Phân phối khi và là iid với pdf

Tôi đang giải quyết vấn đề sau:

Đặt và là các biến ngẫu nhiên độc lập có mật độ chung trong đó . Đặt và . Tìm mật độ chung của và do đó tìm ra pdf của . $X$ $Y$ $f(x)=\alpha\beta^{-\alpha}x^{\alpha-1}\mathbf1_{0<x<\beta}$ $\alpha\geqslant1$ $U=\min(X,Y)$ $V=\max(X,Y)$ $(U,V)$ $U+V$

Vì $U+V=X+Y$ , tôi chỉ có thể tìm pdf của $X+Y$ để xem pdf của $U+V$ nên là gì.

Tôi nhận được pdf của $T=X+Y$ là

\begin{matrix} (1) & f_{T} (t) = \int f (t - y) f (y) d y = α^{2} β^{- 2 α} \int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y 1_{0 < t < 2 β} \end{matrix}

$f_T(t)=\int f(t-y)f(y)\,\mathrm{d}y=\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\,\mathbf1_{0<t<2\beta}\tag{1}$

Không chắc chắn nếu tích phân có thể được đơn giản hóa mặc dù.

Quay trở lại câu hỏi thực tế, pdf chung của $(U,V)$ được đưa ra bởi

f_{U, V} (u, v) = 2 f (u) f (v) 1_{0 < u < v < β} = 2 α^{2} β^{- 2 α} (u v)^{α - 1} 1_{0 < u < v < β}

$f_{U,V}(u,v)=2f(u)f(v)\mathbf1_{0<u<v<\beta}=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}(uv)^{\alpha-1}\mathbf1_{0<u<v<\beta}$

Tôi đã làm một sự thay đổi của các biến $(U,V)\to(W,Z)$ nơi $W=U+V$ và $Z=U$ . Giá trị tuyệt đối của jacobian là sự thống nhất. Ngoài ra, $0<u<v<\beta\implies 0<z<\frac{w}{2}<\beta$ . Vậy pdf cận biên của $W$ là

\begin{matrix} (2) & f_{W} (w) = 2 α^{2} β^{- 2 α} \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z 1_{0 < w < 2 β} \end{matrix}

$f_W(w)=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}\,\mathbf1_{0<w<2\beta}\tag{2}$

Có thể là tôi đã mắc một số lỗi trong sự hỗ trợ thích hợp của các biến ngẫu nhiên. Cũng có thể là tích phân không có giải pháp về các hàm cơ bản. Trong mọi trường hợp, tôi không thể tiến hành tích phân. Vì vậy, tôi thậm chí không thể xác minh rằng có pdf giống như . Dường như tôi đang nhận phân phối khác nhau của và . Và vì tò mò, phân phối của có tên không (trong trường hợp đó tôi sẽ tìm kiếm tích chập của hai biến ngẫu nhiên như vậy)? $W=U+V$ $T=X+Y$ $W$ $T$ $X$

Biên tập.

Tiếp tục với tích phân cuối cùng tôi nhận được bằng tay

\int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z = w^{2 α - 1} \int_{0}^{1 / 2} t^{α - 1} (1 - t)^{α - 1} d t = w^{2 α - 1} I_{1 / 2} (α, α) B (α, α)

$\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=w^{2\alpha-1}\int_0^{1/2}t^{\alpha-1}(1-t)^{\alpha-1}\,\mathrm{dt}=w^{2\alpha-1}I_{1/2}(\alpha,\alpha)B(\alpha,\alpha)$ trong đó là hàm beta chưa hoàn thành thường xuyên. Sử dụng thuộc tính , chúng tôi nhận được . Vì vậy, cuối cùng chúng ta có

I_{x}

$I_{x}$

I_{x} (a, b) = 1 - I_{1 - x} (b, a)

$I_x(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)$

I_{1 / 2} (α, α) = \frac{1}{2}

$I_{1/2}(\alpha,\alpha)=\frac{1}{2}$

\int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z = = \frac{1}{2} w^{2 α - 1} B (α, α)

$\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=\frac{1}{2}w^{2\alpha-1}B(\alpha,\alpha)$

Điều này ngụ ý rằng

f_{W} (w) = α^{2} β^{- 2 α} B (α, α) w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f_W(w)=\alpha^2\beta^{-2\alpha}B(\alpha,\alpha)w^{2\alpha-1}\mathbf1_{0<w<2\beta}$

Rằng đây không phải là mật độ trong phạm vi . Vì vậy, tôi cảm thấy mình đã phạm một sai lầm lớn ở đâu đó. Tôi đã kiểm tra các tính toán của mình với Mathematica và họ dường như đồng ý. $w$

— Bướng bỉnh
nguồn

@ Tây An Và tổng số các biến thể beta độc lập không có dạng pdf đóng?

— StubbornAtom

@ Xi'an Vì vậy, tôi cảm thấy không có gì sai nếu tôi kết thúc câu trả lời của mình với sự không tách rời đó bất kể nó có dạng đóng theo một số chức năng đặc biệt hay không?

— StubbornAtom

Là một tổng quát của stats.stackexchange.com/questions/41467 (trường hợp ), câu hỏi này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng một hoặc nhiều kỹ thuật khác nhau được giải thích trong chuỗi đó.

α = 1

$\alpha=1$

— whuber

Tôi đã nhầm lẫn rằng , trong khi thực tế đủ cho là mật độ hợp lệ. Điều này đôi khi được gọi là phân phối chức năng điện . Đối với đó là mật độ beta và đối với đó là mật độ đồng nhất.

α > 1

$\alpha>1$

α > 0

$\alpha>0$

f

$f$

β = 1

$\beta=1$

α = 1

$\alpha=1$

— StubbornAtom

Vì chúng ta có ( ) và bởi sự thay đổi của biến trong tích phân thứ hai của rhs Tương tự, khi

\begin{aligned} \int_{tối đa (t - β, 0)}^{tối thiểu (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y 1_{0 < t < 2 β} & = = {\begin{cases} \int_{0}^{t} (y (t - y))^{α - 1} d y & khi nào 0 \leq t \leq β \\ \int_{t - β}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y & khi nào β \leq t \leq 2 β \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\,\mathbf1_{0<t<2\beta}&=\begin{cases} \int_{0}^{t}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&\text{when }0\le t\le \beta\\ \int_{t-\beta}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&\text{when }\beta\le t\le 2\beta\\ \end{cases}\\ \end{align}$

t < β

$t<\beta$

\int_{tối đa (t - β, 0)}^{tối thiểu (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y = = \int_{0}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y + \int_{t / 2}^{t} (y (t - y))^{α - 1} d y

$\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y= \int_{0}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y+\int_{t/2}^{t}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y$

z = t - y

$z=t-y$

\int_{tối đa (t - β, 0)}^{tối thiểu (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y = = 2 \int_{0}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y

$\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y= 2\int_{0}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y$

t > β

$t>\beta$ , một lần nữa bằng cách thay đổi biến trong tích phân thứ hai của rhs. Tuy nhiên, tôi không thể khôi phục biểu thức chức năng tương tự cho mật độ trong trường hợp thứ hai này , cụ thể là

\begin{aligned} \int_{t - β}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y & = = \int_{t - β}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y + \int_{t / 2}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y \\ = = 2 \int_{t / 2}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{t-\beta}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&= \int_{t-\beta}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y+\int_{t/2}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\\ &=2\int_{t/2}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y \end{align*}$

z = t - y

$z=t-y$

2 \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z

$2\int_{0}^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}z$

Bây giờ, như đã chỉ ra trong câu hỏi, bằng cách thay đổi tỷ lệ, điều này có nghĩa là phân phối lợi ích có mật độ biến nó thành bản phân phối Beta được định cỡ lại trên , do đó với mật độ

2 \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z α w^{2 (α - 1) + 1} = = w^{2 α - 1}

$2\int_{0}^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}z \propto w^{2(\alpha-1)+1}=w^{2\alpha-1}$

f (w) α w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f(w)\propto w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}$

B (2 α, 1)

${\cal B}(2\alpha,1)$

(0, 2 β)

$(0,2\beta)$

f (w) = = {2 β}^{- 2 α} \frac{Γ (2 α + 1)}{Γ (2 α)} w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β} = = 2 α {2 β}^{- 2 α} w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f(w) = \{2\beta\}^{-2\alpha}\dfrac{\Gamma(2\alpha+1)}{\Gamma(2\alpha)}w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}=2\alpha\{2\beta\}^{-2\alpha}w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}$

Điều này xảy ra như một mâu thuẫn khi xem xét câu trả lời chi tiết đến khó tin từ W. Huber , vì Đồng phục là Beta . Và vì tổng của hai Đồng phục không phải là biến ngẫu nhiên Beta , mà thay vào đó là một rv với mật độ "lều". ${\cal B}(1,1)$ ${\cal B}(2,1)$

Ngoài ra: Nhìn chung, một tổng số biến thiên Beta không phải là một biến thể Beta khác, "lời giải thích" rất đơn giản khi nhìn vào Betas khi hai Gammas được chuẩn hóa bằng tổng của chúng. Thêm hai Betas sẽ thấy các khoản tiền khác nhau trong mẫu số.

Do đó, vấn đề là xuất phát từ mật độ của : kể từ thay đổi biến dẫn đến và các ràng buộc chỉ báo là Do đó, kết luận, cụ thể là (1) và không phải là biểu thức được đề xuất (2). $W=U+V$

(Bạn, V) ~ 2 α β^{- 2} [bạn v]^{α - 1} {Tôi}_{0 < bạn < v < β}

$(U,V) \sim 2\alpha \beta^{-2}[uv]^{\alpha-1}\,\mathbb{I}_{0<u<v<\beta}$

(Z, W) = (U, U + V)

$(Z,W)=(U,U+V)$

(Z, W) ~ 2 α β^{- 2} [z (w - z)]^{α - 1} {Tôi}_{0 < z < w - z < β}

$(Z,W) \sim 2\alpha \beta^{-2}[z(w-z)]^{\alpha-1}\,\mathbb{I}_{0<z<w-z<\beta}$

0 < z 2 z < w z < β z > w - β 0 < w và w < 2 β

$0<z \quad 2z<w \quad z<\beta \quad z>w-\beta \quad 0<w \quad\text{and}\quad w<2\beta$

W ~ 2 α^{2} β^{- 2 α} \int_{tối đa {0, w - β}}^{tối thiểu {β, w / 2}} [z (w - z)]^{α - 1} d z {Tôi}_{0 < w < 2 β}

$W\sim 2\alpha^2 \beta^{-2\alpha}\int_{\max\{0,w-\beta\}}^{\min\{\beta,w/2\}}[z(w-z)]^{\alpha-1}\,\text{d}z\,\mathbb{I}_{0<w<2\beta}$

— Tây An
nguồn

Đó là những gì tôi đã hỏi liệu nó có đồng ý với (1) hay không. Bạn có thể phải thêm các hằng số còn thiếu trong và . Cảm ơn, không có gì lạ khi tôi nhận được tất cả những kết quả kỳ lạ.

(Z, W)

$(Z,W)$

(U, V)

$(U,V)$

— StubbornAtom