Làm thế nào để lỗi tiêu chuẩn làm việc?

Gần đây tôi đã xem xét các hoạt động bên trong của lỗi tiêu chuẩn và tôi thấy mình không thể hiểu nó hoạt động như thế nào. Hiểu biết của tôi về lỗi tiêu chuẩn là độ lệch chuẩn của phân phối phương tiện mẫu. Câu hỏi của tôi là:

• làm thế nào để chúng ta biết lỗi tiêu chuẩn là độ lệch chuẩn của mẫu có nghĩa là khi chúng ta thường chỉ lấy một mẫu duy nhất?

• tại sao phương trình tính sai số chuẩn không phản ánh phương trình độ lệch chuẩn cho một mẫu?

Có, sai số chuẩn của giá trị trung bình (SEM) là độ lệch chuẩn (SD) của phương tiện. (Lỗi tiêu chuẩn là một cách khác để nói SD của phân phối lấy mẫu. Trong trường hợp này, phân phối lấy mẫu là phương tiện cho các mẫu có kích thước cố định, giả sử N.) Có mối quan hệ toán học giữa SEM và dân số SD: SEM = dân số SD / căn bậc hai của N. Mối quan hệ toán học này rất hữu ích, vì chúng tôi hầu như không bao giờ có ước tính trực tiếp về SEM nhưng chúng tôi có ước tính về SD dân số (cụ thể là SD của mẫu của chúng tôi). Đối với câu hỏi thứ hai của bạn, nếu bạn thu thập nhiều mẫu có kích thước N và tính giá trị trung bình cho mỗi mẫu, bạn có thể ước tính SEM chỉ bằng cách tính SD của phương tiện. Vì vậy, công thức cho SEM thực sự phản ánh công thức cho SD của một mẫu duy nhất.

Giả sử là độc lập và phân phối giống hệt nhau. Đây là tình huống tôi khá chắc chắn rằng bạn đang đề cập đến. Hãy chung bình be họ μ và phương sai chung của họ là σ 2 .$X_1, X_2, \ldots, X_n$$\mu$$\sigma^2$

Bây giờ giá trị trung bình mẫu là . Tuyến tính của kỳ vọng cho thấy giá trị trung bình của X b cũng là μ . Giả định độc lập ngụ ý phương sai của X b là tổng phương sai của các điều khoản của nó. Mỗi thuật ngữ X i / n như vậy có phương sai σ 2 / n 2 (vì phương sai của hằng số lần một biến ngẫu nhiên là bình phương nhân với phương sai của biến ngẫu nhiên). Chúng tôi có $X_b=\sum_i X_i/n$$X_b$$\mu$$X_b$$X_i/n$$\sigma^2/n^2$$n$phân phối chính xác các biến như vậy để tổng hợp, vì vậy mỗi thuật ngữ có cùng phương sai. Kết quả là, chúng tôi nhận cho phương sai của giá trị trung bình mẫu.$n \sigma^2/n^2 = \sigma^2/n$

Thông thường chúng ta không biết và vì vậy chúng ta phải ước tính nó từ dữ liệu. Tùy thuộc vào cài đặt, có nhiều cách khác nhau để làm điều này. Hai ước tính mục đích chung, phổ biến nhất của σ 2 là phương sai mẫu s 2 = $\sigma^2$$\sigma^2$ và bội số nhỏ của nó,s 2 u =$s^2 = \frac{1}{n}\sum_i(X_i-X_b)^2$(là một ước lượng không thiên vị củaσ2). Sử dụng hoặc là một trong những thayσ2trong đoạn trước và lấy căn bậc hai cho sai số chuẩn theo hình thứcs/$s_u^2 = \frac{n}{n-1}s^2$$\sigma^2$$\sigma^2$ hoặclàu/$s/\sqrt{n}$ .$s_u/\sqrt{n}$

+1 cho cả @JoelW. & @MichaelCécick. Tôi muốn thêm một chi tiết vào câu trả lời của @ JoelW. Ông lưu ý rằng "chúng tôi gần như không bao giờ có ước tính trực tiếp về SEM", điều này về cơ bản là đúng, nhưng đáng để nhận ra một cách rõ ràng một lời cảnh báo cho tuyên bố đó. Cụ thể, khi một nghiên cứu so sánh nhiều nhóm / phương pháp điều trị (ví dụ, giả dược so với thuốc tiêu chuẩn so với thuốc mới), ANOVA thường được sử dụng để xem liệu tất cả chúng có bằng nhau không. Giả thuyết khống là mỗi nhóm được rút ra từ cùng một quần thể, và do đó, cả ba phương tiện đều là ước tính của trung bình dân số. Đó là, giả thuyết khống trong ANOVA tiêu chuẩn giả định rằng bạn có ước tính trực tiếp về SEM. Xét phương trình phương sai của phân phối mẫu của phương tiện: trong đóσ 2 p o p là phương sai dân số vànjlà số nhóm. Mặc dù chúng ta thường không thực hiện các tính toán theo cách này, chúng tacó thểchỉ cần sử dụng công thức tiêu chuẩn để cắm trong các giá trị ước tính, và với xáo trộn đại số tối thiểu, hình thànhFthống kê như vậy: F=nj×s 2 ˉ

$$\sigma^2_{\bar x}=\frac{\sigma^2_{pop}}{n_j},$$ $\sigma^2_{pop}$$n_j$$F$ Trong trường hợp này, chúng tôi thực sự sẽ là sử dụng công thức tiêu chuẩn (chỉ áp dụng trên các phương tiện nhóm), đó là: s 2 ˉ x =Σ n j j = 1 ( ˉ x j- ˉ x .) $$F=\frac{n_j\times s^2_{\bar x}}{s^2_{\text{pooled within group}}}$$ vớix. là trung bình của nhóm có nghĩa. $$s^2_{\bar x}=\frac{\sum_{j=1}^{n_j}(\bar x_j-\bar x_.)^2}{n_j-1},$$ $x_.$

Ở chỗ chúng tôi thường tin rằng giả thuyết khống là không đúng, quan điểm của @ JoelW là đúng, nhưng tôi làm việc qua điểm này, vì tôi nghĩ rằng sự rõ ràng mà nó mang lại là hữu ích để hiểu những vấn đề này.