \mathbb R$$P_X := P \circ X^{-1}$ P(Ω)=$f = \frac{\text d P_X}{\text d\mu}$$P(\Omega) = 1$

Đây là bằng chứng:

Đây gần như là một câu trả lời lại câu trả lời của AdamO (+1) vì tất cả các CDF đều là càdlàg và có mối quan hệ một đối một giữa bộ CDF trên và tập hợp tất cả các biện pháp xác suất trên , nhưng vì CDF của RV được định nghĩa theo phân phối của nó, tôi xem các không gian xác suất là nơi để "bắt đầu" với loại nỗ lực này. ( R , B$\mathbb R$$(\mathbb R, \mathbb B)$

Tôi đang cập nhật để giải thích về sự tương ứng giữa CDF và các biện pháp xác suất và cả hai đều là câu trả lời hợp lý cho câu hỏi này.

Chúng tôi bắt đầu bằng cách bắt đầu với hai biện pháp xác suất và phân tích CDF tương ứng. Chúng tôi kết luận bằng cách thay vì bắt đầu với một CDF và xem xét các biện pháp gây ra bởi nó.

Đặt và là các số đo xác suất trên và đặt và là các CDF tương ứng của họ (ví dụ: và tương tự cho ). Cả và đều đại diện cho các số đo ngẫu nhiên của các biến ngẫu nhiên (nghĩa là phân phối) nhưng thực sự không quan trọng chúng đến từ đâu cho việc này.R ( R , B ) F Q F R F Q ( a ) = Q ( ( - ∞ , a ] ) R Q $Q$$R$$(\mathbb R, \mathbb B)$$F_Q$$F_R$$F_Q(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$$R$$Q$$R$

Ý tưởng chính là đây: nếu và đồng ý về một bộ sưu tập đủ phong phú, thì họ đồng ý với -đau khớp được tạo bởi các bộ đó. Theo trực giác, nếu chúng ta có một bộ sưu tập các sự kiện được xử lý tốt, thông qua một số lượng bổ sung, giao lộ và công đoàn có thể đếm được tất cả các , thì việc đồng ý với tất cả các bộ đó không để lại bất kỳ sự phản đối nào đối với bất kỳ Borel nào bộ.R σ $Q$$R$$\sigma$$\mathbb B$

Hãy chính thức hóa điều đó. Đặt và để , tức là là tập con của mà và đồng ý (và được xác định). Lưu ý rằng chúng tôi cho phép họ đồng ý với các tập hợp không phải Borel vì như đã định nghĩa 't thiết phải là một tập hợp con của . mục tiêu của chúng tôi là để chứng minh rằng .L = { A ⊆ R : Q ( A ) = R ( A ) } L P ( R ) Q R L B B ⊆ $\mathscr S = \{(-\infty, a] : a \in \mathbb R\}$$\mathcal L = \{A \subseteq \mathbb R : Q(A) = R(A)\}$$\mathcal L$$\mathcal P(\mathbb R)$$Q$$R$$\mathcal L$$\mathbb B$$\mathbb B \subseteq \mathcal L$

Hóa ra ( - do S tạo ra ) thực tế là B , vì vậy chúng tôi hy vọng rằng S là một tập hợp các sự kiện đủ lớn mà nếu Q = R ở mọi nơi trên S thì chúng buộc phải được bình đẳng trên tất cả các B .$\sigma(\mathscr S)$$\sigma$$\mathscr S$$\mathbb B$$\mathscr S$$Q = R$$\mathscr S$$\mathbb B$

Lưu ý rằng đã bị đóng dưới nút giao thông hữu hạn, và rằng L đã bị đóng dưới bổ sung và nút giao thông rời nhau đếm được (điều này sau từ σ -additivity). Điều này có nghĩa rằng S là một π -Hệ thống và L là một λ -Hệ thống . Đến π - λ lý do đó chúng tôi có mà σ ( S ) = B ⊆ L . Các yếu tố của $\mathscr S$$\mathcal L$$\sigma$$\mathscr S$$\pi$$\mathcal L$$\lambda$$\pi$$\lambda$$\sigma(S) = \mathbb B \subseteq \mathcal L$$\mathscr S$không có nơi nào phức tạp như một tập hợp Borel tùy ý, nhưng bởi vì bất kỳ tập hợp Borel nào cũng có thể được hình thành từ một số lượng bổ sung, hiệp nhất và giao điểm của các phần tử của , nếu không có bất đồng nào giữa Q và R trên các phần tử của S sau đó điều này sẽ được theo sau để không có bất đồng nào về bất kỳ B ∈ B nào .$\mathscr S$$Q$$R$$\mathscr S$$B \in \mathbb B$

Chúng tôi đã chỉ ra rằng nếu thì (trên ), có nghĩa là bản đồ từ đến là một mũi tiêm.$F_Q = F_R$B Q ↦ F Q P : = { P : P  là thước đo khả năng trên  ( R , B ) } F : = { F : R → R : F  là một CDF $Q = R$$\mathbb B$$Q \mapsto F_Q$$\mathscr P := \{P : P \text { is a probability measure on } (\mathbb R, \mathbb B)\}$$\mathcal F := \{F : \mathbb R \to \mathbb R : F \text { is a CDF}\}$

Bây giờ nếu chúng ta muốn nghĩ về việc đi theo hướng khác, chúng ta muốn bắt đầu với CDF và chỉ ra rằng có một thước đo xác suất duy nhất sao cho . Điều này sẽ xác định rằng ánh xạ của chúng tôi trên thực tế là một sự lựa chọn. Đối với hướng này, chúng tôi xác định mà không có bất kỳ tham chiếu nào đến xác suất hoặc biện pháp.Q F ( a ) = Q ( ( - ∞ , a ] ) Q ↦ F Q$F$$Q$$F(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$$Q \mapsto F_Q$$F$

Trước tiên chúng ta định nghĩa hàm đo Stieltjes là hàm sao cho$G : \mathbb R \to \mathbb R$

1. $G$ không giảm
2. $G$ là liên tục đúng

(và lưu ý cách càdlàg tuân theo định nghĩa này, nhưng do ràng buộc không giảm thêm "hầu hết" các hàm càdlàg không phải là các hàm đo Stieltjes).

Có thể thấy rằng mỗi hàm Stieltjes tạo ra một số đo duy nhất trên được xác định bởi (xem ví dụ Xác suất và quy trình ngẫu nhiên của Durrett để biết chi tiết về điều này). Ví dụ: biện pháp Lebesgue được gây ra bởi .μ ( R , B ) μ ( ( a , b ] ) = G ( b ) - G ( a ) G ( x ) = $G$$\mu$$(\mathbb R, \mathbb B)$

Bây giờ lưu ý rằng CDF là hàm Stieltjes với các thuộc tính bổ sung mà và , chúng ta có thể áp dụng kết quả đó để chỉ ra rằng với mỗi CDF chúng ta có một số đo duy nhất trên được xác định bởi $F$lim x → ∞ F ( x ) : = F ( ∞ ) = 1 F Q ( R , B ) Q ( ( a , b ] ) = F ( b ) - F ( a ) $\lim_{x\to-\infty} F(x) := F(-\infty) = 0$$\lim_{x\to\infty} F(x) := F(\infty) = 1$$F$$Q$$(\mathbb R, \mathbb B)$

Lưu ý cách và vì vậy là thước đo xác suất và chính xác là thước đo mà chúng ta sẽ sử dụng để xác định nếu chúng ta đi theo hướng khác.Q ( ( - ∞ , - ∞ ] ) = F ( ∞ ) - F ( - ∞ ) = 1 Q $Q\left((-\infty, a]\right) = F(a) - F(-\infty) = F(a)$$Q\left((-\infty, -\infty]\right) = F(\infty) - F(-\infty) = 1$$Q$$F$

Tất cả cùng nhau bây giờ chúng ta đã thấy rằng các bản đồ là 1-1 và lên vì vậy chúng tôi thực sự có một song ánh giữa và . Đưa vấn đề này trở lại câu hỏi thực tế, điều này cho thấy rằng chúng ta có thể giữ CDF hoặc các biện pháp xác suất tương đương với tư cách là đối tượng mà chúng ta tuyên bố xác suất là nghiên cứu (đồng thời nhận ra rằng đây là một nỗ lực hơi khó khăn). Cá nhân tôi vẫn thích không gian xác suất vì tôi cảm thấy lý thuyết chảy tự nhiên hơn theo hướng đó nhưng CDF không "sai".P $Q \mapsto F_Q$$\mathscr P$$\mathcal F$

Không; các phân phối Cantor chỉ là một phản ví dụ như vậy. Đó là một biến ngẫu nhiên, nhưng nó không có mật độ. Nó có chức năng phân phối, tuy nhiên. Do đó, tôi muốn nói rằng, lý thuyết xác suất đó là nghiên cứu về các hàm càdlàg , bao gồm Cantor DF, có giới hạn 0 và giới hạn phải là 1.

Tôi chắc chắn bạn sẽ nhận được câu trả lời tốt, nhưng sẽ cho bạn một góc nhìn hơi khác ở đây.

Bạn có thể đã nghe các nhà toán học nói rằng vật lý là toán học khá nhiều, hoặc chỉ là một ứng dụng của toán học cho các định luật cơ bản nhất của tự nhiên. Một số nhà toán học (nhiều?) Thực sự tin rằng đây là trường hợp. Tôi đã nghe nói rằng nhiều lần trong trường đại học. Về vấn đề này, bạn đang hỏi một câu hỏi tương tự, mặc dù không rộng rãi như câu hỏi này.

Nhà vật lý thường không bận tâm thậm chí trả lời câu nói này: quá rõ ràng với họ rằng nó không đúng. Tuy nhiên, nếu bạn cố gắng trả lời thì rõ ràng câu trả lời không quá tầm thường, nếu bạn muốn làm cho nó có sức thuyết phục.

Câu trả lời của tôi là vật lý không chỉ là một loạt các mô hình và phương trình và lý thuyết. Đó là một lĩnh vực với tập hợp các phương pháp và công cụ và phương pháp phỏng đoán riêng và cách suy nghĩ. Đó là một lý do tại sao mặc dù Poincare đã phát triển lý thuyết tương đối trước Einstein, anh ta đã không nhận ra tất cả các hàm ý và không theo đuổi để đưa mọi người lên tàu. Einstein đã làm, bởi vì ông là một nhà vật lý và ông hiểu ý nghĩa của nó ngay lập tức. Tôi không phải là một fan hâm mộ của anh chàng, nhưng công việc của anh ấy về chuyển động Brown là một ví dụ khác về cách một nhà vật lý xây dựng một mô hình toán học. Bài báo đó thật tuyệt vời, và chứa đầy trực giác và dấu vết của suy nghĩ không thể nhầm lẫn về mặt vật lý.

Vì vậy, câu trả lời của tôi cho bạn là ngay cả khi đó là trường hợp xác suất liên quan đến loại chức năng bạn mô tả, thì nó vẫn sẽ không được nghiên cứu về chức năng đó. Nó cũng không phải là một lý thuyết đo lường được áp dụng cho một số lớp con của các biện pháp. Lý thuyết xác suất là lĩnh vực riêng biệt nghiên cứu xác suất, nó liên kết với thế giới tự nhiên thông qua sự phân rã phóng xạ và cơ học lượng tử và khí v.v ... Nếu nó xảy ra để một số chức năng có vẻ phù hợp với mô hình xác suất, thì chúng ta sẽ sử dụng chúng và nghiên cứu chúng tài sản cũng vậy, nhưng trong khi làm như vậy, chúng tôi sẽ theo dõi giải thưởng chính - xác suất.

Vâng, một phần đúng, nó thiếu một điều kiện thứ hai. Xác suất tiêu cực không có ý nghĩa. Do đó, các chức năng này phải đáp ứng hai điều kiện:

• Phân phối liên tục:

  $$\int_{\mathcal{D}}f(x) dx = 1 \quad \text{and} \quad f(x)>0 \; \forall x \in \mathcal{D}$$

• Các bản phân phối rời rạc:

  $$\sum_{x \in \mathcal{D}}P(x) = 1 \quad \text{and} \quad 0<P(x) \leq 1 \; \forall x \in \mathcal{D}$$

Trong đó là miền xác định phân phối xác suất.$\mathcal{D}$

Tôi sẽ nói không, đó không phải là lý thuyết xác suất cơ bản là gì, nhưng tôi sẽ nói nó vì những lý do khác với những câu trả lời khác.

Về cơ bản, tôi muốn nói, lý thuyết xác suất là nghiên cứu về hai điều:

1. Các quá trình ngẫu nhiên, và

2. Suy luận Bayes.

Các quy trình ngẫu nhiên bao gồm những thứ như xúc xắc lăn, vẽ bóng từ bình, v.v., cũng như các mô hình tinh vi hơn được tìm thấy trong vật lý và toán học. Suy luận Bayes là lý luận trong sự không chắc chắn, sử dụng xác suất để đại diện cho giá trị của số lượng không xác định.

Hai điều này có liên quan chặt chẽ hơn so với lần đầu tiên chúng xuất hiện. Một lý do chúng ta có thể nghiên cứu chúng dưới cùng một chiếc ô là các khía cạnh quan trọng của cả hai có thể được biểu diễn dưới dạng các hàm không âm tổng hợp / tích hợp thành một. Nhưng xác suất không chỉ là nghiên cứu về các chức năng đó - việc giải thích chúng theo các quá trình ngẫu nhiên và suy luận cũng là một phần quan trọng của nó.

Ví dụ, lý thuyết xác suất bao gồm các khái niệm như xác suất có điều kiện và các biến ngẫu nhiên và các đại lượng như entropy, thông tin lẫn nhau và kỳ vọng và phương sai của các biến ngẫu nhiên. Mặc dù người ta có thể định nghĩa những điều này hoàn toàn theo các hàm không âm bình thường, nhưng động lực cho điều này có vẻ khá kỳ lạ nếu không có sự diễn giải về các quá trình ngẫu nhiên và suy luận.

Hơn nữa, đôi khi người ta bắt gặp các khái niệm trong lý thuyết xác suất, đặc biệt là về mặt suy luận, không thể được biểu thị dưới dạng hàm không âm mà bình thường hóa thành một. Cái gọi là "các linh mục không phù hợp" xuất hiện ở đây và AdamO đã đưa ra bản phân phối Cantor như một ví dụ khác.

Chắc chắn có một số lĩnh vực của lý thuyết xác suất trong đó mối quan tâm chính là các tính chất toán học của các hàm không âm được chuẩn hóa, trong đó hai miền ứng dụng mà tôi đã đề cập không quan trọng. Khi đây là trường hợp, chúng ta thường gọi nó là lý thuyết đo lường hơn là lý thuyết xác suất. Nhưng lý thuyết xác suất cũng vậy - thực sự, tôi muốn nói là chủ yếu - một lĩnh vực được áp dụng và các ứng dụng của phân phối xác suất tự nó là một thành phần không tầm thường của lĩnh vực này.