Bayesian Suuity liên quan đến mức độ thường xuyên như thế nào?

9

Định nghĩa đơn giản nhất về số liệu thống kê đầy đủ theo quan điểm thường xuyên được đưa ra ở đây trong Wikipedia . Tuy nhiên, tôi vừa đi qua trong một cuốn sách Bayesian, với định nghĩa $P(\theta|x,t)=P(\theta|t)$ . Nó được nêu trong liên kết rằng cả hai đều tương đương, nhưng tôi không thấy như thế nào. Ngoài ra, trong cùng một trang, trong phần «Các loại đủ điều kiện khác» có ghi rằng cả hai định nghĩa không tương đương trong không gian vô hạn ...

Ngoài ra, làm thế nào để đủ khả năng dự đoán liên quan đến đầy đủ cổ điển?

bayesian mathematical-statistics sufficient-statistics

— Một ông già ở biển.
nguồn

4

Nếu một thống kê là đủ trong cách frequentist, sau đó , do đó $T$ $p(\mathbf{x} \mid \theta, t) = p(\mathbf{x} \mid t)$

\begin{aligned} p (θ | x, t) & = = \frac{p (x | t, θ) p (t | θ) p (θ)}{p (x | t) p (t)} \\ (freq. ach.) & = = \frac{p (t | θ) p (θ)}{p (t)} \\ = = p (θ | t) . \end{aligned}

$\begin{align*} p(\theta \mid \mathbf{x}, t) &= \frac{p(\mathbf{x}\mid t,\theta)p(t \mid \theta) p(\theta)}{p(\mathbf{x}\mid t)p(t)} \\ &= \frac{p(t \mid \theta) p(\theta)}{p(t)} \tag{freq. suff.}\\ &= p(\theta \mid t). \end{align*}$

Mặt khác, nếu là đủ trong cách Bayesian, sau đó $T$

\begin{aligned} p (x | θ, t) & = = \frac{p (x, θ, t)}{p (θ, t)} \\ = = \frac{p (θ | x, t) p (x, t)}{p (θ | t) p (t)} \\ (Bayesian ach.) & = = \frac{p (x, t)}{p (t)} \\ = = p (x | t) . \end{aligned}

$\begin{align*} p(\mathbf{x} \mid \theta, t) &= \frac{p(\mathbf{x}, \theta,t)}{p(\theta,t)}\\ &= \frac{p(\theta \mid \mathbf{x},t) p(\mathbf{x},t)}{p(\theta\mid t)p(t)}\\ &= \frac{p(\mathbf{x},t)}{p(t)} \tag{Bayesian suff.}\\ &= p(\mathbf{x} \mid t). \end{align*}$

Liên quan đến "dự đoán đầy đủ", đó là gì?

Chỉnh sửa: Nếu bạn có đủ Bayesian, bạn phải túc tiên đoán:

\begin{aligned} p (x^{'} | x) & = = \int p (x^{'} | θ) p (θ | x) d θ \\ (Bayesian ach.) & = = \int p (x^{'} | θ) p (θ | t) d θ \\ = = p (x^{'} | t) . \end{aligned}

$\begin{align*} p(\mathbf{x}' \mid \mathbf{x}) &= \int p(\mathbf{x}' \mid \theta)p(\theta \mid \mathbf{x}) d\theta\\ &= \int p(\mathbf{x}' \mid \theta) p(\theta \mid t)d\theta \tag{Bayesian suff.}\\ &= p(\mathbf{x}' \mid t). \end{align*}$

— Taylor
nguồn

1

Taylor, nó được định nghĩa trong cùng một liên kết, ngay bên dưới trong phần Bayesian Suffic.

— Một ông già ở biển.

3

Chúng tôi đã bắt gặp một hiện tượng thú vị vài năm trước , khi điều tra sự lựa chọn mô hình Bayes với ABC. Mà tôi nghĩ là có liên quan với câu hỏi này. Thực sự có một khái niệm về sự đầy đủ cho sự lựa chọn mô hình Bayes dường như không có ý nghĩa đặc biệt ngoài cách tiếp cận Bayes.

M_{1} = = {f_{θ} (\cdot); θ \in Θ}

$\mathfrak{M}_1=\{f_\theta(\cdot); \theta\in\Theta\}$

M_{2} = = {g_{ξ} (\cdot); ξ \in Ξ}

$\mathfrak{M}_2=\{g_\xi(\cdot); \xi\in\Xi\}$

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

$\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$

S

$S$

X

$\mathbf{X}$

S (X)

$S(\mathbf{X})$

$\mathbf{X}$ $S(\mathbf{X})$

— Tây An
nguồn