Không thiên vị, ước lượng dương cho bình phương trung bình

10

Giả sử chúng tôi có quyền truy cập vào các mẫu iid từ một bản phân phối với giá trị trung bình (không xác định) và phương sai và chúng tôi muốn ước tính . $\mu, \sigma^2$ $\mu^2$

Làm thế nào chúng ta có thể xây dựng một ước lượng không thiên vị, luôn luôn tích cực của đại lượng này?

Lấy bình phương của mẫu có nghĩa là bị sai lệch và sẽ đánh giá quá cao số lượng, đặc biệt. nếu gần bằng 0 và lớn. $\tilde{\mu}^2$ $\mu$ $\sigma^2$

Đây có thể là một câu hỏi tầm thường nhưng các kỹ năng google của tôi đang làm tôi thất vọng khi estimator of mean-squaredchỉ trở vềmean-squarred-error estimators

Nếu nó làm cho vấn đề dễ dàng hơn, phân phối cơ bản có thể được coi là Gaussian.

Giải pháp:

Có thể xây dựng ước tính không thiên vị của ; xem câu trả lời của knrumsey $\mu^2$
Không thể xây dựng một ước lượng không thiên vị, luôn luôn ước tính tích cực của vì các yêu cầu này bị xung đột khi giá trị trung bình thực là 0; xem câu trả lời của Winks $\mu^2$

mean unbiased-estimator

— Nháy mắt
nguồn

Có lẽ seach cho ước tính trung bình bình phương hoặc ước lượng bình phương trung bình thay thế. Khi tôi đọc tiêu đề của bạn, tôi cũng bối rối (giống như Google), vì vậy tôi đã chỉnh sửa nó để làm cho nó trực quan hơn.

— Richard Hardy

10

Lưu ý rằng mẫu giá trị trung bình $\bar{X}$ cũng thường được phân phối, với trung bình $\mu$ và phương sai $\sigma^2/n$ . Điều này có nghĩa rằng

E ({\bar{X}}^{2}) = = E (\bar{X})^{2} + Var (\bar{X}) = = μ^{2} + \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname E(\bar{X}^2) = \operatorname E(\bar{X})^2 + \operatorname{Var}(\bar{X}) = \mu^2 + \frac{\sigma^2}n$

Nếu tất cả các bạn quan tâm là một ước lượng không thiên vị, bạn có thể sử dụng thực tế là phương sai mẫu là không thiên vị cho $\sigma^2$ . Điều này ngụ ý rằng công cụ ước tính

\hat{μ^{2}} = = {\bar{X}}^{2} - \frac{S^{2}}{n}

$\widehat{\mu^2} = \bar{X}^2 - \frac{S^2}n$ không thiên vị cho

μ^{2}

$\mu^2$ .

— knrumsey
nguồn

2

\hat{μ^{2}}

$\hat{\mu^2}$

3

(\bar{X}, S^{2})

$(\bar{X},S^2)$

@Winks Đó là lý do tại sao rất đây là một ví dụ về một ngớ ngẩn ước lượng không thiên vị.

— StubbornAtom

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1} X_{2}

$X_1X_2$

E (X_{1} X_{2}) = E (X_{1}) E (X_{2}) = μ^{2}

$E(X_1 X_2) = E(X_1)E(X_2) = \mu^2$

μ

$\mu$

13

$\mu^2$

Nếu giá trị trung bình thực là 0, công cụ ước tính phải trả về kỳ vọng 0 nhưng không được phép xuất ra số âm, do đó nó cũng không được phép xuất số dương vì nó sẽ bị sai lệch. Do đó, một ước lượng không thiên vị, luôn luôn dương của đại lượng này phải luôn trả về câu trả lời đúng khi giá trị trung bình bằng 0, bất kể các mẫu, điều này dường như là không thể.

$\mu^2$

— Nháy mắt
nguồn

2

Có một bài báo khá cũ của Jim Berger thiết lập sự thật này, nhưng tôi không thể theo dõi nó. Vấn đề cũng xuất hiện ở Monte Carlo với các công cụ ước tính gỡ rối như Russian Roulette.

— Tây An